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MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Dinámica de Sistemas 2. 1

Dpto. de Ingenieria Electrónica, de Sistemas Informáticos y Automática Universidad de Huelva

2 MODELADO DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO

2.1. Modelado Matemático.2.2. Descripción Externa/Interna.2.3. Modelado de Sistemas.2.4. No linealidades, linealización.

2.1.- MODELADO MATEMÁTICO

2.1.1.- ObjetivoCaracterizar las relaciones existentes entre las magnitudes asociadas alsistema, con el fin de estudiar su evolución temporal (análisis), oreproducir su comportamiento bajo ciertas condiciones (simulación)



2.1.2.- Parámetros concentrados y Distribuidos

-Entidades ideales (masa puntual, carga concentrada en un punto delespacio etc...) no tienen existencia real, estos elementos idealizadosreciben el nombre de elementos de parámetros concentrados.

-En el mundo real, las masas no son puntuales, las resistencias eléctricaspresentan un efecto capacitivo e inductivo distribuido a lo largo delcomponente etc...los modelos que tienen en cuenta este tipo decaracterísticas se denominan modelos de parámetros distribuidos.

-Los modelos para representar elementos de parámetros distribuidos soncomplejos, por tanto suelen utilizarse modelos de parámetrosconcentrados que presenten comportamientos similares a los deparámetros distribuidos.



2.1.3.- Modelos determistas y no deterministas

-Modelo determinista: Conocido el modelo, el comportamiento delsistema queda determinado por la especificación de las condicionesiniciales y la evolución de las magnitudes de entrada. -Modelo no determista: Intervienen fenómenos aleatorios, imposiblesde modelar y predecir. Se modelan las evoluciones estadísticas de lasmagnitudes fundamentales del sistema.

2.1.4.- Sistemas variantes o invariantesLos términos que multiplican a las derivadas pueden o no variar con eltiempo:

t

2

dd x 2

tddx x+ + 0 Ec. Inv. =

t

2

dd x tsin( )x+ 0 Ec. Variante.=



2.1.5.- Sistema Lineales y No lineales

Sistema lineal: La ecuación diferencial que lo modela es lineal

Ecuación diferencial Lineal: Suma de términos lineales, es decir,términos de primer grado en las variables dependientes y susderivadas.

2.1.6.- Sistemas L.T.I.Son Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo, su forma general es:

t

2

dd x 2

tddx x+ + 0 Ec. Lineal =

t

2

dd x x2+ x( ) Ec. No Linealsin=

ai t

i

dd x

⋅

i 0=

n

∑ bi t

j

dd u t( )⋅

j 0=

m

∑=



2.2.- DESCRIPCIÓN EXTERNA/INTERNA

-Representaciones que consideran la evolución de las variables deestado: descripciones internas.

-Las ecuaciones que componen una representación interna suelenllamarse modelos de estado.

-Un mismo sistema se puede modelar de diferentes modos.

-Representaciones que únicamente consideran las variables de entrada ysalida: descripciones externas.

-Las ecuaciones de las descripciones externas se obtienen eliminandolas variables de estado de las ecuaciones diferenciales del sistema.



Ejemplo

S0

S1

S2

h1

h2

C1

C2

tddV1 S0 S1–=

tddV2 S1 S2–=

V1 C1 h1⋅= V2 C2 h2⋅=

S1h1R1------= S2

h2R2------=



2.2.1.- Representación externaLa descripción externa de un sistema LTI suele presentar un aspecto deltipo:

donde la variable dependiente coincide con la variable de salida que sedesea estudiar y u(t) representa las señales de entrada.

Si la interacción con el exterior no involucra términos con derivadas laecuación suele tener el aspecto:

ai t

i

dd x

⋅

i 0=

n

∑ bi t

j

dd u t( )⋅

j 0=

m

∑=

ai t

i

dd x

⋅

i 0=

n

∑ b u⋅ t( )=



2.2.2.- Representación interna: modelo de estado Usualmente, se utiliza la representación por modelo de estado cuando:- Interesa conocer la evolución global del sistema.- Se pretenda trabajar con ecuaciones de primer orden.- En general para trabajar con sistema MIMO.

Expresión General de un modelo de estado lineal

Un modelo de estado lineal para un sistema LTI adquiere la forma:

-Si se desea asociar un vector salida al modelo, se añade la expresión

x[ ] A[ ] x[ ]⋅ B[ ] u[ ]⋅+=

Y[ ] C[ ] x[ ]⋅ D[ ] u[ ]⋅+=



Conversión de representación externa a modelo de estado

Considerando la ecuación:

Puede definirse un vector de estado de n componentes

en la forma: .

La ecuación diferencial puede escribirse en forma matricial:

Esta forma particular de escribir el modelo de estado se conoce como: forma canónica de control

ai t

i

dd y

⋅

i 0=

n

∑ b u⋅ t( )=

x x1 … xn, ,[ ] T=

x1 y= ; x2 tddy ; x3 t

2

dd y

… ; xn t

n 1–

dd y ; x·n t

n

dd y====

x·[ ]

0 1 0 …0 0 1 …0 0 … 1a0–

an---------

a1–an

--------- …a1n 1––

an-------------------

x[ ]⋅

000ban-----

u⋅+= y 1 0 0 … 0, , , ,[ ] x[ ] 0[ ] u⋅+⋅=



2.3.- MODELADO DE SISTEMAS2.3.1.- Generalidades

Variables de Acumulación: variables cuyo valor actual es la suma de unvalor anterior mas los incrementos debido a ciertas Variables de Flujo.

Variables de Flujo: Representan el incremento de una variable deacumulación por unidad de tiempo.

Ecuación General

-Capital (dinero)

-Nº de habitantes

-Productos almacenados-Habitantes infectados

-Pedidos

-Ventas

-Ingresos-Gastos

-Nacimiento-Muertes

tddx F p1…p2( )∑=

x : variable de acumulación F : variable de flujo

pi: variables auxiliares-T. nacimiento-Intereses bancarios-Discrepancias



2.3.2.- Evolución de una Población

N = Número de habitantes: Variable de acumulaciónF1 = Número de nacimientos/unidad de tiempo: Variable de FlujoF2= Número de muertes/unidad de tiempo: Variable de Flujoµ = Tasa de nacimiento (Nacimiento/habitante): Variable Auxiliarβ = Tasa de mortandad (Muerte/por habitante): VariableAuxiliar

µ = cte; β = cte; tddN µ β–( ) N⋅– 0=

Modelado de distintas situacionesa) Recursos ilimitados:

β = cte; µ = µ0 - (µ1 · N); tddN µ0 β–( ) µ1 N⋅–( ) N⋅=

b) Recursos limitados:

F2(β)

-+

F1(µ)+ N

++ -



2.3.3.- Gestión de un Almacén

x = Cantidad almacenada de un producto: Variable de acumulaciónF1 = Pedidos al distribuidor/unidad de tiempo: Variable de FlujoF2= Ventas realizadas/unidad de tiempo: Variable de Flujoxd= valor deseado para x: Variable AuxiliarD(t) = xd - x(t): Variable Auxiliar

Modelado de distintas políticas de pedidos

a) F1= cte. tddx F1 F2 t( )–=

b) F1= k·D. td

dx k x⋅+ k xd⋅ F2 t( )–=

c) F1= k1·D(t)+k2· t

2

dd x k1 td

dx⋅ k2+ x⋅+ k2 xd⋅td

dF2–=

x

+F2

D_ + _

F1

xd

-

+

D dt⋅∫



2.3.4.- Sistemas eléctricosEcuación de flujo:q = Carga: Variable de acumulaciónI = Intensidad: Variable de Flujo

Resistencia:Elemento por el que circula una corriente eléctrica proporcional a ladiferencia de potencial existente en sus extremos. Como consecuenciade ello disipa energía calorífica.

tddq I=

v2v1

v1 v2–( ) R I⋅ Rtd

dq⋅= =

Ecuación: Ley de Ohm

v2v1

v1-v2 > 0; I > 0

v1-v2 < 0; I < 0



Condensador:Elemento que acumula carga eléctrica. Dicha carga es proporcional ala diferencia de potencial existente en sus extremos.

Ejemplo

Cv1 v2–( ) q

C----=

Ecuación:v2v1



2.3.5.- Sistemas mecánicos translacionalesEcuación de flujo: Ley de Newton

Muelle con un solo extremo móvil

Rozamiento viscoso y amortiguador

Mx (posición)v (velocidad)a (aceleración)

F ΣF M a⋅ M tddv⋅ M t

2

dd x⋅= = =

kx

F0

F2 k– x⋅=

Ecuación:

F x· Ecuación: F µ– x·⋅= x· F



2.3.6.- Sistemas mecánicos rotacionalesSe considerará la mecánica que describe los giros realizados por lossólidos rígidos alrededor de su eje principal de inercia.

θ(t) ángulo girado; ω(t) velocidad angularτ par aplicado; Ι Momento de Inercia respecto al ejeEcuación de flujo:

θΕje

ω

F Fr

F

τ F r⋅=

Iθ (ángulo)ω (velocidad)α (aceleración)

τ Στ I α⋅ I tddω⋅ I t

2

dd θ⋅= = =



Engranajes y cajas de reducción

- Un conjunto de engranajes se representa por una ganancia que es iguala la proporción entre los radios de los engranajes:

τ 1

τ 2

--- k r1

r2

---–θ2

θ1

----= = =

kτ1 τ2

1/kτ1r τ2r= -τ2

τ1 τ2

τ1r τ2r

Sitema 1 Sitema 2

Sitema 2Sitema 1



2.3.7.- Sistemas electromecánicosMotores:Elementos que transforman energía eléctrica en energía mecánica.

V1V2

LR

i

ω, τ

kp

kc

Vce

µ

JLJkp------

t

2

dd ω⋅ Lµ

kp------- RJ

kp------+

td

d ω Rµkp------- kc+ ω++ ∆V=

Motorω∆V



2.3.8.- Sistemas HidráulicosEcuación de flujo

Tuberías: Circula líquido debido a una diferencia de presión; puedenasociarse con válvulas o con grifos

Qi

QoC

tddV Qi Qo–=

V C h⋅=C

tdd

⋅ h( ) Qi Qo–=}P

P1 P2

K1 Q t( ) kp P1 P2–⋅=

Q(t): Flujo de líquido en el instante tP1,P2: Presión en cada uno de los extremos

Ecuación de regimen turbulento:



Ecuación en régimen turbulento

2.4.- No linealidades, linealización

-La mayoría de los fenómenos del mundo real presentancaracterísticas no lineales.

-Los sistemas lineales resultan convenientes por la sencillez en sutratamiento y análisis. Las ecuaciones con no linealidades son dedifícil tratamiento.

Qi

QoS

Ctd

dH⋅ Qi Qo– Qi k2p H⋅–= =

P Ctd

dH⋅ k2p H⋅+ Qi=

HEcuación no lineal



-Los sistemas suelen evolucionar entorno a un punto de trabajopunto de trabajo

-Una función no lineal puede aproximarse en un determinado rangopor una función no lineal. A este procedimiento se le llamalinealización.

-El modelo linealizado:* Mantiene las características del sistema en el entorno del

punto de trabajo.* Es posible tratarlo con la facilidad de los sistemas lineales.* Tiene asociado un error que será mayor cuanto mas se aleje

el sistema del punto de trabajo.

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