mm1 por lotes

8/16/2019 MM1 por Lotes

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Solución Analítica M (x )/M /1

25 de julio de 2015

Nicolás Hernández R.Profesor: Reinaldo Vallejos

Procesos EstocásticosUniversidad Técnica Federico Santa María

Valparaíso–Chile

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24

Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad TécnicaFederico Santa María

Valparaíso–Chile

Contenido

Introducción

Descripción de la FilaKendallGrafo

Solución Espacial RecurrenteEBGSolución

Solución Espacial AnalíticaPrimera AproximaciónGrafo de la Ecuación RecurrenteSolución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de las SolucionesImplementación ComputacionalResultadosTiempos de Ejecución

Referencias

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24

Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

2Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad TécnicaFederico Santa María

Valparaíso–Chile

Introducción

Motivación (G. Jensen 1977)

 Considérese una industria de producción de planchas demadera.

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

2Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad TécnicaFederico Santa María

Valparaíso–Chile

Introducción

Motivación (G. Jensen 1977)

 Considérese una industria de producción de planchas demadera.

 Si una plancha posee más de  L  defectos es rechazada, delo contrario se envía a reparación.

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

2Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad TécnicaFederico Santa María

Valparaíso–Chile

Introducción

Motivación (G. Jensen 1977)

 Considérese una industria de producción de planchas demadera.

 Si una plancha posee más de  L  defectos es rechazada, delo contrario se envía a reparación.

  Las plachas defectuosas arriban al centro de reparacióncon tasa λ. Con probabilidad αi , siendo 1 ≤  i  ≤ L, unaplacha tiene i  defectos.

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

2Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad TécnicaFederico Santa María

Valparaíso–Chile

Introducción

Motivación (G. Jensen 1977)

 Considérese una industria de producción de planchas demadera.

 Si una plancha posee más de  L  defectos es rechazada, delo contrario se envía a reparación.

  Las plachas defectuosas arriban al centro de reparacióncon tasa λ. Con probabilidad αi , siendo 1 ≤  i  ≤ L, unaplacha tiene i  defectos.

  Los defectos arriban en lotes, pero sólo pueden repararsede uno a la vez.

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

3Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

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Valparaíso–Chile

Descripción de la FilaKendall

M (x )/M /1 Bulk Arrival

 Tiempo entre arribos de lotes:  exp (λ).

λi   =  λαi    1 ≤  i  ≤ L0   e .o .c 

  (1)

αi : probabilidad de que el lote sea de  i  clientes.

 Tiempo de servicio: exp (µ).

 Servidores: 1.   Capacidad sistema: ∞.

 Tamaño Población: ∞.

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

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Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

4Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

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Valparaíso–Chile

Descripción de la FilaGrafo

0   1 2   i    L-1   L   L+1. . . . . . . . .λα1

λα2   λαi   λαL−1   λαL

λα1λαi −1   λαL−2   λαL−1   λαL

µ µ µ µ

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

5EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad TécnicaFederico Santa María

Valparaíso–Chile

Solución Espacial RecurrenteEBG i  + 1 ≤ L

0   1 2   i i  + 1   L-1   L   L+1. . . . . . . . .

λα1  λα2   λαi 

  λαi +1   λαL−1   λαL

λα1   λαi −1   λαi    λαL−2   λαL−1   λαL

µ µ µ µ µ

µπi +1  = πh 

Lk =i +1−h 

λαk 

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http://slidepdf.com/reader/full/mm1-por-lotes 10/5224

Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

5EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad TécnicaFederico Santa María

Valparaíso–Chile

Solución Espacial RecurrenteEBG i  + 1 ≤ L

0   1 2   i i  + 1   L-1   L   L+1. . . . . . . . .

λα1  λα2   λαi 

  λαi +1   λαL−1   λαL

λα1   λαi −1   λαi    λαL−2   λαL−1   λαL

µ µ µ µ µ

µπi +1  = πh 

Lk =i +1−h 

λαk 

8/16/2019 MM1 por Lotes

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24

Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

5EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad TécnicaFederico Santa María

Valparaíso–Chile

Solución Espacial RecurrenteEBG i  + 1 ≤ L

0   1 2   i i  + 1   L-1   L   L+1. . . . . . . . .

λα1  λα2   λαi 

  λαi +1   λαL−1   λαL

λα1   λαi −1   λαi    λαL−2   λαL−1   λαL

µ µ µ µ µ

µπi +1  =

i h =0

πh 

Lk =i +1−h 

λαk 

8/16/2019 MM1 por Lotes

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

5EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad TécnicaFederico Santa María

Valparaíso–Chile

Solución Espacial RecurrenteEBG i  + 1 ≤ L

0   1 2   i i  + 1   L-1   L   L+1. . . . . . . . .

λα1  λα2   λαi 

  λαi +1   λαL−1   λαL

λα1   λαi −1   λαi    λαL−2   λαL−1   λαL

µ µ µ µ µ

µπi +1  =

i h =0

πh 

Lk =i +1−h 

λαk 

πi +1  = ρ

i h =0

πh Ai −h    (2)

8/16/2019 MM1 por Lotes

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

6EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad TécnicaFederico Santa María

Valparaíso–Chile

Solución Espacial RecurrenteEBG i  + 1  > L

L-1   L   L+1 i i+1. . . . . . . . .

λα1λα2   λαi +1−L

λαi +2−L

λα1   λαi −L   λαi +1−L

µµ µ

µπi +1  = πh 

Lk =i +1−h 

λαk 

8/16/2019 MM1 por Lotes

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

6EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad TécnicaFederico Santa María

Valparaíso–Chile

Solución Espacial RecurrenteEBG i  + 1  > L

L-1   L   L+1 i i+1. . . . . . . . .

λα1λα2   λαi +1−L

λαi +2−L

λα1   λαi −L   λαi +1−L

µµ µ

µπi +1  = πh 

Lk =i +1−h 

λαk 

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http://slidepdf.com/reader/full/mm1-por-lotes 15/52

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

6EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad TécnicaFederico Santa María

Valparaíso–Chile

Solución Espacial RecurrenteEBG i  + 1  > L

L-1   L   L+1 i i+1. . . . . . . . .

λα1λα2   λαi +1−L

λαi +2−L

λα1   λαi −L   λαi +1−L

µµ µ

µπi +1  =

i h =i −L+1

πh 

Lk =i +1−h 

λαk 

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

6EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad TécnicaFederico Santa María

Valparaíso–Chile

Solución Espacial RecurrenteEBG i  + 1  > L

L-1   L   L+1 i i+1. . . . . . . . .

λα1λα2   λαi +1−L

λαi +2−L

λα1   λαi −L   λαi +1−L

µµ µ

µπi +1  =

i h =i −L+1

πh 

Lk =i +1−h 

λαk 

πi +1  = ρi 

h =i −L+1

πh Ai −h    (3)

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Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

7EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad TécnicaFederico Santa María

Valparaíso–Chile

Solución Espacial Recurrenteπ0

Utilizando la Ley de Little, que relaciona la tasa media de

llegada de individuos λ, número medio de clientes en elservidor  N s  y el tiempo medio de servicio   1

µse calcula π0.

λ =  N s 

1µ

(4)

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

7EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad TécnicaFederico Santa María

Valparaíso–Chile

Solución Espacial Recurrenteπ0

Utilizando la Ley de Little, que relaciona la tasa media de

llegada de individuos λ, número medio de clientes en elservidor  N s  y el tiempo medio de servicio   1

µse calcula π0.

λ =  N s 

1µ

(4)

Se sabe que

λ =

Lk =1

λαk k 

8/16/2019 MM1 por Lotes

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

7EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad TécnicaFederico Santa María

Valparaíso–Chile

Solución Espacial Recurrenteπ0

Utilizando la Ley de Little, que relaciona la tasa media de

llegada de individuos λ, número medio de clientes en elservidor  N s  y el tiempo medio de servicio   1

µse calcula π0.

λ =  N s 

1µ

(4)

Se sabe que

λ =

Lk =1

λαk k 

y

N s  = 0π0 + 1(1 − π0)

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

7EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad TécnicaFederico Santa María

Valparaíso–Chile

Solución Espacial Recurrenteπ0

Utilizando la Ley de Little, que relaciona la tasa media de

llegada de individuos λ, número medio de clientes en elservidor  N s  y el tiempo medio de servicio   1

µse calcula π0.

λ =  N s 

1µ

(4)

Se sabe que

λ =

Lk =1

λαk k 

y

N s  = 0π0 + 1(1 − π0)

Reemplazando en la ecuación (4)

λL

k =1

αk k  =  (1 − π0)

1µ

S l ió E i l R

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

8EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa María

Valparaíso–Chile

Solución Espacial Recurrenteπ0

π0  = 1 − ρL   (5)

donde L  representa el número medio de clientes por lote, estoes

L =  λL

k =1

αk k 

S l ió E i l R

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

9Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa María

Valparaíso–Chile

Solución Espacial RecurrenteSolución

En general, la solución recurrente que permite calcular  πi +1  es

πi +1  =

1 − ρL i  + 1 = 0

ρi 

h =0 πh Ai −h    1 ≤  i  + 1 ≤  L

ρi 

h =i −L+1 πh Ai −h    i  + 1 >  L

(6)

donde

Ai −h  =L

k =i −h +1

αk 

S l ió E i l A líti

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

10Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa María

Valparaíso–Chile

Solución Espacial AnalíticaPrimera Aproximación

Para guiar la búsqueda se calculan los primero  πi +1

  π0

π0  = 1 − ρL

S l ió E i l A líti

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24

Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

10Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa María

Valparaíso–Chile

Solución Espacial AnalíticaPrimera Aproximación

Para guiar la búsqueda se calculan los primero  πi +1

  π0

π0  = 1 − ρL

  π1

π1   =   ρ0

h =0

πh A(0 − h )

=   ρπ0A0

Solución Espacial Analítica

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24

Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

11Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa María

Valparaíso–Chile

Solución Espacial AnalíticaPrimera Aproximación

  π2

π2   =   ρ1

h =0

πh A(1 − h )

=   ρπ0A1 + π1A0

=   π0

ρ2A

2

0 + ρA1

Solución Espacial Analítica

8/16/2019 MM1 por Lotes

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24

Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

11Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa María

Valparaíso–Chile

Solución Espacial AnalíticaPrimera Aproximación

  π2

π2   =   ρ1

h =0

πh A(1 − h )

=   ρπ0A1 + π1A0

=   π0

ρ2A

2

0 + ρA1

  π3

π3   =   ρ2

h =0

πh A(2 − h )

=   ρπ0A2 + π1A1 + π2A0

=   π0 ρ3A

3

0 + 2ρ2A1A0 + ρA2

Solución Espacial Analítica

8/16/2019 MM1 por Lotes

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24

Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBGSolución

Solución EspacialAnalítica

12Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa María

Valparaíso–Chile

Solución Espacial AnalíticaPrimera Aproximación

 Parece cumplir la siguiente relación

πi +1   =   π0 ρi +1Ai +1

0   + i ρi Ai 

0A1 + (i  − 1)ρi −1Ai −1

0   A2+

· · · + ρ0A0

0Ak −1

=   π0

ρi +1A

i +1

0   +

i h =1

(i  + 1 − h )ρi +1−h Ai −h 

0   Ah 

Solución Espacial Analítica

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24

Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBGSolución

Solución EspacialAnalítica

12Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa María

Valparaíso–Chile

Solución Espacial AnalíticaPrimera Aproximación

 Parece cumplir la siguiente relación

πi +1   =   π0 ρi +1Ai +1

0   + i ρi Ai 

0A1 + (i  − 1)ρi −1Ai −1

0   A2+

· · · + ρ0A0

0Ak −1

=   π0

ρi +1A

i +1

0   +

i h =1

(i  + 1 − h )ρi +1−h Ai −h 

0   Ah 

 Sin embargo desde π4  en adelante no cumple estarelación, se debe buscar un método fiable para establecerla solución analítica.

Solución Espacial Analítica

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBGSolución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

13Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa María

Valparaíso–Chile

Solución Espacial AnalíticaGrafo de la Ecuación Recurrente

0   1 2   3   L-1   L   L+1. . . . . .

ρA1ρA2

  ρAL−2   ρAL−1

ρA1   ρAL−3   ρAL−2   ρAL−1

ρA0   ρA0   ρA0   ρA0   ρA0

Solución Espacial Analítica

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBGSolución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

14Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa MaríaValparaíso–Chile

Solución Espacial AnalíticaSolución Analítica

  Cada πn  puede ser calculado como la suma  de lasprobabilidades asociadas a cada camino que llega al nodon .

Solución Espacial Analítica

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

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Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBGSolución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

14Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa MaríaValparaíso–Chile

Solución Espacial AnalíticaSolución Analítica

  Cada πn  puede ser calculado como la suma  de lasprobabilidades asociadas a cada camino que llega al nodon .

 La probabilidad de cada camino es el producto de π0  porlas probabilidades de transición.

Solución Espacial Analítica

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

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Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBGSolución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

14Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa MaríaValparaíso–Chile

Solución Espacial AnalíticaSolución Analítica

  Cada πn  puede ser calculado como la suma  de lasprobabilidades asociadas a cada camino que llega al nodon .

 La probabilidad de cada camino es el producto de π0  porlas probabilidades de transición.

  Estrategia:

Solución Espacial Analítica

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Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBGSolución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

14Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa MaríaValparaíso–Chile

Solución Espacial AnalíticaSolución Analítica

  Cada πn  puede ser calculado como la suma  de lasprobabilidades asociadas a cada camino que llega al nodon .

 La probabilidad de cada camino es el producto de π0  porlas probabilidades de transición.

  Estrategia:

Determinar todos los caminos que parten desde el nodo 0 y

llegan al nodo n .

Solución Espacial Analítica

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

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Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBGSolución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

14Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa MaríaValparaíso–Chile

Solución Espacial AnalíticaSolución Analítica

  Cada πn  puede ser calculado como la suma  de lasprobabilidades asociadas a cada camino que llega al nodon .

 La probabilidad de cada camino es el producto de π0  porlas probabilidades de transición.

  Estrategia:

Determinar todos los caminos que parten desde el nodo 0 y

llegan al nodo n . Calcular la probabilidad de cada camino.

Solución Espacial Analítica

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

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Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBGSolución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

15Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa MaríaValparaíso–Chile

Solución Espacial AnalíticaSolución Analítica

  k  j : cantidad de pasos de largo j  con 1 ≤  j  ≤ L  .

Solución Espacial Analítica

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

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Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBGSolución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

15Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa MaríaValparaíso–Chile

Solución Espacial AnalíticaSolución Analítica

  k  j : cantidad de pasos de largo j  con 1 ≤  j  ≤ L  .

  s : total de cantidad de pasos.

mínima cantidad total de pasos: cuando se da la mayor

cantidad de pasos de largo L, luego s  =

n L

máxima cantidad total de pasos: cuando todos los pasos

son de largo 1, luego  s  = n 

Solución Espacial Analítica

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

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Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBGSolución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

15Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa MaríaValparaíso–Chile

So uc ó spac a a t caSolución Analítica

  k  j : cantidad de pasos de largo j  con 1 ≤  j  ≤ L  .

  s : total de cantidad de pasos.

mínima cantidad total de pasos: cuando se da la mayor

cantidad de pasos de largo L, luego s  =

n L

máxima cantidad total de pasos: cuando todos los pasos

son de largo 1, luego  s  = n 

  n : distancia o largo a recorrer.

Solución Espacial Analítica

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Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

16Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa MaríaValparaíso–Chile

pSolución Analítica

 Un camino de total de pasos  s  se puede secuenciar   demúltiples formas. Si posee k 1  pasos de largo 1, k 2  pasosde largo 2, etc. el número de secuencias distintas es

  s 

k 1, k 2, k 3,..., k L

  (7)

Solución Espacial Analítica

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

16Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa MaríaValparaíso–Chile

pSolución Analítica

 Un camino de total de pasos  s  se puede secuenciar   demúltiples formas. Si posee k 1  pasos de largo 1, k 2  pasosde largo 2, etc. el número de secuencias distintas es

  s 

k 1, k 2, k 3,..., k L

  (7)

 Notar que el paso de largo  j  tiene una probabilidad detransición

ρA j −1

. Luego la probabilidad asociada a cada

camino es

(1 − ρL)ρA0

k 1 ρA1

k 2...ρAL−1

k L(8)

Solución Espacial Analítica

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

17Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa MaríaValparaíso–Chile

pSolución Analítica

 Considerando las definiciones de k  j , s  y n  es necesario

que se cumpla

0 ≤  k  j  ≤ s    1 ≤  j  ≤ Lk 1 + k 2 + ... + k L  = s k 1 + 2k 2 + ... + Lk L  = n 

(9)

Solución Espacial Analítica

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

17Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa MaríaValparaíso–Chile

pSolución Analítica

 Considerando las definiciones de k  j , s  y n  es necesario

que se cumpla

0 ≤  k  j  ≤ s    1 ≤  j  ≤ Lk 1 + k 2 + ... + k L  = s k 1 + 2k 2 + ... + Lk L  = n 

(9)

  Solución Analítica

πn  =

n 

s =

n 

L0≤k 1,...,k L≤s 

k 1+k 2+...+k L=s k 1+2k 2+...+Lk L=n 

  s 

k 1, k 2, ...,k L

(1 − ρL)ρs 

L−1

i =0

Ak i +1

i 

(10)

Solución Espacial AnalíticaS l ió A lí i

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

18Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa MaríaValparaíso–Chile

Solución Analítica

La solución analítica encontrada puede reescribirse como

πn  =

n L

k L=0

n −Lk L

L−1

k L−1=0

...

n −

L

 j =3 jk  j 

2

k 2=0

  s 

k 1, k 2,...,k L

(1 − ρL)ρs 

L−1i =0

Ak i +1

i 

(11)

donde k 1  queda inmediatamente determinado pork 1  = n  − 2k 2 − 3k 3 − ...− Lk L

y s  inmediatamente determiando por

s  = k 1 + k 2 + ... + k L

Solución Espacial AnalíticaC P ti l L 1

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

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Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

19Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa MaríaValparaíso–Chile

Caso Particular L  = 1

  Si L = 1 la fórmula general se transforma en

πn    =

n s = n 

1

0≤k 1≤s 

k 1=s k 1=n 

s 

k 1

(1 − ρ)ρs 

0i =0

Ak i +1

i 

Solución Espacial AnalíticaC P ti l L 1

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

19Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa MaríaValparaíso–Chile

Caso Particular L  = 1

  Si L = 1 la fórmula general se transforma en

πn    =

n s = n 

1

0≤k 1≤s 

k 1=s k 1=n 

s 

k 1

(1 − ρ)ρs 

0i =0

Ak i +1

i 

=n 

s =n 

0≤k 1≤s 

k 1=s k 1=n 

s 

k 1

(1 − ρ)ρs 

0i =0

Ak i +1

i 

Solución Espacial AnalíticaCaso Particular L 1

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24

Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

19Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa MaríaValparaíso–Chile

Caso Particular L  = 1

  Si L = 1 la fórmula general se transforma en

πn    =

n s = n 

1

0≤k 1≤s 

k 1=s k 1=n 

s 

k 1

(1 − ρ)ρs 

0i =0

Ak i +1

i 

=n 

s =n 

0≤k 1≤s 

k 1=s k 1=n 

s 

k 1

(1 − ρ)ρs 

0i =0

Ak i +1

i 

=n 

n 

(1 − ρ)ρ

n 

A

n 

0

Solución Espacial AnalíticaCaso Particular L 1

8/16/2019 MM1 por Lotes

http://slidepdf.com/reader/full/mm1-por-lotes 46/52

24

Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

19Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa MaríaValparaíso–Chile

Caso Particular L  = 1

  Si L = 1 la fórmula general se transforma en

πn    =

n s = n 

1

0≤k 1≤s 

k 1=s k 1=n 

s 

k 1

(1 − ρ)ρs 

0i =0

Ak i +1

i 

=n 

s =n 

0≤k 1≤s 

k 1=s k 1=n 

s 

k 1

(1 − ρ)ρs 

0i =0

Ak i +1

i 

=n 

n 

(1 − ρ)ρ

n 

A

n 

0

 Solución Analítica para caso M/M/1 (llegadas individuales)

πn  = (1 − ρ)ρ

n 

(12)

Comparación de las SolucionesImplementación Computacional

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

20Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa MaríaValparaíso–Chile

Implementación Computacional

πn   =

n 5

k 5=0

n −5k 54

k 4=0

...

n −5k 5−4k 4−3k 32

k 2 =0

  s 

k 1 , k 2 , ..., k 5

(1 − ρL)ρ

s 

4i =0

Ak i +1i 

  Implementación en MATLAB.

sumatoria=0;

for k5=0:floor(n/5)

  for k4=0:floor((n-5*k5)/4)

  for k3=0:floor((n-5*k5-4*k4)/3)

  for k2=0:floor((n-5*k5-4*k4-3*k3)/2)

  k1=n-2*k2-3*k3-4*k4-5*k5;

  s=k1+k2+k3+k4+k5;

  ft=factorial(s);

  f1=factorial(k1);

  f2=factorial(k2);

  f3=factorial(k3);  f4=factorial(k4);

  f5=factorial(k5);

  PAc=Ac(1,1)^k1*Ac(2,1)^k2*Ac(3,1)^k3*Ac(4,1)^k4*Ac(5,1)^k5;

  sumatoria=sumatoria+(ft/(f1*f2*f3*f4*f5))*p(1,1)*rho^s*PAc;

  end

  end

  end

end

Comparación de las SolucionesResultados

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Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

21Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa MaríaValparaíso–Chile

Resultados

Parámetros y Resultados

 n Pi_nR Pi_nA

__ _________ _________

  1 0.0695 0.0695  20 3.556e-05 3.556e-05

  40 5.652e-09 5.652e-09  80 1.425e-16 1.425e-16

 120 3.596e-24 3.596e-24

 160 9.071e-32 9.071e-32 170 1.143e-33 1.143e-33

 171 7.382e-34 NaN 10e+6 2.488e-191 NaN

%PARAMETROS

n=1;

lambda=1;

mu=10;

rho=lambda/mu;

%LOTE MEDIO

alfa=[0.15; 0.3; 0.1; 0.25; 0.2];

L=5;

Lmedio=mtimes(transpose([1; 2; 3; 4; 5]), alfa);

p(1,1)=1-rho*Lmedio; %Pi_0

Comparación de las SolucionesResultados

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24

Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

22Resultados

Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa MaríaValparaíso–Chile

Resultados

Comparación de las SolucionesTiempos de Ejecución

8/16/2019 MM1 por Lotes

http://slidepdf.com/reader/full/mm1-por-lotes 50/52

24

Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

23Tiempos de Ejecución

Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa MaríaValparaíso–Chile

p j

ReferenciasPublicaciones

8/16/2019 MM1 por Lotes

http://slidepdf.com/reader/full/mm1-por-lotes 51/52

24

Solución AnalíticaM (x ) /M /1

Nicolás Hernández R.

Introducción

Descripción de la Fila

Kendall

Grafo

Solución EspacialRecurrente

EBG

Solución

Solución EspacialAnalítica

Primera Aproximación

Grafo de la Ecuación

Recurrente

Solución Analítica

Caso Particular L  = 1

Comparación de lasSoluciones

Implementación

Computacional

Resultados

Tiempos de Ejecución

24Referencias

Procesos Estocásticos

Universidad Técnica

Federico Santa MaríaValparaíso–Chile

 G. Jensen, A. Paulson & P. Sullo, 1977.  Explicit steady state solutions for a particular M (x )/M /1 queueing system .

Naval Research Logistics Quarterly 24, 651-659.

 J. Martínez V., R. Vallejos C. & M. Barría M., 2014.  On the limiting probabilities of the M /E r /1 queueing system .Statistics and Probability Letters 88, 56–61.

8/16/2019 MM1 por Lotes

http://slidepdf.com/reader/full/mm1-por-lotes 52/52

Gracias por su atención.