miguel colmenarez

1

LA INTEGRAL DEFINIDA

Uno de los grandes problemas que ocupó a los matemáticos griegos de la antigüedad fue

el de la comparación de figuras curvilíneas y rectilíneas.

Durante mas de 2,000 años los griegos abordaron el problema de calcular áreas de

regiones limitadas por curvas, destacándose entre ellos el método empleado por

Arquímedes llamado método de exhaución. Dicho método consiste en inscribir polígonos

regulares y calcular su área, repetir el proceso varias veces duplicando el número de lados

de los polígonos, hasta llegar a un valor que se consideraba que representaba el área de la

región.

3

2

2 4556 dxx b

a

med dxxfab

f )(1

9

43

203dt

t

t

INTEGRAL DEFINIDA En esta unidad trataremos con sumas de muchos términos, por lo cual introducimos una

notación llamada notación sigma para facilitar la escritura de estas sumas.

Esta notación incluye el uso del símbolo , la sigma mayúscula del alfabeto griego que

corresponde a nuestra letra S.

Ej: 5

1

222222 54321i

i

2

223213203213223)23(2

2i

i

-4 - 1 + 2 +5 +8 = 10

8

3 8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

11

k k

En General: n

mi

nfmfmfmfif )(.......)2()1()()(

Donde m y n son entero y m ≤ n

El número m se llama límite inferior de la suma y n se llama el límite superior. El

símbolo i se llama el índice de la suma, es un símbolo arbitrario porque se puede usar

cualquier letra.

Por Ejemplo:

5

3

2222 543t

t

En ocasiones los términos de la suma incluyen subíndices como:

n

i

ni AAAAa1

21 ....)

9

4

987654 987654)K

k bbbbbbkbb

5

1

554433221 )()()()()()()i

Xi xfxfxfxxfxxfxfc

Propiedades de la Sumatoria

Propiedad 1. n

i

cnc1

donde c es cualquier constante.

Propiedad 2. n

i

c1

.an

i

i c1

)( a i donde c es cualquier constante.

Propiedad 3. n

i 1

a i +b i ]= n

i 1

a i +n

i

ib1

3

Si ai = a (una constante) entonces n

i

n

i

ii bnaba1 1

Propiedad 4. n

i 1

a( i )-a(i-1) = a( n ) – a( 0 )

La suma de las k-ésima potencias de los primeros n enteros positivos n

i

kkkkk ni1

....321

Las siguientes fórmulas relativas a las sumatorias también son útiles.

1) n

i

nnnn

i1

2

2

1

2

1

2

)1(

2) nnnnnn

in

i 6

1

2

1

3

1

6

)12)(1( 23

1

2

3) 234

1

223

4

1

2

1

4

1

4

)1(nnn

nni

n

i

Ejemplo

1) Calcular n

i

ii

1

1)44( sustituimos los superíndices de la propiedad 4.

11

1

1 4444 nn

i

ii

= 044n

= 14n

2) Calcular 20

1

2 )2(3k

kk

4

Soluc. 20

1

2 )2(3k

kk propiedad 2

20

1

3 23k

Kk

20

1

20

1

3 23k k

kk propiedad 3

32

120202

4

1202022

Usando fórmulas 3 y 1 y calculadora.

4204

214003

2

420441003

R = 133560

3) Evalúe el límite 2

....321lim

n

n

n

Solución: Usamos la fórmula

n

i

nni

1 2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2limlim

nnn

n

nn

Ya que n2

1

tiende a cero cuando n

Ejercicios Propuestos

n

n

n

nn

n

n

nnn 2

11

2

1....321

limlimlim 22

5

Calcular la suma indicada, usando propiedades y/o fórmulas:

a)

25

1

12i

ii

R/ 10,400

b)

20

1

2 23i

ii

R/ 133,560

c)

100

11 1

11

ik kk

R/ 100/101

d)

40

11

1212i

ii

R/ 811

e)

8

1

25j

j

R/ -32

f)

100

1

3

i

i

R/ 25,502,500

g)

8

1

21r

rr

R/ 224

Área por Sumatorias o Suma de Áreas

Es fácil calcular el área de una región plana cuando está limitada por líneas. Por ejemplo,

si la región es un rectángulo, un triángulo o cualquier polígono que se pueda dividir en

triángulos, existen fórmulas que permiten determinar su área:

6

Para encontrar área de regiones cuyos límites no son rectas sino gráficas de funciones, es

necesario utilizar un proceso que se fundamenta en le concepto de límite.

La siguiente figura muestra la región R que está bajo la gráfica de una función creciente f,

con valores positivos, y por arriba del intervalo a, b . Para aproximar el área A de R,

elegimos un entero fijo n y dividimos el intervalo a, b en n intervalos.

x0, x1 , x1, x2 , x2 , x3 , …, xn-1 , xn todos con la misma longitud n

abx . En cada

uno de estos intervalos, levantamos un rectángulo inscrito y un rectángulo circunscrito

(figura1)

y

y = f(x)

Figura 1

f (b) – f (a)

7

x x

a = x0 x1 x2 x3 xn-1 xn= b

Una función f continua y no negativa tiene área bajo su grafica si cuando la amplitud de

su partición x tiende a cero, entonces el límite de las aproximaciones por exceso es

igual al límite de las aproximaciones por defecto.

El rectángulo inscrito sobre el i-esimo termino sub intervalo xi-1, xi tiene altura f (xi-1),

mientras que el i-esimo rectángulo circunscrito tiene una altura f(xi). Como la base de

cada rectángulo tiene una longitud x las áreas de estos rectángulos son f (xi-1) x y

f (xi) x.

y

f(xi)

x

a=x0 xi-1 xi xn=b

f (xi-1)

8

Al sumar las áreas de los rectángulos inscritos para i = 1, 2, 3 ….. n obtenemos la

subestimación xxfAn

n

i

i

1

1 del área real A

De manera análoga la suma de las áreas de los rectángulos circunscritos es la

sobreestimación xxfAn

n

i

i

1

La desigualdad implica que An A An , entonces

n

i

i

n

i

i xxfAxxf11

1

Las desigualdades se invierten si f` x fuera decreciente. Si el número n de

subintervalos es muy grande, de modo que x sea muy pequeño, entonces la

diferencia entre las áreas An y An de los polígonos inscritos y circunscritos será

muy pequeña. Por tanto ambos valores serán muy cercanos al área real A de la

región R.

afbfAnAn

Pero 0

n

ab , cuando n

El área de la región R está dada por:

n

i

in

n

ii

n

xfA xxf1

1

1limlim

Al aplicar la fórmula o Ecuación recordemos que n

abx y xiax1 para i=0, 1, 2,

…..n pues xi está a i pasos de longitud x a la derecha de a0

Ejemplos.

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

1) Determinar el área bajo la gráfica de f(x)=x2 en el intervalo 3,0 .

Solución:

Si dividimos 0, 3 en n subintervalos, de la misma longitud.

nnn

abx

303

nx

3

xiaxi n

ixi

30

Por tanto: n

i

n

i

ii xxxxf1 1

2)()( sustituimos

n

i

n

i n

i

nn

i

12

2

1

22733

aplicando propiedad de sumatorias,

= n

i

in 1

2

2

27 aplicamos la fórmula de sumatoria

nnnn 6

1

2

1

3

127 23

2 aplicamos límite cuando n

93

127

6

1

2

1

3

127

2limnn

An

pues n2

1 y

26

1

n tienden a cero cuando

n ... A = 9u

2

y = x

2

A = 9u

2

xi-1 xi x

10

Ejemplo:

2) Determine el área bajo la gráfica de f(x):100-3x2 de x=1 a x=5

Solución: El intervalo es 1 , 5

nnn

abx

415

xiaxi

n

ixi

41

n

ixi

41 Ahora apliquemos la fórmula

xxxxfn

i

n

i1 1

23100

nn

in

i

4413100

1

2

nn

i

n

in

i

416813100

12

2

nn

i

n

in

i

448243100

12

2

nn

i

n

in

i

4482497

12

2

n

i n

i

n

i

n13

2

2

19296388

11

n

i

n

i

n

i

in

inn 1 1 1

2

32

192961

388

aplicamos fórmulas correspondientes a cada caso.

nnnn

nnn

nn

xxxxfn

i

n

i 6

1

2

1

3

1192

2

1

2

1963883100 23

3

2

21

2

1

Simplificamos (n) 2

329664

4848388

nnn

2

32144276

nn-

Aplicamos límite

27632144

2763lim

nnA

n

A=276 u2

GRAFICA

Ejercicios Propuestos

Determine exactamente el área A, de la región bajo y=f(x)

12

a) 3xxf en 3,0 R/ 4

81 u2

b) 2xxf en 2,0 R/ 6u2

c) xxf 35 en 1,0 R/ 2

7 u2

d) 29 xxf en 3,0 R/ 18 u2

SUMAS DE RIEMANN

Las sumas de aproximación en la ecuación n

i

i xxf1

1 y n

i

i xxf1

son ambas de la

forma xxfn

ni

i * donde xi* es un punto seleccionado en el iésimo subintervalo ii xx ,1

a = x0

*

1x x1 *

2x x2 …… xi-1 *

ix xi *

nx xn = b

Una función f definida en a , b que no necesariamente es continua o positiva. Una

partición P de a , b es una colección de subintervalos

x0, x1 , x1, x2 , x2, x3 ,…. xn-1, xn de a , b de modo que a = x0 x1 x2 x3 ….. xn-

1 xn = b

13

,00

,10

,20

,30

,40

,50

,60

,70

,80

,90

1,0

0

1,1

0

1,2

01,3

0

1,4

01,5

0

1,6

0

1,7

01,8

0

1,9

02,0

0

2,1

0

2,2

02,3

0

2,4

02,5

0

2,6

0

2,7

02,8

0

2,9

03,0

0

X

-4,0

-2,0

0,0

2,0

4,0

6,0

F(x

)

La NORMA de la partición P es el máximo de las longitudes 1iii xxx de los

subintervalos en P y se denota P .

Para obtener una suma como n

i

i xxf1

*, necesitamos un punto *

ix en el iésimo

subintervalo para cada i, 1 i n. Una colección de puntos **

3

*

2 ,.....,*, ni xxxxS donde

*,ix en ii xx ,1 (para cada i) es una selección para la partición P.

Esto define la suma de Riemann para una función f en un intervalo a , b , S una

selección para P, entonces la suma de Riemamn n

i

ii xxfR1

*

En la siguiente gráfica de la función 562 23 xxxf en el intervalo 0, 3

Suma según los extremos

izquierdos

n

i

i xxfR1

1

Según los extremos derechos Según los puntos medios

R= n

i

i xxf1

)( Rmed =

n

i

i xmf1

)( , 2

1* iiii

xxmx

14

,00

,10

,20

,30

,40

,50

,60

,70

,80

,90

1,0

0

1,1

0

1,2

01,3

0

1,4

01,5

0

1,6

0

1,7

01,8

0

1,9

02,0

0

2,1

0

2,2

02,3

0

2,4

02,5

0

2,6

0

2,7

02,8

0

2,9

03,0

0

X

-4,0

-2,0

0,0

2,0

4,0

6,0

F(x

)

,00

,10

,20

,30

,40

,50

,60

,70

,80

,90

1,0

0

1,1

0

1,2

01,3

0

1,4

01,5

0

1,6

0

1,7

01,8

0

1,9

02,0

0

2,1

0

2,2

02,3

0

2,4

02,5

0

2,6

0

2,7

02,8

0

2,9

03,0

0

X

-4,0

-2,0

0,0

2,0

4,0

6,0

F(x

)

LA INTEGRAL DEFINIDA SEGÚN RIEMANN

El matemático alemán G . F. B Riemann (1826 -1866) Proporcionó una definición

rigurosa de la integral.

Definición: La integral definida de la función f de a a b es el número

i

n

i

ip

xxfI1

*

0lim

Siempre que el límite exista, en cuyo caso decimos que f es integrable en [a, b]. La

ecuación significa que, para cada número > 0, existe un número > 0 tal que

i

n

i

i xxfI1

* <

Para cada suma de Riemann asociada con una partición arbitraria P de [a, b] para la que

P <

Nota: La palabra límite se usa para denotar el número mínimo y el número máximo del

intervalo [a, b] y no tiene nada que ver con las definiciones de límite dadas anteriormente.

La notación usual para la integral de f de a a b, debida al filósofo y matemático alemán G.

W Leibniz, es:

15

Esta notación integral no solo es altamente sugerente, sino que también es útil, en

extremo para el manejo de las integrales. Los números a y b son el limite inferior y el

limite superior de la integral, respectivamente, son los extremos del intervalo de

integración.

La variable x se puede reemplazar por cualquier otra variable sin afectar el significado de

la Ecuación.

Así si f es integrable en [a, b] , entonces

b

a

b

a

b

aduufdttfdxxf ; xf es el integrando.

La integral dada, de la integral definida, se aplica solamente cuando a < b, pero es

conveniente incluir, cuando a > b y a = b.

* Si a = b b

a

dxxf 0

* Si a > b b

a

a

b

dxxfdxxf

Definición: Se llama integral definida entre a y b de f(x), y se denota b

a

dxxf al área de

la porción del plano limitado por la grafica de la función f(x), el eje x y las rectas x = a y

x = b.

TEOREMA DE EVALUACIÓN DE INTEGRALES

“ Si G es una primitiva de la función continua f en G(b) – G(a) se abrevia generalmente [

G(x) ]ab entonces aGbGdxxf

b

a

Ejemplo: Evaluar

16

1) 0

0 0coscoscosxsenxdx

= - (-1) – (-1)

= +1 + 1 = 2

2) 3

320

6

640

6

12

6

1

6

1 66

2

0

2

0

65 XdxX

3) 9

1

9

1

2/122/1 3

2/12232 x

xxdxXX

52

24480

19319219

32

2/12/122

9

1

2/12 xxx

Propiedades de las Integrales Definidas

Sea f una función integrable en ba, :

Propiedad 1:

b

a

dxxf 0 Es decir, si la base del área de la región bajo la curva es cero,

el área es cero.

Propiedad 2: b

a

dxxf > 0 , x ba, y f(x) > 0, Es decir, el área de la región bajo la curva siempre

será positiva si f(x) es positiva.

Propiedad 3:

b

a

dxxf < 0, x ba, y f(x) < 0, Es decir, el área de la región bajo la curva siempre será

negativa si f(x) es negativa.

17

Propiedad 4: c

a

dxxf = b

a

dxxf + c

b

dxxf , Si f es una función integrable en un intervalo que contiene

los puntos a, b, c talque a < b < c.

Propiedad 5:

b

a

dxxgxf

b

a

dxxf

b

a

dxxg Si f y g son funciones integrables en [a,b].

Propiedad 6:

kdxxKf

b

a

b

a

dxxf )( para toda constante k

Propiedad 7:

b

a

dxxf )( = -a

b

dxxf )( Al intercambiar los limites de integración cambia el signo de la

integral.

Propiedad 8:

b

a

dxxf )(

b

a

dxxg Si f y g son funciones integrables [a,b] y si f(x) g(x).

Propiedad 9:

b

a

abKKdx Es decir, si la función es constante su integral es el producto de la

constante por la diferencia de los límites de integración.

Ejemplos

Calcular la integral definida de las siguientes funciones:

18

1) 5

2

7dx

Solución : como es una constante, entonces: 5

2

7dx = 7(5-2) = 7(3) = 21 (Por prop. 9)

2) 2

0

3 4dxx y 2

0

2dxx entonces calcular 2

0

3 435 dxxx

Solución:

2

0

3 435 dxxx = 2

0

2

0

2

0

3 435 dxxdxdxx

2

0

2

0

3 02435 xdxdxx

= 5(4) – 3(2) + 8 Sustituyendo

= 20 – 6 + 8

= 22

3) Calcular el área bajo la gráfica aplicando la integral definida.

4

3 2

1

1 2 3 4 5

Solución:

5

1

212)4(3)15(33 udx

19

4) Evalúe

5

4

32

51dx

xx reescribimos

5

4

32 5 dxxx

Solución:

5

4

5

4

32 5 dxxdxx integrando obtenemos

5

4

2

5

4

21

2

51

25

1 xx

xx

Sustituimos aplicando la definición

2242

5

4

1

52

5

5

1

= 10625.0160

17

32

5

4

1

50

5

5

1

Ejercicios Propuestos

a) 7

2

3 4 dxxx

R/ = 2025/4

b) 6

5

23 1 dyyy R/ = -1661/12

c) 0

3senZdz R/ = 6

20

d) 4

1

31dxx

xx

R/ = 8.2

e) e

1

ln y dy R/ = 1

f) 4

0

2/32/5 57 dxxx R/ = 192

g) 0

1

31 dxx

R/ = 1/4

h) 8

0

2sec tdt R/ = 1/2

i) 4/

0

cosxdxsenx R/ = 1/4

j) 2

04

cos dxx

R/ = 4/

k) 3

1

2/ dxxe x R/ = 23.37

l) 2

0

12

3 dxxe x R/ = 3/2 e (e

2-1)

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una primitiva de f en [a, b],

entonces dxxfb

a = F(b) – F(a); la diferencia F(b) – F(a) se denota por el símbolo b

axf )](

o por b

axF )( .

Estrategia para usar el teorema fundamental del cálculo

1. Supuesta conocida una primitiva de f, disponemos de un nuevo recurso para calcular

integrales definidas que no requiere hallar el límite de una suma.

2. Use la siguiente notación para aplicar el teorema fundamental del cálculo b

adxxf )( = b

axF )( = F(b) – F(a).

Nota: No es necesario incluir una constante de integración C en la primitiva.

21

Ocurren los siguientes casos:

1) Si a > b se tiene a

b

b

adxxfdxxf

=- [F(a) – F(b)]

= F(b) – F(a)

2) a = b se tiene

a

aaFaFdxxf 0

Ejemplos

Evaluar

a) 3

2

3

2

32 5

3656 x

xdxx

3

2

3 52 xx

45

639

10161554

108215272

2522353233

b) 0

2

0

2

232 2

2

3

3

2232 x

xxdxxx

022

03

3

0222

2

23

3

22

2323

22

3

10

3

10

1

2

3

16

0463

82

c) 4

4

4

4

2/32/34

4

2/32/1

02/3

43

2/3

43

2/3333

xdxxdxx

* Aplicación del teorema fundamental del cálculo para hallar un área.

d) Calcular el área de la región acotada por la gráfica f(x) = x2 en el intervalo 3,0 nótese

que y 2.

Área = 3

0

3

0

32

3

xdxx .

2

33

9

3

0

3

3

u

Nota: Este ejercicio esta resuelto al inicio de la unidad usando sumatoria.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES DEFINIDAS

Si f es continua en el intervalo cerrado ba, , entonces existe un número “c” en ba, tal

que b

a

abcfdxxf ))(()( , c puede ser cualquier punto de ba, .

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

23

Si despejamos f(c) tendríamos:

b

a

dxxfab

cf )(1

)( obteniéndose así la definición del valor medio de una función en un

intervalo cuyo teorema es:

“Si f es integrable en el intervalo cerrado ba, , el valor medio de f en a,b) es

f med b

a

dxxfab

)(1

”

Ejemplo

a) Halle el valor medio de xxxf 23)( 2 en el intervalo 1,4 en este caso a =1, b = 4

f med b

a

xxxx

dxxxdxxfab

4

1

4

1

23

4

1

232

3

1

2

2

3

3

3

123

14

1)(

1

16

483

101664

3

1

11443

1 2323

GRAFICO

f(x) = 3x2-2x

x Y

1 1

2 8

3 23

4 40

La figura muestra que el área de la región bajo la grafica de f es igual al área del

rectángulo cuya altura es el valor medio.

24

b) Encuentre un número c que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio para la

siguiente integral definida 3

0

2 ))(( abcfdxx

Recordemos que esta ya es un área conocida igual a 9 unidades cuadradas, por tanto

3

0

2 ))(( abcfdxx

3)(

)(3

9

)3)((9

)3)((3

3

03)(33

3

0

3

cf

cf

cf

cf

cfx

Como f(x) = x2 entonces c

2 = 3

c = 3 que es valor que satisface la conclusión del teorema.

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

En varias ciencias, como las ciencias sociales, frecuentemente aparecen funciones en las

que se conocen de ellas solo su gráfica o algunos puntos de la misma. En estos casos no

es posible calcular la antiderivada de la función para determinar el área de la región

limitada por dicha función. Existe un método que proporciona una aproximación al valor

del área y que se conoce con el nombre de “INTEGRACIÓN NUMÉRICA”. Este método

se utiliza en los casos en que es muy complicado o imposible obtener la antiderivada de

la función.

Para aproximar el área de una región usaremos los siguientes métodos:

1) Método del Trapecio

25

Una forma de aproximar el valor de una integral definida es usar “n” trapecios como lo

muestra la figura:

x = 0 x1 x2 x3 x4 = b

En este método se supone que f es continua y positiva en ba, de manera que la integral b

a

dxxf )(

representa el área de la región limitada por la grafica de f y el eje x, entre x=a y x=b.

En primer lugar partimos ba, en n subintervalos, cada uno de anchura n

abx tales

que a= nxxxx ...210 = b

A continuación formamos un trapecio sobre cada subintervalo como lo muestra la figura

f(x0)

f (x1) x0 x1

26 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

n

ab

donde el área del i-ésimo trapecio =n

abxfxf ii

2

)(1 por tanto la suma de las áreas

de los n trapecios es:

Área = )()(...)()(22

)()(...

2

)()(110

110

nnnn xfxfxfxf

n

abxfxfxfxf

n

ab

b

ann xfxfxfxf

n

abdxxf )()(2...)(2)(

2)( 110 que es la regla del trapecio para

aproximar b

adxxf )(

Ejemplo:

1) Use la regla de los trapecio para estimar 3

0

2dxx con n=5

Primero calcular 5

3

5

03

n

abx

3,4.2,8.1,2.1,6.0,0 543210 xxxxxx

Segundo aplicar la ecuación

= )()(2...)(2)(2)(2

1210 nn xfxfxfxfxfn

ab

= )9(2)76.5(2)24.3(2)44.1(2)36.0(20)5(2

03

= 18.91852.1148.688.272.010

3 2U

y = x2

A = 9.18 u2

27

2) Use la regla del trapecio para estimar 0

senxdx con n=4 y n=8

Cuando n=4 44

0

n

abx

43210 ,4

3,

2,

4,0 xxxxx

02

4

32

22

420

)4(2

0sensensensensensenxdx

= 896.14

12222

8222

80)

2

2(2)1(2)

2

2(20

8

Cuando n=8 88

0x

876543210 ,8

7,

4

3,

8

5,

2,

8

3,

4,

8,0 xxxxxxxxx

08

724

328

522

28

324

28

2082

0sensensensensensensensensensenxdx

GRAFICA

como vemos

87

8sensen y

85

83 sensen

Por tanto tenemos

28

872

2

22

852)1(2

832

2

22

82

16sensensensen

834

84222

16

852

832

872

82222

16

sensen

sensensensen

Utilizando la calculadora obtenemos 1.974 u2

que se aproxima al área exacta que es 2u2

Ejercicios Propuestos

Aproxime el valor de la integral para el “n” que se especifique usando la regla del

trapecio.

a) 2

0

2 ,dxx 4n R/ = 8/3 u

2

b) 8

0

2 ,4 dxx 4n R/ = 416/3 u

2

c) 9

4

,dxx 8n R/ = 38/3 u

2

d) 3

1

2,

1dx

x 4n

R/ = 2/3 u2

e) 1.1

1

2dxsenx 4n R/ = 0.089 8.9 * 10

-2