modelos de transmisión de enfermedades...
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Modelos de Transmisión de
enfermedades infecciosas
Modelización de Sistemas Biológicos por Computadora
Bioinformática
FIUNER
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Enfermedades infecciosas
• Modelo simple
D: cantidad de personas enfermas
Las infecciones son independientes del número de casos � NO REAL
Taza de infección curaciones
Punto de equilibrio D*=a/b
La población nunca se cura
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Modelos SIR
• SIR: Susceptible Infected Recovered
• Relaciona la taza de infección con el número
de casos.
S: Individuos susceptibles a enfermarS: Individuos susceptibles a enfermar
I: Individuos infectados
R: Individuos Removidos. Recuperados de la enfermedad
o muertos (No se pueden volver a infectar)
Población fija de tamaño N= S + I + R
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Modelo compartimental
Hay un único sentido
β Iν = 1/D
Las enfermedades
infecciosas se transmiten
por contacto entre
individuos enfermos e
individuos sanos ==> cte*S*I
ν : Dependede la duración de la infecciónν = 1/D
Los brotes epidémicos suelen ser mucho mas rápidos que la dinámica vital de la población
(nacimientos y muertes)
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Modelo de Kermack-McKendrick
(1927)
β Iν = 1/D
Sistema no lineal
No tiene una solución analítica
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Modelo de Kermack-McKendrick
(1927)
• S(t) + I(t) + R(t) = Constant = N
R=N-(S + I)
Se puede eliminar una variable del sistema de
ecuaciones
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Equilibrio
• Todos los
individuos son
removidos:
Muertos o curados
Azul: Susceptibles
Rojo: Removidos
Verde: Infectados
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Número básico de reproducción
• Existe un umbral para S por
encima del cual la cantidad de
infectados crece � EPIDEMIA
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Plano de Fase
Condiciones InicialesCondiciones Iniciales
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• El termino de curación νI Representa una
perdida exponencial en el número de casos
Duración de la enfermedad
El promedio de la
duración de la
enfermedad es : 1/ ν
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: Otra definición
• Si en una población sana hay un solo enfermo
I(0)=1.
• ¿Cuando este enfermo desencadenará una
epidemia?epidemia?
=>
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:Otra Definición
• El numerador representa el número de nuevos casos o infecciones que un solo individuo infeccioso produce
=
infecciones que un solo individuo infeccioso produce por unidad de tiempo
• 1/ν es el promedio de la duración de la enfermedad
• : número de nuevos casos infecciosos que un soloindividuo enfermo generara en una población susceptible durante el tiempo de duración de la enfermedad
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:Otra Definición
• < 1 � NO se producirá el brote epidémico• < 1 � NO se producirá el brote epidémico
• >1 � Se producirá un brote epidémico
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Ejemplo 1: Brote de Gripe
• En un Internado escolar en 1978
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Ejemplo 2: Epidemia H1N1
• Hong Kong 2009
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Fuerza Infectiva
F = βI
• Es más real considerar una fuerza de infección
que no dependa del número absoluto de
sujetos infecciosos sino de su fracción con sujetos infecciosos sino de su fracción con
respecto al total de la población N.
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Modelo SIR con nacimientos y muertes y
población Constante
• Igual taza de muerte y nacimientos: μ
•Los nacimientos
dependen del
tamaño total de la
población
• Los individuos Todos los individuos
0dtdR
dtdI
dtdS
N = R + I + S =++⇒
• Los individuos
nacen suceptiblesTodos los individuos
pueden morir
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Diagramas - Ecuaciones
• Una vez que
β Iν = 1/D
• Una vez que
tenemos el
diagrama de
compartimentos, las
ecuaciones son
FACILES
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Modelo SIS
• En algunas enfermedades el individuo no
desarrolla inmunidad
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Modelo SIS con nacimientos y muertes
• Las muertes no son
producidos por la
enfermedad
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Modelo SIRS (perdida de inmunidad)
α : Taza de perdida de inmunidad
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Modelo SEIS
• Considera una nueva clase de individuos E (del
S E Iβ I σ
α
• Considera una nueva clase de individuos E (del inglés exposed)
• E: Portan la enfermedad pero no muestran síntomas y no están en condición de infectar a otros
• Un individuo que ha enfermado nunca obtiene inmunidad
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Modelo SEIR (inclusión de latencia)
• En algunas infecciones se hace necesario • En algunas infecciones se hace necesario
considerar un período en el que un individuo a
sido infectado pero no puede infectar
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Modelo SEIR
Duración promedio del período de latencia
La inclusión de la clase E
no afecta la expresión
algebraica para el numero algebraica para el numero
básico de reproducción
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Modelo SEIR
• Considerando Nacimientos y Muertes con la
misma taza
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Modelo SEIRS
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Bibliogrrafia
• “Modeling Biological Systems”, J.W. Haefner, Springer, NY, 2005
• “Mathematical Biology I: An Introduction”, JD Murray, Third Edition,
Springer, 2002
• "Matemáticas para Biólogos", Hadeler
• VIH/SIDA y Salud Pública: Manual para Personal de Salud, Carlos Magis
Rodríguez Hermelinda Barrientos Bárcenas.Rodríguez Hermelinda Barrientos Bárcenas.
• Mathematical and Statistical Estimation Approaches in Epidemiology,
Gerardo Chowell, James M. Hayman, Luís M. A. Bettencourt, Carlos
Castillo-Chave