mÉtodos 2: resumen teorÍa nivelacion … · la técnica de despeje por “trasposición de...
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MÉTODOS 2: RESUMEN TEORÍA NIVELACION METODOS 1 Orden de las operaciones
Recordemos la jerarquía de operaciones
• La operación de suma se superior al conteo
• La operación de multiplicación es superior a la
suma
• La operación de potencia es superior a la
multiplicación
En orden inverso, una potencia se convierte en
multiplicación y está en suma y está en conteo de
unidades.
Potencia a multiplicación 23 3 3= i
Multiplicación a suma3 3 3 3 3= + +i
Suma a unidades
3 3 3 (1 1 1) (1 1 1) (1 1 1)= + + = + + + + + + + + Los paréntesis se usan para cambiar el orden de
operación.
OPERACIONES COMBINADAS POR MÉTODO LÓGICO : Este método convierte las operaciones de nivel superior a operaciones de nivel inferior
2 32 (3 4 2 )= +i i
• Paso 1: operar los paréntesis
• Paso 2: convertir potencias a multiplicación
• 2 (3 3 4 2 2 2)= +i i i i i
• Paso 3: operar las multiplicaciones
• 2 (9 32)= +i
• Paso 4: operar las sumas
• 2 (41)= i
• 82=
3 22 (7 3 (4 6) ) 3= + − −i i
• Paso 1: operar los paréntesis
• 3 22 (7 3 ( 2) ) 3= + − −i i
• Paso 2: convertir potencias a multiplicación
• 22 (7 3 ( 2) ( 2) ( 2)) 3= + − − − −i i i i
• Paso 3: operar las multiplicaciones
• 22 (7 3 ( 8)) 3= + − −i i
• 22 (7 24) 3= − −i
• Paso 4: operar las sumas
• 22 ( 17) 3= − −i
• Paso 5: convertir potencias a multiplicación
• 2 ( 17)( 17) 3= − − −i
• Paso 6: operar las multiplicaciones
• 578 3= −
• 575=
DESPEJE POR EL MÉTODO DE OPERACIÓN INVERSA. Ecuación: es un objeto matemático que relaciona la
igualdad de dos expresiones algebraicas (contienen
variables)
4x =
Reglas de operaciones a ambos lados:
• En general si se aplica la misma operación a
todo lo que esta en cada lado de la ecuación, la
igualdad se mantiene
• Caso sumas y restas:: Si a una ecuación se
suma o resta a ambos lados un mismo valor se
mantiene la igualdad
• Caso multiplicación y división: SI todo se
multiplica o divide un mismo valor a todo lo del
lado izquierdo y lo del lado derecho de una
ecuación se mantiene la igualdad
• Caso potencia y raíz: si se aplica la potencia o
la raíz a todo lo que esta en ambos lados de la
ecuación, la igualdad se mantiene
Ejemplo: Usar las operaciones inversas para despejar x
2 2 4 3x x+ = −
Súmanos (-2) a ambos lados
( 2) 2 2 4 3 ( 2)x x− + + = − + −
2 4 5x x= −
Súmanos ambos lados (-4x)
( 4 ) 2 4 5 ( 4 )x x x x− + = − + −
2 5x− = −
Dividamos ambos lados entre (-2)
2 5
2 2
x− −=
− −
51
2x =i ,
5
2x =
NOTA: La técnica de despeje por “trasposición de
términos” que popularmente se llama la técnica de
“pasar”, no es en realidad una técnica de la ciencia
matemática, es una simplificación del
potencia
multiplicacion
suma
contar
2
procedimiento matemático, que se ahorra varios
pasos en uno
TÉCNICA DE DESPEJE POR TRASPOSICIÓN DE TÉRMINOS (PASAR) Esta técnica correctamente se enuncia así:
• Si deseamos quitar una expresión algebraica
que está SOLA y sumando a un lado de la
ecuación, al trasladarlo al otro lado del signo
igual se colocara SOLA Y sumando con signo
opuesto Comparación de técnicas
Por operación inversa
Por técnica de pasar
2 3x+ =
( 2) 2 3 ( 2)x− + + = + −
0 1x + =
1x =
2 3x+ =
3 2x = −
1x =
• Si deseamos quitar una expresión algebraica
que está multiplicando TODO a un lado de la
ecuación, y al trasladarla cruzara el igual, la
colocaremos dividiendo TODO Comparación de técnicas
Por operación inversa
Por técnica de pasar
3 4x =
3 4
3 3
x=
4(1)
3x =i
4
3x =
3 4x =
4
3x =
3
SIMPLIFIQUE LAS SIGUIENTES OPERACIONES 2 23(3 2 6 3 ) 3 5+ −i i i
2 2 25(5 3 7 6 2 ) 3 5+ −i i i i
2 2 2 25(5 (3 5) 2 ) 7− + −i
2
2 21 4 3 2( ( 5) )
5 7 7 3
+ +
i
DESPEJE LAS SIGUIENTES OPERACIONES
4 3 7 5 12 4x x x x− − = + −
24 7 8x − =
2
28
4 7x=
−
108
4x
x=
4
FUNCIONES CONCEPTOS RELACIONADOS CON FUNCIONES CONJUNTO Es una colección de elementos que se denota
por una letra mayúscula y cuyos elementos se
expresan de dos maneras:
a) Por extensión: describiendo todos los
elementos: { , }A rojo verde=
b) Por comprensión: describiendo la
lógica detrás de los elementos
{( , ) , 1}A x y x y x= ∈ = +ℝ ℝ Esto se lee:
A es el conjunto de todos los pares de
datos representados por (x, y) que
pertenece al producto todos los pares
ordenados de los reales, y que cumple
la condición que 1y x= +
PARES ORDENADOS Es un conjunto de dos elementos en los cuales
importa el orden y se representan por (x, y), de
tal maneara que (3,2) no es lo mismo que (2,3).
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UN PAR ORDENADO. El punto (4,3) representa el par ordenado (x,
y), de manera que x=4, y y=3.
Se parte del origen, y se mueve 4 unidades en
la dirección de x, y 3 unidades en la dirección
de y
PRODUCTO CARTESIANO El producto cartesiano A B× es un conjunto
que resulta de combinar dos conjuntos simples
A y B .
{1,2,3,4}A =
{ , }B a b=
Relacion: es un subconjunto del producto
cartesiano
Del ejemplo anterior de producto cartesian o: C= relación de AxB = {(1,a),(1,b)}
Función: es un subconjunto del producto
cartesiano que cumple la regla, que todo
elemento del dominio solo tiene como pareja
un elemento del rango.
D= función de AxB = {(1,a),(2,b)}
APLICACIONES DE PRODUCTO CARTESIANO, Y FUNCION.
José debe tener una decisión en dos etapas:
La primera decisión es si se transporta en auto
o en moto. La segunda decisión es si va al cine
o aun restaurante.
El conjunto de todas las posibilidad resulta ser
un producto cartesiano.
Donde A= conjunto de los medios de
transporte
Donde B = conjunto de los destinos
Una relación C seria = {(auto, restaurante) , (auto, cine)}
Para la decisión de ir en auto existen dos
opciones, restaurante o cine. Por lo que es no
es una decisión exacta
y
(4,3)
x
B=
AxB a b
1 ( 1,a) ( 1,b)
A= 2 ( 2,a) ( 2,b)
3 ( 3,a) ( 3,b)
4 ( 4,a) ( 4,b)
A X B restaurante cine
moto (moto,restaurante) (moto,cine)
auto (auto,restaurante) (auto,cine)
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Una función D seria = {(moto, restaurante) , (auto, cine)}
Como se puede ver la relación produce
decisiones dudosas, pero la función produce
decisiones exactas:
• si se va en moto se va ira al restaurante
• si se va en auto se ira al cine
FUNCIONES APLICADAS AL PLANO CARTESIANO. Las funciones en el campo de la matemática se pueden graficar en el plano cartesiano. CASO 1: PRODUCTO CARTESIANO DE PUNTOS Datos los conjuntos
{1,2,3,4}A = graficado en el eje de las x
{1,2}B = graficado en el eje de las y
Producen el producto cartesiano siguiente
El cual se puede graficar asi en el plano
cartesiano
CASO 2: PRODUCTO CARTESIANO DE INTERVALOS
] [{ }1,4A x= ∈
] [{ }1,3B y= ∈
El producto cartesiano resultante será el siguiente:_
EJEMPLO DE RELCIONES DENTRO DE AXB
REGLA GENERAL: Se dice que una gráfica en el plano cartesiano
representa una función si se cumple que al
trazar una línea vertical solo suceden dos
casos. Solo toca un punto, o no toca ningún
punto. Si toca dos puntos en algún momento
entonces no es una función es una relación.
CASO 3: FUNCION La función A, es un grupo de puntos (x, y) que
cumple la regla de la ecuación.
1/ 3 1/ 3y x= + y los valores de “x” están
limitados entre 1 y 4, y los de “y” entre 1 y 3
Se expresa asi:
{( , ) , 1/ 3 1/ 3,A x y talque y x= = +
] [ ] [1, 4 , 1,3 }x y∈ ∈
Y su grafica es:
A X B 1 2
1 (1,1) (1,2)
2 (2,1) (2,2)
3 (3,1) (3,2)
4 (4,1) (4,2)
B
2 (4,2)
1
1 2 3 4 A
4
3
2
1
1 2 3 4
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4
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GRAFICA DE UNA FUNCIÓN: Una función de dos variables se grafica en el plano cartesiano. CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES EN EL PLANO CARTESIANO
1. Variable dependiente “y” 2. Variable independiente x (sola) 3. Expresión algebraica
( ) _ _y f x formula de x= =
4. Evaluación de una función
• Si:
( ) 3 2y f x x= = +
• (2) 3(2) 2 8f = + =
• (3) 3(3) 2 11f = + =
5. Dominio: es el conjunto de todas las
“x”, que forman parte de la grafica.
6. Rango o Recorrido: es el conjunto de
todas las “y” que forman parte de la
grafica
Línea vertical solo toca un punto: si se traza
una línea vertical en cualquier parte de la
función f(x) solo se tocara un punto.
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES EN EL
PLANO CARTESIANO
Las funciones pueden ser racionales e irracionales a las que también se les llama funciones algebraicas; asimismo, existen las funciones trascendentes dentro de las cuales se ubican las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
FUNCIONE POLINÓMICAS Lineal: ( )f x ax b= +
Cuadrática:
2( )f x ax bx c= + +
Cubica: 3 2( )f x ax bx cx d= + + +
4
3
2
1
1 2 3 4
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FUNCIONES RACIONALES
( )( )( )
ax bf x
x a x b
+=
− −
FUNCIONES IRRACIONALES (RAIZ CUADRADA)
( )f x a mx b c= + +
FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTO
( )f x a mx b c= + +
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EJERCICIOS 1. Determine los dominios y rangos de las siguientes funciones observando solo a sus graficas:
Dominio:
Rango:
2. Determine el dominio de las siguientes funciones atendiendo únicamente a los valores prohibidos de x
1( )
3f x
x=
− ( ) 3f x x= − 1
( )3
f xx
=−
Recuerde: en una división el
denominador no puede ser cero.
Nota: Para determinar el rango
despeje para x, y vea los valores
prohibidos para y
Recuerde: los valores dentro
de una raíz cuadrada no pueden
ser negativos
Nota: Para determinar el rango
despeje para x, y vea los valores
prohibidos para y
Recuerde: no se puede dividir
entre cero, y los valores dentro
de la raíz cuadrada no puede
ser negativo.
Nota: Para determinar el rango
despeje para x, y vea los valores
prohibidos para y Dominio:
Rango:
3. Determine el dominio y rango de las siguientes relaciones, y determine si es función
{ }( ) (2,3), (5,7), (4,7), (2,5)f x = { }( ) (1,3), (3,7), (4,8), (2,8)f x = { }( ) (1,3), (3,7), (4,8), (2,8)f x =
Dominio:
Dominio:
Rango:
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FUNCIÓN LINEAL Una función lineal es una función de la forma:
f(x) = mx + b
Características de la ecuación:
• El exponente de las variables es 1
• La función se acostumbra que “y” depende de “x”
Características de la grafica:
• Intercepto en x: Ix(?, 0)
• Intercepto en y: Iy(0, ?)
• Pendiente m, si m= positiva es creciente, si m = negativa es decreciente
Características de la función
• Variable dependiente = x
• Variable independiente = y
• Dominio = reales
• Rango = reales
Y su representación grafica es
Para calcular la pendiente de una recta se toman dos puntos y se sustituye
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Para determinar la ecucacion se sustituye un punto (x1, y1) en la siguiente formula:
LÍNEA RECTA DE PENDIENTE VERTICAL: Cumple que para todo punto y, solo existe un valor en x. De manera que los puntos (2,3), (2,4)
pertenecen a la recta, y por tanto no es función.
Si aplicamos la formula
2 1
2 1
(4) (3) 1
(2) (2) 0
y ym indefinido
x x
− −= = = =
− −
EJERCICIOS: CASO 1: Dados dos puntos determinar ecuación de la recta
(1, 2) y (3,5) Paso 1: determinamos
X1=1, y1= 2
X2=3, y2=5
Paso 2: aplicamos la fórmula:
(5) (2) 3
(3) (1) 2m
−= =
−
Paso 3: determinar la ecuación de la recta aplicando
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( )3( (2)) (1)
2y x
− = −
3 32
2 2y x− = −
3 32
2 2y x= − +
3 1
2 2y x= +
Paso 4: verificación X=3
3 1(3) 10 / 2 5
2 2y = + = =
Se cumple (3,5)
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APLICACIONES LINEALES OFERTA:
La oferta se comporta así: Entre mas alto el
precio, hay más personas interesadas en
producir. Entre más bajo el precio a menos
personas interesadas en producir. La grafica
tiene pendiente creciente
• m = precio de venta del productor
• q = cantidad de unidades producidas
• b = intercepto cuando cantidad = 0 (q = 0)
EJERCICIO: Daniel desea poner un negocio de producción y
venta de puertas de madera.
El sabe que cuando el precio es alto de 5000
lps, hay 10 productores que desean poner el
negocio porque la ganancia es alta. Pero
cuando el precio es bajo 1000 lps, solo 1
productor desea producir porque la ganancia
es baja. Si cada productor produce 10,000
unidades determine la ecuación de la oferta
Paso 1: plante los dos casos en una tabla
Paso 2: determine que variable es x, y que
variable es y. Normalmente las unidades son x,
y los precios son y. Tambien a las cantidades
se les llama q, y al precio p.
Paso 3: aplique la formula de pendiente (5000) (1000) 4000 4 2
(40000) (10000) 30000 30 15m
−= = = =
−
Paso 4: determine al ecuación
( )2( 5000) 40000
15y x
− = −
2 800005000
15 15y x
−= + +
2 5000
15 15y x
−= +
Paso 5: Redacte la solución matemática en términos aplicados. La ecuación de la oferta es
2 5000
15 15y x
−= +
Por cada 15 unidades aumenta el precio en 2
unidades.
caso produccion precio
1 10,000 1,000
2 40,000 5,000
caso x y
1 10,000 1,000
2 40,000 5,000
caso q p
1 10,000 1,000
2 40,000 5,000
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DEMANDA
La demanda se comporta así: Entre mas bajo
el precio, hay más personas interesadas en
comprar entre mas alto el precio hay menos
personas i interesadas en comprar. La grafica
tiene pendiente decreciente.
• m = precio unitario de compra
• q = cantidad de unidades adquiridas
• b = intercepto cuando cantidad = 0 (q = 0) EJERCICIO: El negocio de venta de café en tasa, “Café
Excelente” ha observado que si la tasa de café
vale 50 lps, venden 1000 unidades al mes, pero
si el café vale 40 lps, venden 4000 unidades al
mes. Determine cuando podrían vender si el
café se pone al precio de 45 lps.
Paso 1: plante los dos casos en una tabla
Paso 2: determine que variable es x, y que
variable es y. Normalmente las unidades son x,
y los precios son y. También a las cantidades
se les llama q, y al precio p.
Paso 3: aplique la fórmula de pendiente (40) (50) 10 1
(4000) (1000) 3000 300m
− − −= = =
−
Paso 4: determine la ecuación
( )1( 50) (1000)
300y x
− − = −
1 100050
300 300y x
−= + +
1 16000
300 300y x
−= +
1 160
300 3y x
−= +
Paso 5: Redacte la solución matemática en términos aplicados. La ecuación de la demanda es
1 160
300 3y x
−= +
Por cada 300 unidades el precio disminuye en
un lempira.
Paso 6: calcule el valor de x (unidades) si Y
(precio) vale 45
Si y= 45 despejamos
caso produccion precio
1 1,000 50
2 4,000 40
caso x y
1 1,000 50
2 4,000 40
caso q p
1 1,000 50
2 4,000 40
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1 16045
300 3x
−= +
160 145
3 300x
−− =
25 300
3 ( 1)x− =
−i
2500 x= Paso 7: redacte la respuesta en términos aplicados. Si el precio es de 45 Lps la venta será de 2500
unidades
Punto de equilibrio oferta – demanda Como pudimos ver los productores
(ofertantes) y los consumidores (demandantes)
se comportan de diferente manera, por eso sus
graficas tienen pendientes diferentes. Cuando
se ponen de acuerdo es logra el punto de
equilibrio que es el precio al cual ambos
venden y compran
APLICACIONES DE INGRESOS, COSTOS Y UTILIDADES Los negocios comerciales normalmente
funcionan u operan vendiendo productos o
servicios, por lo cual reciben un ingreso, a
cambio entregan productos o servicios para lo
cual tuvieron que pagar costos.
En un negocio comercial se manejan tres
conceptos principales:
1. Ingreso: es el valor en dinero que
recibe una persona o una empresa a
cambio de un producto o servicio.
2. Costo: son los valores en los que tiene
que incurrir una empresa o persona
para poder ofrecer un producto o
servicio
3. Utilidad: es la ganancia que logra una
persona si vende algo a un valor más
alto de lo que le costó.
Estos tres conceptos se relacionan por la
formula
Utilidad = Ingreso – Costo U = I - C
Como la relación se representa una ecuación
podemos expresarla también como
Ingreso = costo + utilidad Los ingresos, costos y utilidad se pueden representar por la ecuación lineal. Y=mx+b
• Donde m es el valor unitario
• Donde b es el valor fijo
•
• A la parte “mx” se le llama la parte
variable de la ecuación porque cambia
con cada unidad
• A la parte “b” se le llama la parte fija
porque se mantiene constante no
importa el número de unidades
NOTA: En economía en vez de llamarse “m” al precio unitario se le llama “p” y en vez de llamarse “x” a las unidades se les llama “q”
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En resumen
Concepto Total Variable Fijo
Parte matemática
Y= m*x +b
Y= p*q + c
Ingresos Yi=
Costos Yc=
Utilidades Yu=
EJEMPLO: Daniel piensa poner un negocio de venta de
camisetas en la universidad, cada camiseta la
piensa vender a 200 lempiras, el compra las
camisetas a 120 lempiras por unidad, y además
debe pagar por un local la cantidad de 4000
lempiras.
El está preocupado porque no sabe cuánto
debe vender para poder tener ganancias. El
quisiera ganar al mes 9000 lempiras.
PASO 1: determine los datos y plantee la ecuacion
Ingresos
• Precio unitario de venta = 200 Lps
• Ingreso fijo =0
Ingreso = Yi
Y plantear la ecuación Yi=precio unitario (unidades)+ingreso fijo
Yi=mx+b
Yi=200x+0
Nota: por lo general el ingreso fijo no existe, a
menos que la empresa reciba un pago fijo por
algo (alquiler, licencias, derechos, etc.=
Costos
• Costo unitario = 120 Lps
• Costo fijo mensual=4000
Y plantear la ecuación Yc=precio unitario (unidades)+costo + fijo
Yc=mx+b
Yc=120x+4000
Paso 2: calcular la ecuación de utilidad Sabemos U=I - C Utilidad= Yi – Yc =(200x+0)-(120x+4000)
Utilidad =200x+0-120x-4000
Utilidad == Yu=80x – 4000
Si graficamos las ecuaciones de ingreso y costo
nos quedaría.
Gráficamente lo que tenemos es
La ecuación de ingreso Yi= 200x+0 Nos dice que por cada unidad de x, los ingresos
aumentan 200 lempiras.
Si vendemos 10 unidades ganaríamos 2000
lempiras, por eso se dice que 200x es la parte
variable de la ecuación, porque varia o
depende del valor de x (unidades)
La ecuación de costo Yc= 120x+4000 Nos dice que por cada unidad tendremos que
gastar 120 lempiras, si vendemos 10 unidades
(x=10) el costo variable será de 1200 lempiras.
Se dice que es la parte variable, porque
depende de cuánto se venda.
Se dice que 4000 lempiras es la parte fija,
porque venda o no venda igual debemos
pagarlo.
La ecuación de utilidad Yu=80x-4000
zona de
zona de utilidad
perdida
4000
Recta de Ingreso
recta del costo
Punto de equilibrio
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Nos dice que si no vendemos nada (x=0)
tendremos una pérdida de 4000 lempiras.
Nos dice también que por cada unidad
ganamos 80 lempiras
Punto de equilibrio: Es el momento en que
1. Ingresos son iguales al os costos
2. Utilidades son iguales a cero
Calculamos Yu=80x-4000
Yu=0 = 80x-4000
Despejamos: x=4000/80 =50
Ahora ya sabemos que Daniel debe vender al
menos 50 unidades para no tener pérdidas.
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Función cuadrática
ECUACIÓN Forma polifónica
2( )f x ax bx c= + +
Forma canónica 2( ) ( )f x a x h k= − +
Si: ( )g x mx b= +
( )2( ) ( )f x a g x c= +
Forma en raíces
1 2( ) ( )( )f x a x x x x= − −
CARACTERÍSTICAS DE LA GRAFICA Concavidad
Si a = positiva
Si a= negativa
Vértice (h,k): es el punto máximo o mínimo de
la grafica. SI “a” es positivo es mínimo, si “a” es
negativo es máximo
2
bh
a
−=
1 2( )
2
x xh
+=
2( ) ( )k f x a h bh c= = + +
Intercepto en x.= Ix(?,0) El intercepto se calcula cuando y =0
Intercepto en y.= Iy(0, ?) El intercepto se calcula cuando x =0
EJEMPLO: 2( ) 20f x x x= + −
a=1, b=1,c=-20 Paso 1: calculamos el vértice (k,h)
(1) 1
2(1) 2h
− −= =
(1) 1
2(1) 2h
− −= =
Paso 2: determine el intercepto en y
x=0 2(0) 1(0) 1(0) 20 20k f= = + − = −
Iy=(0,-20)
Paso 3: determine el intercepto en y
y=0 20 1 20x x= + −
Factorizando
0=(x+5)(x-4)
1 5x = −
2 4x = +
Ix1=(0,-5)
Ix2=(0,4) Paso 4: Elaborar tabla de valores (opcional)
x y
-5 0
-1/2 -81/4=-20.25
4 0
Paso 5: graficar
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
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Aplicaciones de la función cuadrática Recordamos las aplicaciones lineales.
Ingreso = precio unitario (unidades)+ingreso fijo Yi=p*q+fijo
p=precio unitario de vena
q=unidades
Costo = costo unitario (unidades)+costo fijo Yc=p*q+fijo
p=precio unitario de vena
q=unidades
Utilidad=margen unitario (unidades) + utilidad fija Yu=p*q+fijo
p=precio unitario de vena
q=unidades
SI el precio es constante es una aplicación lineal Nota: Cuando el precio incluye descuento por
volumen, se convierte en una aplicación
cuadrática
EJEMPLO: Daniel piensa poner un negocio de venta de
camisetas en la universidad, cada camiseta la
piensa vender a 200 lempiras, el compra las
camisetas a 120 lempiras por unidad, y además
debe pagar por un local la cantidad de 4000
lempiras.
El está preocupado porque no sabe cuánto
debe vender para poder tener ganancias. El
quisiera ganar al mes 9000 lempiras.
Nota: esta aplicación lineal se vuelve
cuadrática si aplicamos descuentos por
volumen.
Daniel piensa poner un descuento al precio por
volumen de 2 lempiras cada 100 unidades
(2
100d
−= ), por lo que ahora el precio es
2200
100p = −
Tambien consiguió un descuento al precio del
costo de 1 lempira cada 100 unidades
(1
100d
−= ),, por lo que ahora el precio es
1120
100p = −
PASO 1: Planteamos las ecuaciones de ingreso
y costo.
INGRESOS: recordamos
Yi=p(q)+fijo
2200
100p = −
q=x
ingreso fijo = 0
2200 ( ) 0
100yi x
= − +
22200
100yi x x= −
COSTOS: recordamos
YC=p(q)+fijo
1120
100p = −
q=x
ingreso fijo = 0
1120 ( ) 0
100yc x
= − +
21120
100yc x x= −
Paso 2: calculamos la utilidad
U = I – C
U=Yi –Yc
2 22 1200 120
100 100U x x x x
= − − −
20
2 22 1200 120
100 100U x x x x= − − +
2180
100U x x= −
PASO 3: Elaborar la grafica de utilidad
2180 0
100U x x= − + +
a=-1/100
b=80
c=0
804000
12
100
h−
= =−
( )21( ) 4000 80(4000) 0
100k f h= = − + +
K=160,000
Interceptas 1
( 80)100
U x x= − +
X1=0
X2=8000
Tabla de valores
Grafica
PASO 4: Establecer la interpretación comercial
de los resultados
PUNTO MÁXIMO O MÍNIMO Como a = negativo, la grafica es cóncava hacia
abajo, y por tanto el vértice representa el
punto máximo.
Que es la utilidad máxima de 160,000 lempiras
para una producción de 4000 unidades
UTILIDAD NULA. Cuanto la grafica intercpeta con el eje x, se
producen las utilidades nulas, que ocurren en
la producción 0 y la producción 4000.
a
x y
-1000 -90000
0 0
2000 120000
4000 160000
6000 120000
8000 0
9000 -90000
-150000
-100000
-50000
0
50000
100000
150000
200000
-2000 0 2000 4000 6000 8000 10000
21
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
Ejemplos
Ecuacion
y a mx b c= + +
Si ( )g x mx b= +
Tambien Tenemos la forma
( )y a g x c= +
Forma de la grafica
SI a es positivo
Si a es negativo
Característica de la grafica Vertice (h, k)
h: es igual a x si ( ) 0g x =
k:
k= f(h)= ( )a m h b c= + +
k= f(h)= c
Intercepto en y = Iy =(0, ?)
Intercepto en x = Ix =( ?,0)
Dominio = ℝ =Reales
Rango
SI a es positivo [ , [k +∞
Si a es negativo
] , ]k−∞
EJERCICIO: Graficar y determinar dominio y rango de
3 6 3y x= − − +
Paso 1: determinar vértice
(h, k)
( ) 0g x =
3x-6=0
X=6/3=2
3(2) 6 3y = − − +
6 6 3y = − − +
0 3y = − +
3y = +
Paso 2: determinar intercepto en “y” Iy(0, ?)
X=0
3(0) 6 3y = − − +
6 3y = − − +
(6) 3y = − +
3y = −
Iy(0,-3)
Paso 3: determinar el intercepto en “x” Ix(¿ ,0)
Y=0
0 3 6 3x= − − +
3 3 6x− = − −
33 6
1x
−= −
−
3 3 6x= −
22
+ -
( )3 3 6x= + −
3 3 6x= −
3 6 3x+ =
9
3x=
3x =
( )3 3 6x= − −
3 3 6x= − +
3 3 6x = − +
3 3x =
3
3x =
1x =
Ix(3, 0)
Ix(1, 0)
Paso 4: elaborar grafica
Paso 5: determinar dominio y rango
Dominio
= ℝ =Reales
Rango:
Como a es negativo
] ,3]−∞
23
FUNCIÓN RADICAL Ecuacion
y a mx b c= + +
Si ( )g x mx b= +
Tambien Tenemos la forma
( )y a g x c= +
Forma de la grafica
SI “a” es positivo
y “m” es positivo.
Si “a” es negativo
Y “m” es positivo.
Característica de la grafica Vertice (h, k)
h: es igual a x si ( ) 0g x =
k:
k= f(h)= ( )a m h b c= + +
k= f(h)= c
Intercepto en y = Iy =(0, ?)
Intercepto en x = Ix =( ?,0)
Dominio
SI “m” es positivo [h, [+∞
Si “m” es
negativo
] , ]h−∞
Rango
SI “a” es positivo [ , [k +∞
Si “a” es negativo
] , ]k−∞
EJERCICIO: Graficar y determinar dominio y rango de
3 6 3y x= − − +
Paso 1: determinar vértice
(h, k)
( ) 0g x =
3x-6=0
X=6/3=2
3(2) 6 3y = − − +
6 6 3y = − − +
0 3y = − +
3y = +
Paso 2: determinar intercepto en “y” Iy(0, ?)
X=0
3(0) 6 3y = − − +
6 3y = − − +
No existe, porque no se puede calcular la raíz
de un negativo.
Paso 3: determinar el intercepto en “x” Ix(¿ ,0)
Y=0
0 3 6 3x= − − +
3 3 6x− = − −
33 6
1x
−= −
−
3 3 6x= − 2 2(3) ( 3 6)x= −
9 3 6x= −
9 6 3x+ =
15
3x=
5x =
Ix(5,0)
25
FUNCIÓN RACIONAL Ecuación
( )
( )
P xy
Q x=
Donde P(x) es un polinomio y
Q(x) es un polinomio diferente de cero
Ecuación factorizada
1 2 3
1 2 3
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
p x p x p xP xy
Q x q x q x q x= =
i i
i i
Donde
1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P x p x p x p x= i i
1 2 3( ) ( ) ( ) ( )Q x q x q x q x= i i
CARACTERISTICAS DE LA GRAFICA Asíntota Vertical (AV): es una línea vertical imaginaria a la que la gráfica se acerca por la derecha y
por la izquierda pero jamás la toca o cruza.
Sabemos que Q(x) no puede ser cero porque la división entre cero no existe. Y por tanto ningún
factor de Q(x) puede ser cero.
Si nos acercamos a este valor por la derecha o por la izquierda, lo que ocurrirá es que los valores de
“y” tenderán a −∞
o +∞
Ejemplo 1
( 2)y
x=
−
AV ocurre cuando
x-2=0
despejando x=2
Verificamos por la
izquierda
X=1.9999
1
(1.9999 2)y =
−
=-10,000
(tiende a - ∞
)
-2 -1 0 1 2 3 4
26
Verificamos por
la derecha
X=2.0001
1
(2.0001 2)y =
−
=10,000
(tiende a +
infinito)
Asíntota Horizontal y Oblicua: Es una línea recta horizontal u oblicua a la cual tiende la gráfica en los valores que – infinito y +
infinito.
Lo que sucede en los valores cercanos a + infinito o – infinito es que el resultado final esta
determinado por la división de los términos principales de P(x) y de Q(x)
Por tanto la tendencia del y e - infinito o + infinito depende solo del termino principal.
Caso horizontal “y” distinto de 0: cuando los grados de polinomio de P(x) y Q(x) son iguales la división
de los términos será una constante: la cual determinara una recta horizontal a la que la gráfica
tendera en – infinito o + infinito:
Ejemplos 3 3
3 2 3
3 2 3 3( )
5 18 1 5 5
x xf x
x x x
+= ≈ =
+ +
La asíntota horizontal será y=3/5 y su grafica:
Podemos verificarlo con la tabla de valores
-2 -1 0 1 2 3 4
x y y=
10 14000 3000
100 4001000 3000000
1000 3100001000 3000000000
100000 3.001E+15 3E+15
3 2( ) 3 2 1P x x x= + +3 2( ) 3 100 1000P x x x= + +
27
Vemos que a medida que vamos a mas y menos infinito mas nos acercamos a 3/5=0.60
Caso horizontal “y” igual a 0 Cuando el grado del polinomio Q(x) es mayor que P(x),el resultado de dividir los términos principales
es:
1k
x , 2
1k
x , 3
1k
x , etc.
Donde k es una constante
Esto lo confirmamos con esta tabla de valores:
Como vemos la tendencia es acercarse a la recta horizontal y=0
Caso oblicuo: Cuando la división de los términos establece un término lineal se produce una asíntota
con pendiente inclinada
Ejemplo 4 4
3 2 3
7 9 7 7( )
5 10 5 5
x x xf x
x x x
+= ≈ =
+ +
La asíntota será una recta con pendiente 7/5
Para determinar el valor exacto de la ecuación de la línea recta debemos hacer la división de ambos
polinomios
La ecuación de la asíntota horizontal será
x
-10000 0.600216078
-1000 0.602167804
-100 0.622406353
100 0.579150853
1000 0.597847748
10000 0.599784078
3 3
3 2 3
3 2 3 3( )
5 18 1 5 5
x xf x
x x x
+= ≈ =
+ +
Si k = 1
x y=
-10000 -0.0001
-1000 -0.001
-100 -0.01
100 0.01
1000 0.001
10000 0.0001
1k
x
28
Y la grafica será:
Caso sin asíntota horizontal u oblicua: Si se tiene asíntota hozontal no se tiene oblicua y viceversa.
Ocurre cuando el grado del polinomio del numerador de la función es dos o más grados superior al
inferior. 4 4 2
2 2
10 1 1( )
5 3 5 5
x x xf x
x x
+= ≈ =
+
La grafica de la función es roja la gruesa, la
gráfica en el infinito es la punteada.
Nota: Después del caso lineal (asíntota oblicua)
los demás casos se consideran que van a
menos o mas infinito según sea
Punto faltante: Cuando se puede cancelar un factor del denominador Q(x) con el del numerador P(x) se dice que ese
factor crea un punto faltante.
Ejemplo:
( 2) 1( )
( 3)( 2) ( 3)
xf x
x x x
−= =
+ − +
En este caso es fácil ver que tenemos un factor común (x-2), y es fácil de cancelar, sin embarfo si el
problema se nos presenta asi
29
2
( 2)( )
6
xf x
x x
−=
+ −
No podemos saber qué pasa.
Lo que si podemos saber es que al sustituir x= 2 nos queda:
2
((2) 2) 0 0( )
(2) (2) 6 4 2 6 0f x
−= = =
+ − + −
La división 0/0 no está definida por tanto este punto no se puede graficar.
Regla: siempre que al sustituir un valor de x nos quede el caso 0/0 sabemos que al menos existe un
caso de un punto faltante
REGLAS RESPECTO A LOS FACTORES DE P(X) Y Q(X) Los factores de P(X) solo pueden ser:
• Intercepto en x
• Punto faltante
Los factores de Q(x) solo pueden ser
• Asíntota vertical
• Punto faltante
SI un factor esta arriba y abajo y puede simplificarse en 1 al dividirse entonces ese factor será punto
faltante, y la formula de la función podrá simplificarse
Ejemplo
2 ( )( )
3 ( )
P xf x
x Q x
−= =
−
Paso 1: Factorizar y clasificar los factores
En este ejemplo no se ocupa factoizar
Concepto Factor Valor de x si factor =0
Tipo
P(x)
arriba
-2
No aplica No aplica
Q(x)
abajo
x-3 X=3 AV:
asíntota
vertical
Paso 2: METODO DE TABLA DE VALORES Se elabora una tabla de valores que incluya los valores de x de la tabla de factores, y se agregue un
valor de -10 o -100 que represente menos infinito y uno de +10 o +100 que represente más infinito. Y
se debe agregar el intercepto de y, o sea cuando x=0.
30
Tipo x X Y
−∞
-10
Iy 0
AV 3
+∞
+10
El problema con esta tabla de valores es que el valor de x=3 no esta definido porque 1/0 no esta definido por lo
que no se puede evaluar y menos graficar.
Por lo cual agregaremos a la tabla de valores un valor cercano a 3 antes y despue y calculamos los valores de
“y”
Tipo x X Y
−∞
-100 0.01942
Iy 0 2/3
AV- Δ 2.999 2000
AV 3 No Aplica
AV+ Δ 3.001 -2000
+∞
+100 -0.02062
Podemos ver que
• cuando x tiende a valores cercanos a menos infinito y tiende a valores de 0 positivos.
• cuando x tiende a valores cercanos a mas infinito “y” tiende a valores de 0 negativos.
• que cuando “x” se acerca a 3 por la izquierda los valores de “y” tienen a mas infinito
• que cuando “x” se acerca a 3 por la derecha los valores de “y” tienen a menos infinito
Con esto ya podemos graficar estas tendencias:
Si unimos estas tendencias tendremos la grafica final
4
3
2
1
0 AH:y=0
-4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-2
-3
-4 AV:x=3
31
Dominio = {3}eales −ℝ
Notamos que son los reales menos los valores que hacen cero Q(x)
Rango: {0}eales −ℝ
EJEMPLO 2
2
3
2 2( )
9
x xf x
x x
−=
−
Paso 1: factorizar 2
3
2 2 2 ( 1)( )
9 ( 3)( 3)
x x x xf x
x x x x x
− −= =
− − −
Paso 2: identificar factores eliminables y Punto Faltante.
2 ( 1) 2( 1)( )
( 3)( 3) ( 3)( 3)
x x xf x
x x x x x
− −= =
+ − + −
Observamos que el factor “x” está arriba y abajo y puede simplificarse. Por tanto x=0 es un punto
faltante (PF).
Para averiguar cuanto vale en y sustituimos en la formula simplificada
2(0 1) 2 2(0)
(0 3)(0 3) 9 9f
− −== = =
+ − −
PF=(0, 2/9)
Paso 3: elaboramos tabla de factores y su clasificacion
Concepto Factor Valor de x si factor =0
Tipo
P(x)
arriba
2 No aplica No aplica
x x PF
x-1 X=1 Ix
32
Q(x)
abajo
x x PF
x-3 X=3 AV:
X+3 X=-3 AV:
Paso 4: diseñamos tabla de valores
Tipo x X Y
−∞
-100
AV -3
Iy, PF 0
Ix 1
AV 3
+∞
+100
Paso 5: elaboramos tabla de valores
Tipo x X Y
−∞ -100 -0.0101
AV - Δ -3.001 -666.7222
AV -3 No Definido
AV + Δ -2.999 666.6111
PF- Δ -0.001 0.1112
Iy, PF 0 0.1111
PF+ Δ 0.001 0.1110
Ix 1 0.0000
AV- Δ 2.999 -333.2222
AV 3 No Definido
AV + Δ 3.001 333.4444
+∞ 100 0.0099
Paso 6: determinamos asíntota horizontal /oblicua 2 2
3 3
2 2 2 2( )
9
x x xf x
x x x x
−= ≈ =
−
Lo que nos da que la Asíntota Horizontal es
AH: Y=0 Paso 7: graficamos
33
METODO POR SIGNOS En vez de calcular toda la tabla de valore podemos utilizar la técnica de tabla signos
En este método buscamos averiguar si la grafica es positiva o negativa, para lo cual averiguamos que
signo produce cada factor en un punto dado de x.
Por ejemplo
(2)(0 1) 2 ( )( )(0) ( )
(0 3)(0 3) 9 ( )( )f
− + −= = = = +
+ − + −
Sabemos que si el factor es
Factor=X-3, como funcion y =X-3
El signo que producirá sera
Si el factor ubiera sido
Factor =(-2x + 4), como funcion Y= (-2x + 4)
Observamos que si la x es negativa los signos cambian
El objetivo al final es hacer ls siguiente tabla
Con esta tabla más la asíntota horizontal podemos hacer fácilmente la grafica
x -100 -1 0 3 10 100
y=x-3 -103 -4 -3 0 7 97
signo - - - 0 + +
x -100 -1 0 2 10 100
y=-2x+4 204 6 4 0 -16 -196
signo + + + 0 - -
Valor de x
Tipo Factor si fac =0
2 No aplica
x x
x-1 X=1
x x
x-3 X=3
X+3 X=-3
f(x)= - + + - +
AV IY,PF IX AV
+
-
-
-
-
-
+
-
-
-
-
+
+
+
-
+
-
+
-
+
+
+
+
+
+
+
P(x)
Q(x)
-3 0 1 3
+
+
+
+
− ∞ + ∞
−∞ +∞
34
Uniendo las flechas nos queda
Que es lo mismo que si hubiéramos usado valores
Dominio: {0,3,-3}eales −ℝ
Notamos que el dominio toma todos los reales menos los valores que hacen cero el denominador
Rango: ealesℝ
El rango depende de la grafica
AH:y=0
-3 0 1 3
AV IY,PF IX AV
− ∞
−∞ +∞
AH:y=0
-3 0 1 3
AV IY,PF IX AV
− ∞
−∞ +∞
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