modelado de sistemas en tiempo continuo 2 1 2 ... - uhu.es

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 1

Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva

2 MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO

2.1. Modelado Matemático.2.2. Descripción Externa/Interna.2.3. Modelado de Sistemas.2.4. No linealidades, linealización.

2.1.- MODELADO MATEMÁTICO

2.1.1.- ObjetivoCaracterizar las relaciones existentes entre las magnitudes asociadas alsistema, con el fin de estudiar su evolución temporal (análisis), oreproducir su comportamiento bajo ciertas condiciones (simulación)

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 2

Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva

2.1.2.- Parámetros concentrados y Distribuidos

-Entidades ideales (masa puntual, carga concentrada en un punto delespacio etc...) no tienen existencia real, estos elementos idealizadosreciben el nombre de elementos de parámetros concentrados.

-En el mundo real, las masas no son puntuales, las resistencias eléctricaspresentan un efecto capacitivo e inductivo distribuido a lo largo delcomponente etc...los modelos que tienen en cuenta este tipo decaracterísticas se denominan modelos de parámetros distribuidos.

-Los modelos para representar elementos de parámetros distribuidos soncomplejos, por tanto suelen utilizarse modelos de parámetrosconcentrados que presenten comportamientos similares a los deparámetros distribuidos.

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 3

Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva

2.1.3.- Modelos determistas y no deterministas

-Modelo determinista: Conocido el modelo, el comportamiento delsistema queda determinado por la especificación de las condicionesiniciales y la evolución de las magnitudes de entrada. -Modelo no determista: Intervienen fenómenos aleatorios, imposiblesde modelar y predecir. Se modelan las evoluciones estadísticas de lasmagnitudes fundamentales del sistema.

2.1.4.- Sistemas variantes o invariantesLos términos que multiplican a las derivadas pueden o no variar con eltiempo:

t

2

dd x 2

tddx x+ + 0 Ec. Inv. =

t

2

dd x tsin( )x+ 0 Ec. Variante.=

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 4

Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva

2.1.5.- Sistema Lineales y No lineales

Sistema lineal: La ecuación diferencial que lo modela es lineal

Ecuación diferencial Lineal: Suma de términos lineales, es decir,términos de primer grado en las variables dependientes y susderivadas.

2.1.6.- Sistemas L.T.I.Son Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo, su forma general es:

t

2

dd x 2

tddx x+ + 0 Ec. Lineal =

t

2

dd x x2+ x( ) Ec. No Linealsin=

ai t

i

dd x

⋅

i 0=

n

∑ bi t

j

dd u t( )⋅

j 0=

m

∑=

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 5

Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva

2.2.- DESCRIPCIÓN EXTERNA/INTERNA

-Representaciones que consideran la evolución de las variables deestado: descripciones internas.

-Las ecuaciones que componen una representación interna suelenllamarse modelos de estado.

-Un mismo sistema se puede modelar de diferentes modos.

-Representaciones que únicamente consideran las variables de entrada ysalida: descripciones externas.

-Las ecuaciones de las descripciones externas se obtienen eliminandolas variables de estado de las ecuaciones diferenciales del sistema.

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 6

Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva

Ejemplo

S0

S1

S2

h1

h2

C1

C2

tddV1 S0 S1–=

tddV2 S1 S2–=

V1 C1 h1⋅= V2 C2 h2⋅=

S1h1R1------= S2

h2R2------=

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 7

Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva

2.2.1.- Representación externaLa descripción externa de un sistema LTI suele presentar un aspecto deltipo:

donde la variable dependiente coincide con la variable de salida que sedesea estudiar y u(t) representa las señales de entrada.

Si la interacción con el exterior no involucra términos con derivadas laecuación suele tener el aspecto:

ai t

i

dd x

⋅

i 0=

n

∑ bi t

j

dd u t( )⋅

j 0=

m

∑=

ai t

i

dd x

⋅

i 0=

n

∑ b u⋅ t( )=

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 8

Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva

2.2.2.- Representación interna: modelo de estado Usualmente, se utiliza la representación por modelo de estado cuando:- Interesa conocer la evolución global del sistema.- Se pretenda trabajar con ecuaciones de primer orden.- En general para trabajar con sistema MIMO.

Expresión General de un modelo de estado lineal

Un modelo de estado lineal para un sistema LTI adquiere la forma:

-Si se desea asociar un vector salida al modelo, se añade la expresión

x[ ] A[ ] x[ ]⋅ B[ ] u[ ]⋅+=

Y[ ] C[ ] x[ ]⋅ D[ ] u[ ]⋅+=

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 9

Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva

Conversión de representación externa a modelo de estado

Considerando la ecuación:

Puede definirse un vector de estado de n componentes

en la forma: .

La ecuación diferencial puede escribirse en forma matricial:

Esta forma particular de escribir el modelo de estado se conoce como: forma canónica de control

ai t

i

dd y

⋅

i 0=

n

∑ b u⋅ t( )=

x x1 … xn, ,[ ] T=

x1 y= ; x2 tddy ; x3 t

2

dd y

… ; xn t

n 1–

dd y ; x·n t

n

dd y====

x·[ ]

0 1 0 …0 0 1 …0 0 … 1a0–

an---------

a1–an

--------- …a1n 1––

an-------------------

x[ ]⋅

000ban-----

u⋅+= y 1 0 0 … 0, , , ,[ ] x[ ] 0[ ] u⋅+⋅=

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 10

Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva

2.3.- MODELADO DE SISTEMAS2.3.1.- Generalidades

Variables de Acumulación: variables cuyo valor actual es la suma de unvalor anterior mas los incrementos debido a ciertas Variables de Flujo.

Variables de Flujo: Representan el incremento de una variable deacumulación por unidad de tiempo.

Ecuación General

-Capital (dinero)

-Nº de habitantes

-Productos almacenados-Habitantes infectados

-Pedidos

-Ventas

-Ingresos-Gastos

-Nacimiento-Muertes

tddx F p1…p2( )∑=

x : variable de acumulación F : variable de flujo

pi: variables auxiliares-T. nacimiento-Intereses bancarios-Discrepancias

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 11

Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva

2.3.2.- Evolución de una Población

N = Número de habitantes: Variable de acumulaciónF1 = Número de nacimientos/unidad de tiempo: Variable de FlujoF2= Número de muertes/unidad de tiempo: Variable de Flujoµ = Tasa de nacimiento (Nacimiento/habitante): Variable Auxiliarβ = Tasa de mortandad (Muerte/por habitante): VariableAuxiliar

µ = cte; β = cte; tddN µ β–( ) N⋅– 0=

Modelado de distintas situacionesa) Recursos ilimitados:

β = cte; µ = µ0 - (µ1 · N); tddN µ0 β–( ) µ1 N⋅–( ) N⋅=

b) Recursos limitados:

F2(β)

-+

F1(µ)+ N

++ -

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 12

Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva

2.3.3.- Gestión de un Almacén

x = Cantidad almacenada de un producto: Variable de acumulaciónF1 = Pedidos al distribuidor/unidad de tiempo: Variable de FlujoF2= Ventas realizadas/unidad de tiempo: Variable de Flujoxd= valor deseado para x: Variable AuxiliarD(t) = xd - x(t): Variable Auxiliar

Modelado de distintas políticas de pedidos

a) F1= cte. tddx F1 F2 t( )–=

b) F1= k·D. td

dx k x⋅+ k xd⋅ F2 t( )–=

c) F1= k1·D(t)+k2· t

2

dd x k1 td

dx⋅ k2+ x⋅+ k2 xd⋅td

dF2–=

x

+F2

D_ + _

F1

xd

-

+

D dt⋅∫

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 13

Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva

2.3.4.- Sistemas eléctricosEcuación de flujo:q = Carga: Variable de acumulaciónI = Intensidad: Variable de Flujo

Resistencia:Elemento por el que circula una corriente eléctrica proporcional a ladiferencia de potencial existente en sus extremos. Como consecuenciade ello disipa energía calorífica.

tddq I=

v2v1

v1 v2–( ) R I⋅ Rtd

dq⋅= =

Ecuación: Ley de Ohm

v2v1

v1-v2 > 0; I > 0

v1-v2 < 0; I < 0

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 14

Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva

Condensador:Elemento que acumula carga eléctrica. Dicha carga es proporcional ala diferencia de potencial existente en sus extremos.

Ejemplo

Cv1 v2–( ) q

C----=

Ecuación:v2v1

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 15

Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva

2.3.5.- Sistemas mecánicos translacionalesEcuación de flujo: Ley de Newton

Muelle con un solo extremo móvil

Rozamiento viscoso y amortiguador

Mx (posición)v (velocidad)a (aceleración)

F ΣF M a⋅ M tddv⋅ M t

2

dd x⋅= = =

kx

F0

F2 k– x⋅=

Ecuación:

F x· Ecuación: F µ– x·⋅= x· F

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 16

Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva

2.3.6.- Sistemas mecánicos rotacionalesSe considerará la mecánica que describe los giros realizados por lossólidos rígidos alrededor de su eje principal de inercia.

θ(t) ángulo girado; ω(t) velocidad angularτ par aplicado; Ι Momento de Inercia respecto al ejeEcuación de flujo:

θΕje

ω

F Fr

F

τ F r⋅=

Iθ (ángulo)ω (velocidad)α (aceleración)

τ Στ I α⋅ I tddω⋅ I t

2

dd θ⋅= = =

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 17

Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva

Engranajes y cajas de reducción

- Un conjunto de engranajes se representa por una ganancia que es iguala la proporción entre los radios de los engranajes:

τ 1

τ 2

--- k r1

r2

---–θ2

θ1

----= = =

kτ1 τ2

1/kτ1r τ2r= -τ2

τ1 τ2

τ1r τ2r

Sitema 1 Sitema 2

Sitema 2Sitema 1

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 18

Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva

2.3.7.- Sistemas electromecánicosMotores:Elementos que transforman energía eléctrica en energía mecánica.

V1V2

LR

i

ω, τ

kp

kc

Vce

µ

JLJkp------

t

2

dd ω⋅ Lµ

kp------- RJ

kp------+

td

d ω Rµkp------- kc+ ω++ ∆V=

Motorω∆V

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 19

Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva

2.3.8.- Sistemas HidráulicosEcuación de flujo

Tuberías: Circula líquido debido a una diferencia de presión; puedenasociarse con válvulas o con grifos

Qi

QoC

tddV Qi Qo–=

V C h⋅=C

tdd

⋅ h( ) Qi Qo–=}P

P1 P2

K1 Q t( ) kp P1 P2–⋅=

Q(t): Flujo de líquido en el instante tP1,P2: Presión en cada uno de los extremos

Ecuación de regimen turbulento:

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 20

Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva

Ecuación en régimen turbulento

2.4.- No linealidades, linealización

-La mayoría de los fenómenos del mundo real presentancaracterísticas no lineales.

-Los sistemas lineales resultan convenientes por la sencillez en sutratamiento y análisis. Las ecuaciones con no linealidades son dedifícil tratamiento.

Qi

QoS

Ctd

dH⋅ Qi Qo– Qi k2p H⋅–= =

P Ctd

dH⋅ k2p H⋅+ Qi=

HEcuación no lineal

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 21

Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva

-Los sistemas suelen evolucionar entorno a un punto de trabajopunto de trabajo

-Una función no lineal puede aproximarse en un determinado rangopor una función no lineal. A este procedimiento se le llamalinealización.

-El modelo linealizado:* Mantiene las características del sistema en el entorno del

punto de trabajo.* Es posible tratarlo con la facilidad de los sistemas lineales.* Tiene asociado un error que será mayor cuanto mas se aleje

el sistema del punto de trabajo.

MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 22

Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva