métodos numéricos grado en ingeniería informática tema 3...
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Métodos NuméricosGrado en Ingeniería Informática
Tema 3: Interpolación de Funciones I
Luis Alvarez León
Univ. de Las Palmas de G.C.
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 1 / 32
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Contenido
1 Introducción
2 Interpolación de funciones utilizando los polinomios de Lagrange
3 El error de interpolación
4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror
5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios
6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador
7 Práctica 3. Interpolación de funciones
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Contenido
1 Introducción
2 Interpolación de funciones utilizando los polinomios de Lagrange
3 El error de interpolación
4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror
5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios
6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador
7 Práctica 3. Interpolación de funciones
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Interpolación de funcionesPlanteamiento del problema de interpolación
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Interpolación de funcionesPlanteamiento del problema de interpolación
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Interpolación de funcionesInterpolación lineal
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Interpolación de funcionesInterpolación lineal
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Interpolación de funcionesInterpolación polinómica
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Interpolación de funcionesInterpolación polinómica
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Contenido
1 Introducción
2 Interpolación de funciones utilizando los polinomios de Lagrange
3 El error de interpolación
4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror
5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios
6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador
7 Práctica 3. Interpolación de funciones
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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange
T (0) = 20, T (2) = 18, T (4) = 16, T (6) = 17, T (8) = 21, T (10) = 23
Polinomios base de Lagrange
P0(x) = (x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(0−2)(0−4)(0−6)(0−8)(0−10)
P2(x) = (x−0)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(2−0)(2−4)(2−6)(2−8)(2−10)
P4(x) = (x−0)(x−2)(x−6)(x−8)(x−10)(4−0)(4−2)(4−6)(4−8)(4−10)
P6(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−8)(x−10)(6−0)(6−2)(6−4)(6−8)(6−10)
P8(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−10)(8−0)(8−2)(8−4)(8−6)(8−10)
P10(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(10−0)(10−2)(10−4)(10−6)(10−8)
Polinomio Interpolador
P5(x) = 20P0(x)+18P2(x)+16P4(x)+17P6(x)+21P8(x)+23P10(x)
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Interpolación de FuncionesAproximación de la función ex por un polinomio de grado 2
Interpolamos la función ex en los puntos 0,−1,1
Polinomios base de Lagrange
P0(x) = (x+1)(x−1)(0−1)(0+1)
P−1(x) = (x−0)(x−1)2
P1(x) = (x+1)(x−0)2
Polinomio Interpolador
P2(x) = e0P0(x) + e−1P−1(x) + e1P1(x)
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Interpolación de funcionesComparación de la función ex (trazo discontinuo) y P2(x)
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Contenido
1 Introducción
2 Interpolación de funciones utilizando los polinomios de Lagrange
3 El error de interpolación
4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror
5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios
6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador
7 Práctica 3. Interpolación de funciones
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Interpolación de FuncionesError de interpolación de Lagrange
TeoremaSea f (x) una función, y PN(x) su polinomio interpolador de Lagrangeen los puntos {xi}i=0,..,N ⊂ [a,b] y x ∈ [a,b], entonces
f (x)− PN(x) =f N+1)(�)
(N + 1)!ΠN
i=0(x − xi)
donde � es un valor intermedio perteneciente a [a,b].
ProblemaCalcular la expresión del error de interpolación al aproximar la funciónf (x) = sen(x) en el intervalo [0,2�] interpolando en los puntos 0, �2 , �y 3�
2 , y acotarlo superiormente.
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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange
Solución:f (x) = sen(x) f (x)− PN(x) = f N+1)(�)
(N+1)! ΠNi=0(x − xi)
f ′(x) = cos(x)
f ′′(x) = − sen(x) Los puntos a interpolar son 0, �/2, �,3�/2f ′′′(x) = −cos(x)
f 4)(x) = sen(x)
La fórmula del error de interpolación es
f (x)− P3(x) =sen(�)
4!x(
x − �
2
)(x − �)
(x − 3�
2
)
Como el valor máximo del sen(x) es 1 y el valor más alejado de lospuntos de interpolación en [0,2�] es 2� podemos acotar el error como:
∣f (x)− P3(x)∣ ≤ 14!
2�(
2� − �
2
)(2� − �)
(2� − 3�
2
)
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Contenido
1 Introducción
2 Interpolación de funciones utilizando los polinomios de Lagrange
3 El error de interpolación
4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror
5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios
6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador
7 Práctica 3. Interpolación de funciones
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Interpolación de FuncionesElección de los puntos de interpolación
TeoremaSea N ≥ 0, y un intervalo [a,b] Se consideran los puntos xi dados por
xi = a +b − a
2
(1 + cos
(2i + 12N + 2
�
))i = 0, ...,N
entonces
maxx∈[a,b] ∣ ΠNi=0(x − xi) ∣=
(b − a
2
)N+1 12N ≤ maxx∈[a,b] ∣ ΠN
j=0(x − x̃j) ∣
para cualquier otra elección posible de valores de interpolación x̃j .
Por tanto, utilizando este resultado, el error de interpolación máximo viene de-terminado por:
∣ f (x)− PN(x) ∣≤maxx∈[a,b]f N+1)(�)
(N + 1)!2N
(b − a
2
)N+1
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Interpolación de FuncionesElección de puntos de interpolación
xi = a +b − a
2
(1 + cos
(2i + 12N + 2
�
))i = 0, ...,N
EjemploSe considera [a,b] = [0,1] y N = 5 (es decir 6 puntos deinterpolación). Los puntos de interpolación dados por el teoremaanterior son:
x0 = .982 96x1 = .853 55x2 = .629 41x3 = .370 59x4 = .146 45
x5 = 1.703 7× 10−2
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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange
ProblemaCalcular el error máximo de interpolación en el intervalo [0,1] alinterpolar la función cos(x) en los puntos dados por los polinomios deChebyshev tomando N = 5.
El error de interpolación viene dado por la expresión:
∣ f (x)− PN(x) ∣≤maxx∈[a,b]
∣∣f N+1)(�)∣∣
(N + 1)!2N
(b − a
2
)N+1
en nuestro caso N = 5 y la derivada sexta de cos(x) es − cos(x) cuyomáximo en valor absoluto es 1. Por tanto obtenemos:
∣ f (x)− P5(x) ∣≤ 16!25
(12
)6
= 6.78× 10−7
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2 Interpolación de funciones utilizando los polinomios de Lagrange
3 El error de interpolación
4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror
5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios
6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador
7 Práctica 3. Interpolación de funciones
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Interpolación de FuncionesAproximación de la función ex
Si aproximamos la función ex en el intervalo [0,1] utilizando los puntos :
xi =12
(1 + cos
(2i + 12N + 2
�
))i = 0, ...,N
El error de interpolación viene acotado por :
∣ ex − PN(x) ∣ ≤ e(N + 1)!2N
(12
)N+1
Por tanto si u es la unidad de redondeo y se verifica que
e(N + 1)!2N
(12
)N+1
≤ u ⋅ ex
Entonces la aproximación será la mejor posible dentro de la aritmética. En esteejemplo esto ocurre cuando N = 6, (en una aritmética de 32 bits). Asi, tomandoun polinomio de grado N = 6, es decir 7 puntos de interpolación, obtenemosya la mejor aproximación posible de ex en el intervalo [0,1].
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Interpolación de FuncionesAproximación de la función ex
También podemos aproximar funciones utilizando el desarrollo de Taylor que viene dado por
Por ejemplo, consideremos f (x) = cos(x) en el intervalo [0, �4 ], x0 = 0
cos(x) = 1− x3
3!+
x5
5!− ...+ (−1)N x2N+1
(2N + 1)!+ (−1)N+1 sin(�)x2N+2
(2N + 2)!
La mejor aproximación de cos(x) en una aritmética vendrá dada por la condición∣∣∣∣sin(�)x2N+2
(2N + 2)!
∣∣∣∣ ≤ u∣cos(x)∣ →
∣∣∣∣∣ (�/4)2N+2
cos(x)(2N + 2)!
∣∣∣∣∣ ≤ 2 (�/4)2N+2√
2(2N + 2)!≤ u
Aritmética Precisión Simple N = 4 → 2 (�/4)2N+2√
2(2N + 2)!= 3,4806× 10−8
Aritmética Precisión Double N = 8 → 2 (�/4)2N+2√
2(2N + 2)!= 2,8562× 10−18
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1 Introducción
2 Interpolación de funciones utilizando los polinomios de Lagrange
3 El error de interpolación
4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror
5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios
6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador
7 Práctica 3. Interpolación de funciones
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 1816−184−2 = −1
4 : 1617−166−4 = 1
2
6 : 1721−178−6 = 2
8 : 2123−2110−8 = 1
10 : 23
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
817−166−4 = 1
2
6 : 17 2−1/28−4 = 3
821−178−6 = 2
8 : 21 1−210−6 = −1
423−2110−8 = 1
10 : 23
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1 3/8−0
6−0 = 116
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
817−166−4 = 1
23/8−3/8
8−2 = 0
6 : 17 2−1/28−4 = 3
821−178−6 = 2 −1/4−3/8
10−4 = − 548
8 : 21 1−210−6 = −1
423−2110−8 = 1
10 : 23
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1 3/8−0
6−0 = 116
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
80−1/16
8−0 = − 1128
17−166−4 = 1
23/8−3/8
8−2 = 0
6 : 17 2−1/28−4 = 3
8−5/48−0
10−2 = − 5384
21−178−6 = 2 −1/4−3/8
10−4 = − 548
8 : 21 1−210−6 = −1
423−2110−8 = 1
10 : 23
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1 3/8−0
6−0 = 116
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
80−1/16
8−0 = − 1128
17−166−4 = 1
23/8−3/8
8−2 = 0 −5/384−(−1/128)10−0 = − 1
1920
6 : 17 2−1/28−4 = 3
8−5/48−0
10−2 = − 5384
21−178−6 = 2 −1/4−3/8
10−4 = − 548
8 : 21 1−210−6 = −1
423−2110−8 = 1
10 : 23
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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton
0 : 2018−202−0 = −1
2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0
16−184−2 = −1 3/8−0
6−0 = 116
4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3
80−1/16
8−0 = − 1128
17−166−4 = 1
23/8−3/8
8−2 = 0 −5/384−(−1/128)10−0 = − 1
1920
6 : 17 2−1/28−4 = 3
8−5/48−0
10−2 = − 5384
21−178−6 = 2 −1/4−3/8
10−4 = − 548
8 : 21 1−210−6 = −1
423−2110−8 = 1
10 : 23
P(x) = 20 −1x +0x(x−2) + 116x(x−2)(x−4) − 1
128x(x−2)(x−4)(x−6)
− 11920x(x − 2)(x − 4)(x − 6)(x − 8)
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3 El error de interpolación
4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror
5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios
6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador
7 Práctica 3. Interpolación de funciones
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