modelos de transmisión de enfermedades...

Modelos de Transmisión de

enfermedades infecciosas

Modelización de Sistemas Biológicos por Computadora

Bioinformática

FIUNER

Enfermedades infecciosas

• Modelo simple

D: cantidad de personas enfermas

Las infecciones son independientes del número de casos � NO REAL

Taza de infección curaciones

Punto de equilibrio D*=a/b

La población nunca se cura

Modelos SIR

• SIR: Susceptible Infected Recovered

• Relaciona la taza de infección con el número

de casos.

S: Individuos susceptibles a enfermarS: Individuos susceptibles a enfermar

I: Individuos infectados

R: Individuos Removidos. Recuperados de la enfermedad

o muertos (No se pueden volver a infectar)

Población fija de tamaño N= S + I + R

Modelo compartimental

Hay un único sentido

β Iν = 1/D

Las enfermedades

infecciosas se transmiten

por contacto entre

individuos enfermos e

individuos sanos ==> cte*S*I

ν : Dependede la duración de la infecciónν = 1/D

Los brotes epidémicos suelen ser mucho mas rápidos que la dinámica vital de la población

(nacimientos y muertes)

Modelo de Kermack-McKendrick

(1927)

β Iν = 1/D

Sistema no lineal

No tiene una solución analítica

Modelo de Kermack-McKendrick

(1927)

• S(t) + I(t) + R(t) = Constant = N

R=N-(S + I)

Se puede eliminar una variable del sistema de

ecuaciones

Equilibrio

• Todos los

individuos son

removidos:

Muertos o curados

Azul: Susceptibles

Rojo: Removidos

Verde: Infectados

Número básico de reproducción

• Existe un umbral para S por

encima del cual la cantidad de

infectados crece � EPIDEMIA

Plano de Fase

Condiciones InicialesCondiciones Iniciales

• El termino de curación νI Representa una

perdida exponencial en el número de casos

Duración de la enfermedad

El promedio de la

duración de la

enfermedad es : 1/ ν

: Otra definición

• Si en una población sana hay un solo enfermo

I(0)=1.

• ¿Cuando este enfermo desencadenará una

epidemia?epidemia?

=>

:Otra Definición

• El numerador representa el número de nuevos casos o infecciones que un solo individuo infeccioso produce

=

infecciones que un solo individuo infeccioso produce por unidad de tiempo

• 1/ν es el promedio de la duración de la enfermedad

• : número de nuevos casos infecciosos que un soloindividuo enfermo generara en una población susceptible durante el tiempo de duración de la enfermedad

:Otra Definición

• < 1 � NO se producirá el brote epidémico• < 1 � NO se producirá el brote epidémico

• >1 � Se producirá un brote epidémico

Ejemplo 1: Brote de Gripe

• En un Internado escolar en 1978

Ejemplo 2: Epidemia H1N1

• Hong Kong 2009

Fuerza Infectiva

F = βI

• Es más real considerar una fuerza de infección

que no dependa del número absoluto de

sujetos infecciosos sino de su fracción con sujetos infecciosos sino de su fracción con

respecto al total de la población N.

Modelo SIR con nacimientos y muertes y

población Constante

• Igual taza de muerte y nacimientos: μ

•Los nacimientos

dependen del

tamaño total de la

población

• Los individuos Todos los individuos

0dtdR

dtdI

dtdS

N = R + I + S =++⇒

• Los individuos

nacen suceptiblesTodos los individuos

pueden morir

Diagramas - Ecuaciones

• Una vez que

β Iν = 1/D

• Una vez que

tenemos el

diagrama de

compartimentos, las

ecuaciones son

FACILES

Modelo SIS

• En algunas enfermedades el individuo no

desarrolla inmunidad

Modelo SIS con nacimientos y muertes

• Las muertes no son

producidos por la

enfermedad

Modelo SIRS (perdida de inmunidad)

α : Taza de perdida de inmunidad

Modelo SEIS

• Considera una nueva clase de individuos E (del

S E Iβ I σ

α

• Considera una nueva clase de individuos E (del inglés exposed)

• E: Portan la enfermedad pero no muestran síntomas y no están en condición de infectar a otros

• Un individuo que ha enfermado nunca obtiene inmunidad

Modelo SEIR (inclusión de latencia)

• En algunas infecciones se hace necesario • En algunas infecciones se hace necesario

considerar un período en el que un individuo a

sido infectado pero no puede infectar

Modelo SEIR

Duración promedio del período de latencia

La inclusión de la clase E

no afecta la expresión

algebraica para el numero algebraica para el numero

básico de reproducción

Modelo SEIR

• Considerando Nacimientos y Muertes con la

misma taza

Modelo SEIRS

Bibliogrrafia

• “Modeling Biological Systems”, J.W. Haefner, Springer, NY, 2005

• “Mathematical Biology I: An Introduction”, JD Murray, Third Edition,

Springer, 2002

• "Matemáticas para Biólogos", Hadeler

• VIH/SIDA y Salud Pública: Manual para Personal de Salud, Carlos Magis

Rodríguez Hermelinda Barrientos Bárcenas.Rodríguez Hermelinda Barrientos Bárcenas.

• Mathematical and Statistical Estimation Approaches in Epidemiology,

Gerardo Chowell, James M. Hayman, Luís M. A. Bettencourt, Carlos

Castillo-Chave