mo9 logica matemática proyecto aula 11

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORFACULTAD DE CIENCIAS QUIMICAS

CURSO DE NIVELACIONM09

PROYECTO DE AULA

PROFESOR: Ing. Oscar Tapia.

INTEGRANTES:

Malucin Karen Nº:07Manobanda Johanna Nº:09Manzanillas Anita Nº10Martínez Alex Nº11Morales Karen Nº37Valencia Paulina Nº47

UNIDAD 1LOGICA MATEMATICA

INDICE:• Reseña histórica

• Definición de lógica

• Proposiciones definición

• Clasificación de proposiciones

• Conectores lógicos

• Tablas de verdad

• Algebra proposicional

• Circuitos

• Bibliografía

Platón, Aristóteles y Euclides proponen las primeras ideas hacia la lógica: Platón propone ideas o abstracciones. Aristóteles resuelve el razonamiento deductivo y sistematizado. Euclides es el autor que establece el método axiomático. El trabajo de Aristóteles contiene el primer tratado sistemático de las leyes de pensamiento para la adquisición de conocimiento. Representan el primer intento serio que funda la lógica como ciencia. Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. La disciplina de la lógica matemática recibió este nombre gracias a Giuseppe Peano, quien reformó y complementó la lógica tradicional Aristotélica, obteniendo un instrumento para investigar sobre los fundamentos de la matemática. El tradicional desarrollo de la lógica enfatizaba su centro de interés en la forma de argumentar, mientras que la actual lógica matemática lo centra en un estudio combinatorio de los contenidos.

RESEÑA HISTORICA:

LOGICA MATEMATICA

Nos permite distinguir el razonamiento correcto del incorrecto para darle un valor

de verdad

Proposiciones

Operadores lógicos

Algebra proposicional

Simples Compuestas

Lenguaje natural

Lenguaje simbólico

•Verdadera •Falsa

•Verdaderas•Falsas•Verdadera y falsa•Falsa y verdadera

Negación

Conjunción

Disyunción

Conjunción negativa

Disyunción negativa

Condicional

Disyunción exclusiva

Bicondicional

Conmutativa

Distributiva

Identidad

Asociativa

Absorción

Morgan

Idenpotencia

Involutiva

Complemento

LÓGICA MATEMÁTICA:La lógica matemática es una parte de la lógica y la matemática, que consiste en el estudio matemático de la lógica, y en la aplicación de dicho estudio a otras áreas de la matemática y de las ciencias. La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y algoritmos, utilizando un lenguaje formal, es un método de razonamiento que no acepta conclusiones erróneas, esto puede lograr definiendo de forma estricta cada uno de los conceptos.

LÓGICA

PROPOSICIONES

Simples Compuestas

Llamaremos de esta forma a cualquier afirmación que sea verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez. Se las representa con una letra del abecedario minúscula

Son las proposiciones que no pueden dividirse en mas proposiciones

Son aquellas proposiciones que surgen de la unión de dos o mas proposiciones simples mediante un conector lógico

Johanna juega futbol.p: Johanna juega futbol.2 es un numero par.q: 2 es un numero par.

Ejemplos de proposiciones: Proposiciones simples:

p: Voy hacer doctora.q: Me gusta la medicina.r: Tengo un cuaderno.s: Me duele la cabeza.

Proposiciones compuestas:

q p: Me gusta la medicina entoncesvoy hacer doctora.q s: ∧ Me gusta la medicina y me duele la

cabeza.s r: ∨ Me duele la cabeza o tengo un

cuaderno.

1. IDENTIFIQUE CUALES DE ESTOS ENUNCIADOS SON PROPOSICIONES Y CUALES NO:

1. El caballo negro.2. El esta dormido.3. ¿Cuántos años tienes?4. Compra un dinosaurio.5. Tengo una mochila nueva.6. La camisa azul.7. Feliz cumpleaños.8. La comida esta rica9. Aga la tarea10. Estoy aprendiendo a tocar la guitarra.

Proposiciones:R: 1, 2, 5, 6, 8, 10

No proposiciones:R: 3, 4, 7, 9

El valor de verdad de una proposición es la cualidad de la veracidad que describe adecuadamente la proposición, este puede ser verdadero o falso:

Verdadero: V = 1 Falso: F = 0 Tabla de verdad: es una representación de las posibles valores de verdad que podría tomar

una proposiciónPara determinar el número de valores que existe en una tabla de verdad o de verificación se aplica la formula 2ª en donde: a es el número de proposiciones.

VALOR ABSOLUTO

Tabla de verdad de proposiciones compuesta

p q

V (1) V (1)

V (1) F (0)

F (0) V (1)

F (0) F (0)

Tabla de verdad de una proposición simple

p

V (1)

F (0)

DETERMINE EL VALOR DE VERDAD DE LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS:

FALSA-Hay un premio nobel de informática.

-El sol es una estrella o es el rey de los astros.

-Saturno y Júpiter son planetas de sistema solar.

-La Universidad Central del Ecuador está ubicada en Quito.

-Bogotá es la capital de Rusia.

-Madrid y Barcelona son ciudades de España.

-El escudo del Ecuador no lleva un cóndor en la parte superior.

VERDADERA

VERDADERA

VERDADERA

FALSA

VERDADERA

FALSA

CONECTORES LÓGICOS

Es un símbolo o palabra que permiten formar proposiciones compuestas, su el valor de verdad depende del valor de las fórmulas

componentes

Disyunción exclusiva

BicondicionalCondicional Disyunción

negativaDisyunciónConjunción

negativa

Conjunción

Negación

No (~)

Si y sólo si

Entonces ()No p.. O

no q… (/)Ni p.. Ni q

(↓)

O ( )∨O p.. O q.. (⊻)

Y ( ) ∧

Será verdadera

cuando ambas

tomen los mismos

valores de verdad

Será falsa si el

antecedente es =1y

el consecuen

tesea = 0

Si la preposición

toma los valores de

P = 1, ~P= 0

P= 0. ~p=1

Será verdadera

cuando ambas

proposiciones sean

verdaderas

Será verdadera

cuando tanto p como q

sean falsas

Será falsa solo

cuando ambas

proposiciones sean

falsas

Será verdadera

cuando una de las proposicio

nes sea verdadera

Será falsa cuando ambas

proposiciones tomen el valor de verdadero

NEGACIÓN:

Se puede obtener otra proposición a partir de una dada negándola es decir anteponiendo la palabra “ no” , “ no es cierto que” , “ni” , “ no es verdad que “.

EJEMPLO Tabla de verdad p: Estoy estudiando 2ª = 2^1= 2 ~ p: No estoy estudiando q: Luis es alegre ~ q: No es cierto, que Luis es alegre

p ~ p

V F

F V

4.- NIEGUE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES Ecuador es un país biodiverso.

Esta lloviendo.

No me gusta el fútbol.

Viajo a Santo Domingo mañana.

No es cierto que trabajo.

Todos somos americanos.

No es verdad que estudio Medicina.

Ecuador no es un país biodiverso.

No esta lloviendo

Me gusta el futbol.

No viajo a Santo Domingo mañana.

Es cierto que trabajo.

No todos somos americanos.

Es verdad que estudio medicina

CONJUNCION:

Es un conector lógico que nos relaciona dos proposiciones simples para formar una proposición completa mediante la unión de dos proposiciones a través del símbolo , ∧ términos gramaticales : “ y “, “pero”, “mas” signos de puntuación: ( , ) ( ; ).Es una multiplicación lógica.

Ejemplos p: Alex es malo q: Karen es feliz p ∧ q : Alex es malo y Karen es feliz. p: Tengo un negocio q: Gano mucho dinero p ∧ q: Tengo un negocio y gano mucho dinero.

TABLA DE VERDAD2 ^ 2 = 4

p q p∧ q

V V V

V F F

F V F

F F F

5.- FORME UNA PROPOSICIÓN COMPUESTA CONJUNTIVA, CON LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS Y SIMBOLICE

p: Alex estudia Matemáticas.q: Paulina esta molesta.

a: La Asamblea tiene poder decisivo.b: La Asamblea está ubicada en Montecristi.

Alex estudia Matemáticas y Paulina esta molesta.p q∧

La Asamblea tiene poder decisivo y está ubicada en Montecristi. p q ∧

RESPUESTA:

CONJUNCIÓN NEGATIVA:

Es un conector lógico que nos relaciona dos proposiciones simples para formar una proposición completa mediante la unión de dos proposiciones a través del símbolo ↓términos gramaticales : ni p… ni q…

Ejemplos:

P: Fui al concierto

Q: estuve en el teatro

p↓q: Ni fui al concierto ni estuve en el teatro

P: Yo salí en navidad Q: Yo paseé en carnaval

p↓q: Ni salí en navidad ni paseé en carnaval

TABLA DE VERDAD 2 ^ 2 = 4

p q p↓ q

V V F

V F F

F V F

F F V

6.- ARME PROPOSICIONES COMPUESTA CON EL OPERADOR DE CONJUNCIÓN NEGATIVO Y LUEGO SIMBOLICE

p: El seguro paga en caso de incendioq: el seguro para en caso de robo

a: Manuel toca un instrumento de percusiónb: Isabel toca un instrumento de viento

Solución

El seguro no paga en caso de incendio ni en caso de robo. p ↓ q

Ni Manuel toca un instrumento de percusión ni Isabel toca un instrumento de viento. a ↓ b

r= NI trabaja S= NI estudia

t= Juan ni respeta a su mamaU= NI quiere a su esposa

EJEMPLOS

SOLUCION

NI trabaja NI estudiaJuan Ni respeta a su madre NI quiere a su esposa

Es un conector lógico que nos relaciona dos proposiciones simples mediante el siguientes símbolo v que se lee “o”. Es una suma lógica.

EJEMPLO TABLA DE VERDAD p: 6+4 = 10 2 ^ 2 = 4

q: 3 es un número primo p v q: 6+4=10 o 3 es un número primo p: Pichincha es una provincia del Ecuador q: Guayas es una provincia del Ecuador p v q: Pichincha o Guayas es una provincia del Ecuador

P Q P V QV V VV F VF V VF F F

DISYUNCIÓN:

7.- FORME PROPOSICIONES DISYUNTIVAS A PARTIR DE LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS Y FORMALÍCELAS

p: El cliente se ha ido sin pagar la cuenta.q: El cliente se ha ido al baño

a: La nieve es negra.b: El césped es verde

Solución

El cliente se ha ido sin pagar la cuenta o ha ido al baño. p V q

La nieve es negra o el césped es verde. p V q

EJERCICIOS

p = "La navidad se celebra en Diciembre"  q = "13 es un número par"

p q p v q1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

p = "los carnavales se celebran en marzo" q = "15 es un número par"

p q p v qV V V

F F V

F V V

F F 0

En el lenguaje español suelen presentarse situaciones que son mutuamente excluyentes entre si, se la representa de la siguiente manera ⊻Términos gramaticales : “o solo” o “solamente” “o p… o q…”

Ejemplosp: Estoy en Quitoq: Estoy en Guayaquil p⊻q: O estoy en Quito o estoy en Guayaquil TABLA DE VERDAD

2 ^2 = 4 r ⊻ s: O los carnavales se celebran en agosto o 15 es un número par" r: Los carnavales se celebran en agosto s: 15 es un número par

p q p ⊻ qV V FV F VF V VF F F

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA:

8.- PASE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES A PROPOSICIONES CON DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

4 + 9 = 12 o los claveles tienen perfume.

5 es un número primo y algunos Suizos aman el juego de las cartas

Londres está en Europa, entonces Inglaterra esta en Asia

Las moscas son insectos y el Mar Muerto es salado.

Solución

O 4 + 9 = 12, o los claveles tienen perfume.

O 5 es un número primo o algunos Suizos aman el juego de las cartas.

O Londres está en Europa o Inglaterra esta en Asia

O Las moscas son insectos o el Mar Muerto es salado.

EJEMPLOS

Estoy en el colegio o en la casa Estoy en Brasil o en Ecuador

R S⊻

"

P Q⊻

SOLUCION

p q p v q

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

R S R v S

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

SI UNA DE LAS DOS PROPOSICIONES ES VERDADERA LA RESPUESTA ES VERDADDERA

En el lenguaje español suelen presentarse situaciones que son mutuamente excluyentes entre si, se la representa de la siguiente manera VTérminos gramaticales : “o solo” o “solamente” “o p… o q…”

Ejemplosp: Hoy tengo matemáticasq: Tengo química p/q: Hoy no tengo matemáticas o no tengo química r: Mercurio está mas cerca de la tierras: Plutón está mas cerca de la Tierra r/s: Mercurio no esta cerca de la tierra o no está Plutón cerca de la tierra.

p q p / qV V FV F VF V VF F V

DISYUNCIÓN NEGATIVA:

TABLA DE VERDAD2 ^2 = 4

9.- CONVIERTA LAS SIGUIENTES DISYUNCIONES EN DISYUNCIONES NEGATIVAS

Voy de paseo con mi perro o salgo a comer con mis amigos

Einstein era un gran físico o lo era Isaac Newton

Júpiter tiene satélites o Atenas es parte de Grecia.

Me gustan las pizzas o la lasaña

Solución

No voy de paseo con mi perro o no salgo a comer con mis amigos.

Einstein no era un gran físico o no lo era Isaac Newton.

Júpiter no tiene satélites o Atenas no es parte de Grecia.

No me gustan las pizzas o no la lasaña

A este conector lógico también se lo denomina enunciación hipotética o implicación y se lo representa así: p q. Términos gramaticales: si p “entonces” q, p “solamente si” q, p “siempre que” q o cualquier expresión que denote causa y efecto.

r: Trabajo mucho s: Recibo sueldo alto r → s: Si trabajo mucho entonces recibo sueldo alto

TABLA DE VERDAD2^2= 4

p q p qV V VV F FF V VF F V

CONDICIONAL:

10.- IDENTIFIQUE LA CAUSA Y EL EFECTO EN LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES Y ARMA LAS POR POSICIONES CONDICIONALES

p: Francisco posee una mansiónq: Francisco ha trabajado toda su vida

a: La raíz cuadrada de 4 es 2b: 4 es un número cuadrado

Solución

Francisco ha trabajado toda su vida, entonces posee una mansión. q→p

Si la raíz cuadrada de 4 es 2, entonces 4 es un número cuadrado. a → b

EJEMPLOS

SI LLUEVE ENTONCES HACE FRIO SI DUERMO TERANO NO TENDRE SUEÑO EN CLASE

T U T→U

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

X Z X→Z

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

SI EL ANTECEDENTE ES VERDADERO Y EL CONSECUENTE FALSO LA RESPUESTA ES FALSA

Dentro de la condicional existen:

Recíproca: viene definido por q → p

Contra recíproca: es la negación de la recíproca ~q → ~p

Inversa: negación de la proposición original: por ~p → ~q

Ejemplos

p q: Si hoy llueve, entonces me quedo estudiando en casa. (proposición original)

rs: Si lavo todos los platos, entonces mi mama hará mi comida favorita. (proposición original)

qp: Si me quedo estudiando en casa, entonces hoy llueve. (reciproca)

sr: Si mi mama hará mi comida favorita, entonces lavo todos los platos. (reciproca)

~p~q: Si hoy no llueve, entonces no me quedo estudiando en casa. (inversa)

~r~s: Si no lavo todos los platos, entonces mi mama no hará mi comida favorita. (inversa)

~q~p: Si no me quedo estudiando en casa, entonces hoy no llueve. (contra recíproca)

~s~r: Si mi mama no hará mi comida favorita, entonces no lavo los platos. (contra recíproca)

11.- ENCUENTRE LA RECIPROCA, CONTRA RECIPROCA E INVERSA DE LA SIGUIENTE PROPOSICIÓN Y SIMBOLICE

Si obtengo 8 en matemáticas y 9 en física, entonces apruebo el curso. p q

Recíproca

Si apruebo el curso, entonces obtengo 8 en matemáticas y 9 en física. q p

Contrarecíproca

Si no apruebo el curso, entonces no obtengo 8 en matemáticas ni 9 en física. ~q ~p

Inversa

Si no obtengo 8 en matemáticas ni 9 en física, entonces no apruebo el curso.~p ~q

Solución

También llamado equivalencia o doble implicación, es una proposición de la forma «p si y solo si q» y afirma que la proposición p será verdadera cuando y exclusivamente q también lo sea, así como también p será falsa cuando q lo sea. Se lo representa así: p ↔ qtérminos gramaticales: p ” si y solo si ” q, p “ cuando y solo cuando ” q

Ejemplos p: Yo voy almorzar q: Tengo hambre p ↔ q: Voy almorzar si y solo si tengo hambre p: mi mascota es animal q: mi mascota es un perro p ↔ q : Mi mascota es animal si y solo si es un perro

p q p ↔ qV V VV F FF V FF F V

TABLA DE VERDAD2^2= 4

BICONDICIONALIDAD

EJEMPLOS

La Tierra es esférica si y sólo si el Sol es una estrella

J D J↔D

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

SI AMBAS PROPORSIONES TIENEN EL MISMO VALOR SON VERDADEROS, LOS DEMAS SON FALSOS

12.- LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES SEGÚN SU CONECTOR LÓGICO EMPLEADO Y FORMALICE CADA EXPRESIÓN. ADEMÁS HALLE EL VALOR DE VERDAD

• 11 no es primo o no es impar

• Si 2+3 <6 entonces 2<3

• Roger Federer es nadador o futbolista

• 10 es divisible para dos si y solo si 10 es un número par

• 16 no es impar ni primo

• No es cierto que el agua hierve a 100°C

• Los elementos de Cu y Fe son metales

• El protón tiene carga positiva o tiene carga negativa

• Si Neruda es chileno entonces escribió Don Quijote de la

Mancha

Solución:

Disyunción negativa p/q 0 / 0= 1= VERDADERO

Condicional p→q 1→1= 1= VERDADERO

Disyunción p q= 0 0 = 0= FALSO ∨ ∨

Bicondicional 1↔1=1= VERDADERO

Conjunción negativa p↓q 1↓1= 0= FALSO

Negación ~p ~1= 0= FALSO

Conjunción p q= 1 1= 1= VERDADERO ∧ ∧

Disyunción p q= 1 0= 1= VERDADERO ∨ ∨

Condicional p → q 1 →0= 0 = Falso

13.- SI P: GANÉ EL POZO MILLONARIO Q: SOY RICO R: COMPRARÉ TODO LO QUE QUIERA. TRADUZCA LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES AL LENGUAJE LITERAL

( p q ) r ∧ ∨

r ↔ ( p q )∧

q → r

( p ↓ q ) → ~ r

r ⊻ p

Solución

Gané el pozo millonario y soy rico, o compraré todo lo que quiera.

Compraré todo lo que quiera, si y solo si gané el pozo millonario y soy rico

Soy rico, entonces compraré todo lo que quiera

Ni gané el pozo millonario ni soy rico, entonces no compraré todo lo que quiera

O compraré todo lo quiera o gané el pozo millonario

14.- TRADUZCA LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES AL LENGUAJE SIMBÓLICO

No camine todo el día ni corrí, entonces pase durmiendo.

El es inteligente o estudia todos los días, si y solo si quiere entrar a la mejor

universidad

La matemática financiera es mi asignatura favorita y Mozart fue un buen compositor

clásico

Gabriel García Márquez escribió Cien Años de Soledad o Amor en Tiempos de Cólera,

y el Coronel no Tiene Quien le Escriba.

3 + 8 ≠ 5 o 9 + 2 = 1, entonces 7 es un número primo

Solución

(p ↓ q) → r

(p q ) ∨ ↔ r

p q∧

( p q) r∨ ∧

(~ p q) ∨ → r

15.- INDIQUE EL VALOR DE VERDAD DE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES Y SIMBOLICE

Las aves no vuelan y las serpientes reptan

Todos los peces nadan, entonces la ballena es un pez

Ecuador limita con Perú o con el océano Atlántico

Lunes es ingles es Sunday entonces sábado es Saturday

Ferrari fabrica autos deportivo y BMW también

Galápagos es patrimonio natural de la humanidad si y solo si

Galápagos no pertenece a Ecuador

Solución

~ p q ~1 1 = 0 1 = 0 = Falso∧ ∧ ∧

p → q 1 → 0 = 0 = Falso

p q 1 0 = 1 = Verdadero ∨ ∨

p → q 0 → 1 = Verdadero

p q 1 1 = 1 = Verdadero ∧ ∧

p ↔ ~q = 1 ↔ ~1 = 1 ↔ 0 = Falso

16.- DETERMINE EL VALOR DE VERDAD DE LA SIGUIENTES PROPOSICIONES COMPUESTAS Y SIMBOLICE SI A= 1, B= 0 Y C= 0, LUEGO QUE A: HE FALTADO A CLASES B: ESTOY MUY ENFERMO C: ME FUI DE VACACIONES

He faltado a clases si y solo si estoy muy enfermo

Si no me fui de vacaciones, entonces he faltado a clase

Estoy muy enfermo y me fui de vacaciones, por lo tanto he

faltado a clases

No he faltado a clases ni estoy muy enfermo

O estuve muy enfermo o me fui de vacaciones

No es verdad que estuve muy enfermo y he faltado a clases

Solución

a ↔ b 1 ↔ 0 = 0 = Falso

~ c → b = ~ 0 → 1 = 1 → 1 = 1 = Verdadero

(b c) ∧ → a (0 0) ∧ → 1= 0 → 1= 1= Verdadero

a ↓ b 1 ↓ 0 = 0 = Falso

b c 0 0 = 0 = Falso⊻ ⊻

~( b a) ~( 0 1) = ~ 0 = 1 = Verdadero ∧ ∧

17.- SI A= 0 B= 0 Y C= 1 ENCUENTRE EL VALOR DE VERDAD DE LA SIGUIENTES PROPOSICIONES

(a c⊻ ) ↔ b

(b a ) → c ∨

(b ↓ c ) a ∧

~(a c) → c ∨

Solución

(0 1) ↔ 0 = 1 ↔ 0 = 0= Falso ⊻

(0 0) → 1= 0 → 1 = 1 = Verdadero ∨

(0 ↓ 1) 1= 0 1 = 0= Falso∧ ∧

~(0 1) → 1 = ~ 1 → 1= 0 →1 = 1 Verdadero ∨

18.- SI (~P Q) → ~(R ↔ Q) ES UNA PROPOSICIÓN FALSA ENCUENTRE EL VALOR DE ∧P, Q Y R. ADEMÁS HALLE EL VALOR DE VERDAD DE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES

~( p q) ↔ r⊻

(r q) ( p r)∧ ∧ ∨

( q → p) ↔ r

Solución p= 0, q= 1, r= 1

(~0 1) → ~ (1 ↔ 1)∧1 → ~11 → 0 = 0 = FalsoCumple con el valor

~( 0 1) ↔ 1 = ~1 ↔ 1= 0 ↔ 1 = 0= Falso ⊻

(1 1) (0 1) = 1 1= 1 = Verdadero ∧ ∧ ∨ ∧

(1 → 0) ↔ 1 = 0 ↔ 1 = 0 = Falso

JERARQUÍA DE LOS OPERADORES LÓGICOS

IMPORTANCIA CONECTOR SÍMBOLO

Primero Bicondicional ↔

Segundo Condicional

Tercero Disyunción ∨

Cuarto Conjunción ∧

Quinto Negación ~

Se hace uso de esta jerarquía cuando hay símbolos auxiliares como llaves, paréntesis o corchetes.

Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar.

Entre ellas tenemos las siguientes:TAUTOLOGÍA: Es una proposición compuesta siempre verdadera sin importar el valor de verdad que tengan las proposiciones simplesEJEMPLO 2^3= 82^2=4

p q ( p ↔ q) ↔ ( ~ q ↔ ~ p )

V V V V V V F V V F VV F V F F V V F F F VF V F F V V F V F V FF F F V F V V F V V F

p q r ( p v q ) ~(p v q) ( p→ r ) ~(p v q) →( p → r)

V V V V F V VV V F V F F VV F V V F V VV F F V F F VF V V V F V VF V F V F V VF F V F V V VF F F F V V V

TABLAS DE VERDAD DE PROPOSICIONES COMPUESTAS

tabla de valores de verdad, es una tabla que despliega el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda

asignar a sus componentes , entre ellas se encuentran:TAUTOLOGIA:

Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para todas las asignaciones de valores de verdad para sus proposiciones componentes.

EJEMPLO:

Tabla de verdad de proposiciones compuestas

Contradiccion

Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F.

EJEMPLO:

CONTINGENCIA:

Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, (combinación entre tautología y contradicción)

según los valores de las proposiciones que la integran.EJEMPLO.

1.- ELABORE UNA TABLA DE VERDAD Y DETERMINE SI ES TAUTOLOGIA,CONTRADICCION O CONTINGENCIA.

ACONTINGENCIA

EQUIVALENCIA E IMPLICACION LOGICA

IMPLICACION : Una implicación lógica es aquella condicional A→B que es una tautología. En tal caso, puede afirmarse que "A implica B" y se denotará A B.⇒

EQUIVALENCIA : una equivalencia lógica es aquella bicondicional A↔B que es una tautología. En tal caso, puede decirse que "A es equivalente a B" y se denotará A≡B.

Leyes del algebra proposicional

Ejemplo de simplificación mediante el algebra proposicional

Demuestre la siguiente Demuestre la siguiente contradicción ¬(¬(p q) → ¬p)=F ∨

Demuestre la siguiente tautología [(p q) → p] = V∧

[(p q) → p] = V∧~(p q) p= V {Condicional}∧ ∨(~p ~q) p= V {De Morgan}∨ ∨p (~p ~q)= V {Conmutatividad}∨ ∨(p ~p) ~q= V {Asociativa}∨ ∨V ~q = V {Identidad }∨V

~(~(p q) → ~p) = F∨~(~~(p q) ~p) = F {Condicional}∨ ∨~((p q) ~p) = F {Involutiva}∨ ∨~(p q) ~~p= F {De Morgan}∨ ∧ (~p ~q) p = F {∧ ∧ Doble Negación y De Morgan} (~q ~p) p = F {Conmutatividad}∧ ∧~q (~p p) = F {Asociativa}∧ ∧~q F = F {Identidad}∧ F

20.- USANDO EL ALGEBRA PROPOSICIONAL SIMPLIFIQUE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES

~ { [ p v q ] v ~ q } [ ~ ( p → q ) → ~ ( q → p ) ] ( p v q )∧

[ ~ ( p → q ) → ~ ( q → p )] ∧ ( p v q ) PROPIEDADES [ ~ (~ p v q ) → ~ (~ q v p )] ∧ ( p v q ) Condicional

[ ( p ∧~ q ) → ( q ∧~ p )] ∧ ( p v q ) De Morgan[ ~ ( p ∧ ~ q ) v (q ∧ ~p )] ∧ ( p v q ) Condicional

[ (~p v q ) v ( q ∧ ~p )] ∧ ( p v q ) De Morgan[ ( q ∧ ~p ) v (~p v q ) ] ∧( p v q ) Conmutativa

{ [ ( q ∧ ~ p ) v ~p ] v q } ∧ ( p v q ) Asociativa(~p v q ) ∧ ( p v q ) Absorción( q v ~ p ) ∧ ( q v p) Conmutativa

q v (~ p ∧ p ) Distributiva q v F Complemento

q Identidad

~ {[ p v q ] v ~q } PROPIEDADES~ {~p v (q v ~q )} Asociativa

~ {[~p v ~q ]} Idempotencia~ (~p) ∧ ~(~q) De Morgan

p ∧q Doble negación

BIBLIOGRAFIA Fundamentos de Matemáticas – ESPOL

Teoría básica de lógica matemática. (s.f.). Obtenido de marillaclapata.edu.co: http://www.marillaclaplata.edu.co/archivos_m/T_logica.pdf

http://lgicaepn.blogspot.com/2011/12/logica-matematica.html