método de las flexibilidades
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1
MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADESESTRUCTURAS EN EL ESPACIO
Ing. Carlos Magdaleno DominguezProfesor de Estructuras
MARZO 2010
2
En el análisis de los marcos espaciales se deben considerar los seis elementos mecánicos: fuerzas axiales, dos fuerzas cortantes, momentos torsionantes y dos momentos flexionantes. En el ejemplo 1 se ilustra la aplicación del método, en donde se observa que en el cálculo de los coeficientes de flexibilidad y el vector de desplazamiento solamente se tomaron los efectos de flexión y torsión, despreciando los efectos de las fuerzas axial y cortante.
Ejemplo 1.- Resolver el siguiente marco espacial doblemente empotrado sujeto a una carga distribuida de 5 ton/m como se ilustra en la figura 1.1, otros datos son:
EIGJmyEIEIEIEI yz
512,
Solución:
Obtención del grado de hiperestaticidad.
6612. GH
ESTRUCTURAS EN EL ESPACIO
3 FIGURA 1.1 Marco en el Espacio
4
En este ejemplo se consideran dos estructuras primarias, como se ilustra en la figura 1.2, se observa que debido a que el cantiliver quedo en la primera estructura primaria solamente en ella aparecen diagramas de momentos y fuerzas. Como ejercicio resuélvase esta estructura eliminando los empotres del apoyo F.
Llamando p1, p2, p3, p4, p5 y p6 a los elementos mecánicos: fuerzas normales y cortantes y momentos flexionantes y torsionantes, de la sección C, donde se realizó el corte.
En este caso, la ecuación fuerza-desplazamiento queda expresada:
5 FIGURA 1.2 Diagrama de Momentos debido a la Carga Real
6
De la figura 1.2a se obtienen las ecuaciones de momentos flexionantes y torsionantes que se usaron para trazar los diagramas ilustrados en la misma figura.
Tramo DC
25 2
11
xM zx
Tramo CB
22
2
5
10
xM
Mzx
xx
Tramo BA
15
10
3
3
zx
yx
M
M
En forma similar se trazan los diagramas de la figura 1.3 que resulta al aplicar las cargas unitarias como se indica en las figuras (a), (b), (c), (d), (e) y (f).
7 FIGURA 1.3(a) Diagrama de Momentos Flexionantes debido a las cargas unitarias
8 FIGURA 1.3(b) Diagrama de Momentos Flexionantes debido a las cargas unitarias
9 FIGURA 1.3(c) Diagrama de Momentos Flexionantes debido a las cargas unitarias
10 FIGURA 1.3(d) Diagrama de Momentos Flexionantes debido a las cargas unitarias
11 FIGURA 1.3(e) Diagrama de Momentos Flexionantes debido a las cargas unitarias
12 FIGURA 1.3(f) Diagrama de Momentos Flexionantes debido a las cargas unitarias
13
Auxiliándose de los diagramas de momentos flexionantes y torsionantes anteriores, se procede a los cálculos siguientes.
Cálculo de los desplazamientos, se usan las tablas de integración.
EIEIEI
d00.180
)3)(15)(3(1
)3)(15)(3(311
10
EIEId
50.22)10)(3)(3(
21
21
20
EIEId
50.67)15)(3)(3(
211
30
EIEId
50.67)1)(15)(3()1)(15)(3(
211
40
00.050 d
14
EIEIEI
d00.165
)11)(10)(3)(1(2
1)1)(10)(3(
31
20.01
60
Cálculo de las flexibilidades
EIEIf
00.72)3)(3)(3()3)(3)(3(
31
)3)(3)(3()3)(3)(3(311
11
00.012 f
00.0)3)(3)(3(21
)3)(3)(3(211
13
EIf
EIEIf
00.9)1)(3)(3(
21
)1)(3)(3(21
21
14
00.015 f
00.016 f
15
EIEIEI
f00.228
)3)(3)(3()3)(3)(3(2.01
)3)(3)(3(31
24
22
00.0)1)(3)(3()1)(3)(3(2.01
)1)(3)(3(21
)1)(3)(3(31
21
25
EIEIf
00.023 f
00.024 f
EIEIf
00.45)1)(3)(3(
21
22
26
EIEIf
00.18)3)(3)(3(
3
1)3)(3)(3(
3
1133
EIEIf
00.9)1)(3)(3(
2
1234
16
00.035 f
00.036 f
EIEI
f00.12
)1)(1)(3(4
44
00.045 f
EIEIEIf
00.3330355
00.046 f
00.056 f
EIf
00.3366
17
Sustituyendo los valores en la ecuación fuerza-desplazamiento, se tiene:
0
0
0
0
0
0
00.3300.000.000.050.400.0
00.000.3300.000.000.000.0
00.000.000.1200.900.000.9
00.000.000.900.1800.000.0
50.400.000.000.088.200.0
00.000.000.900.000.000.72
1
00.165
00.0
50.67
50.67
50.22
00.180
1
6
5
4
3
2
1
p
p
p
p
p
p
EIEI
Al resolver el sistema de ecuaciones, se tienen los valores de pi
ton09.5
0.00
m- ton76.1
ton87.2
0.00
ton28.2
6
5
4
3
2
1
p
p
p
p
p
p
18
Resulta innecesario, pero se insiste que para obtener los momentos en cualquier punto de la estructura, aplica la siguiente expresión:
6655443322110 pmpmpmpmpmpmMM
En el cálculo de los coeficientes de flexibilidades, así como en los desplazamientos del estado cero, como se indicó al inicio del tema, solamente se consideraron los efectos de los momentos flexionantes y torsionantes, despreciándose los efectos de las fuerzas normales y cortantes. Para los estudiantes inquietos se les recomienda calcular dichos coeficientes con los efectos anteriores.
19
VALORES DE LA INTEGRAL ∫Mi Mk ds
20
TRASFORMACIÓN DE EJES
Es posible cambiar los ejes de un punto a otro punto de una estructura efectuando una traslación y rotación de los mismos.
Traslación de ejes
Para pasar los 6 ejes del punto O al punto O’ se emplea una matriz que se denominará T.
Tpp '
Donde:
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
1000
0100
0010
000100
000010
000001
'
'
'
'
'
'
p
p
p
p
p
p
XY
XZ
YZ
p
p
p
p
p
p
21
Rotación de ejes
Para rotar los 6 ejes, en forma similar, se emplea la expresión:
Rpp '
Donde:
λ, μ y ν son los cosenos directores.
6
5
4
3
2
1
313
222
111
333
222
111
6
5
4
3
2
1
000
000
000
000
000
000
'
'
'
'
'
'
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
22
Rotación y translación de ejes
Cuando se requiera la traslación y rotación de ejes se usa la expresión:
RTpp 'O bien:
App '
Donde A=RT
23
Ejemplo 2.- En la figura 2.1 se muestra en planta e isométrico una estructura de forma elíptica en un cuadrante empotrada en ambos extremos. La sección transversal varía linealmente de una porción de 5”x10” en B a 20”x10” en A. La sección transversal gira de la posición vertical en B a la posición horizontal en A, el ángulo de torsión varia a lo largo del eje de la viga. Tómese G=1 y E=2.5. Tiene 2 cargas verticales de 5 kips como se ilustra en la figura situada a 30° de los ejes del centro de la elipse en planta.
FIGURA 2.1
24
Solución:
Se dividirá la viga curva en 6 tramos con 7 puntos discretos como se ilustra en la figura 2.2 [7(B), 6, 5, 4, 3, 2, 1(A)]. Se evaluarán las matrices tomando en consideración su variación y se integran usando la regla de Simpson. A continuación se describe solamente para la sección 4.
FIGURA 2.2
25
Las cargas se aplican en los L1 y L2 en los segmentos 4-5 y 2-3 respectivamente. A L1 se le asigna el numero 4.5, no necesariamente porque se encuentra a la mitad de 4 y 5. Observe que el M0 en estado primario en el punto 5 es igual a cero, pero tiene valor en 4. Para el punto L2 se numera con 2.5 en forma similar a la anterior. Para el punto 4.
a) Las propiedades de la sección son:
22072.131150.006978.0
65104.065104.078125.0
zyx
zyx
III
AAA
05179.300.000.000.00.0000.0
00.077876.000.000.000.000.0
00.000.006978.000.000.000.0
00.000.000.065104.000.000.0
00.000.000.000.065104.000.0
00.000.000.000.000.095312.1
EI
26
32767.000.000.000.00.0000.0
00.028409.100.000.000.000.0
00.000.033075.1400.000.000.0
00.000.000.053600.100.000.0
00.000.000.000.053600.100.0
00.000.000.000.000.051200.0
1EI
La tabla 1 contiene los valores de rigidez para todos los puntos a lo largo de la viga
PUNTO EAx GAy GAz GIx EIy EIz
7 0.86806 0.28935 0.28935 0.01378 0.15383 0.602826 1.18153 0.39384 0.39384 0.02554 0.28499 1.11685 1.54319 0.51439 0.51439 0.04357 0.48617 1.905194 1.95312 0.65104 0.65104 0.06978 0.77876 3.051793 2.41125 0.80374 0.80374 0.10636 1.18694 4.651332 2.91764 0.97254 0.97254 0.15572 1.73781 6.810081 3.47222 1.1574 1.1574 0.22055 2.46125 9.64505
VALORES DE RIGIDEZ
27
b) Coordenadas:
Las coordenadas para el punto 4, tomadas a la escala del la figura 2.2, son las siguientes: X=-11.76, Y=0, Z=+9.48
El eje x se encuentra sobre el plano xz y por lo tanto μ1=0. La inclinación del eje x se calcula de las propiedades de la elipse y se obtiene λ1=+0.4291 y ν1=-0.9032.
Como la sección central varia linealmente desde B a A, el plano y en el punto 4 forma un ángulo de 90° x 3/6 = 45° con respecto a la vertical. Por lo tanto μ2=cos45°=1/√2. Los valores de λ2 y ν2 se pueden calcular con las siguientes ecuaciones.
0
1
212121
22
22
22
Y se obtiene λ2=+0.6387 y ν2=+0.3034.
Los valores de λ3, μ3 y ν3 se pueden encontrar con la siguientes relaciones:
28
0
0
1
131313
323232
23
23
23
Y se obtiene λ3=+0.6387, μ3=-0.7071 y ν3=+0.3034.
La tabla 2 contiene los valores de coordenadas para todos los puntos en la viga incluyendo los puntos de carga.
PUNTO x y z λ1 μ1 ν1 λ2 μ2 ν2 λ3 μ3 ν3
L 1 -10.37 0.00 7.06 1.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 1.00
L 2 -14.20 0.00 16.94 1.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 1.00
7(B ) 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 1.00
6 -5.05 0.00 1.31 0.8604 0.00 -0.5095 0.1319 0.9659 0.2228 0.4291 -0.2589 0.8311
5 -8.84 0.00 4.80 0.6353 0.00 -0.7723 0.3862 0.8660 0.3177 0.6688 -0.5000 0.5502
4 -11.76 0.00 9.48 0.4291 0.00 -0.9032 0.6387 0.7071 0.3034 0.6387 -0.7071 0.3034
3 -13.60 0.00 14.46 0.2687 0.00 -0.9362 0.8342 0.5000 0.2327 0.4816 -0.8660 0.1344
2 -14.64 0.00 19.68 0.1297 0.00 -0.9916 0.9578 0.2588 0.1253 0.2566 -0.9659 0.0336
1(A ) -15.00 0.00 25.00 0.00 0.00 -1.0000 1.0000 0.00 0.00 0.00 -1.0000 0.00
Tabla 2. Valores de coordenadas
29
PUNTO x y z λ1 μ1 ν1 λ2 μ2 ν2 λ3 μ3 ν3
L 1 -10.37 0.00 7.06 1.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 1.00
L 2 -14.20 0.00 16.94 1.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 1.00
7(B ) 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 1.00
6 -5.05 0.00 1.31 0.8604 0.00 -0.5095 0.1319 0.9659 0.2228 0.4291 -0.2589 0.8311
5 -8.84 0.00 4.80 0.6353 0.00 -0.7723 0.3862 0.8660 0.3177 0.6688 -0.5000 0.5502
4 -11.76 0.00 9.48 0.4291 0.00 -0.9032 0.6387 0.7071 0.3034 0.6387 -0.7071 0.3034
3 -13.60 0.00 14.46 0.2687 0.00 -0.9362 0.8342 0.5000 0.2327 0.4816 -0.8660 0.1344
2 -14.64 0.00 19.68 0.1297 0.00 -0.9916 0.9578 0.2588 0.1253 0.2566 -0.9659 0.0336
1(A ) -15.00 0.00 25.00 0.00 0.00 -1.0000 1.0000 0.00 0.00 0.00 -1.0000 0.00
Tabla 2. Valores de coordenadas (continuación)
Tabla 3. Cargas AplicadasPUNTO W1 W2 W3 W4 W5 W6
L 1 0 -5 0 0 0 0
L 2 0 -5 0 0 0 0
c) Cargas aplicadas:
La descripción de las cargas aplicadas dependerá de los ejes arbitrarios elegidos en los puntos de carga, de esta manera se tienen dos fuerzas de 5 kilolibras actuando en la dirección negativa del eje y.
30
Las cargas están descritas en la tabla 3, en la cual w1, w2 y w3 son fuerzas a lo largo de los ejes del xyz y del w4, w5 y w6 son pares alrededor de los ejes.
d) Flexibilidad en el punto B:
Esta puede ser calculada con la siguiente expresión:
B
A
QBQBBB dlmEImf 1)('
En cada punto el valor de la matriz m se puede obtener de los datos en la fila que corresponda a dicho punto de la Tabla 2. Por ejemplo, en el punto 4 tenemos:
3034.07071.06387.0000
3034.07071.06387.0000
9032.004291.0000
0003034.07071.06387.0
0003034.07071.06387.0
0009032.004291.0
RTAm
31
100076.110
01076.11048.9
001048.90
000100
000010
000001
3034.07071.06387.03155.86229.97033.6
3034.07071.06387.03155.86229.97033.6
9032.004291.005538.60
0003034.07071.06387.0
0003034.07071.06387.0
0009032.004291.0
(EI)-1 se ha evaluado arriba, y el producto m’(EI)-1m puede ahora obtenerse para este punto.
32
Cada elemento es multiplicado por el factor Simpson apropiado en cada punto, es decir, 1 para el primer punto, 4 para el segundo, 2 para el tercero, 4 para el cuarto etcétera.
Cuando este proceso se ha realizado para cada punto se agregan las matrices que resultan. La longitud del intervalo a lo largo de la viga a partir de un punto al siguiente es 5.318 pies. Por consiguiente, cada elemento de la matriz de la adición es multiplicado por 1.7727 (un tercio del intervalo) según los requisitos de la regla de Simpson, y éste rige los coeficientes de la flexibilidad.
9844.20729.00728.25543.00787.213187.0
0729.04956.00892.07799.22453.11680.1
0728.20892.00430.48766.02546.76910.0
5543.07799.28766.04407.242262.134405.17
0787.212453.12546.72262.133027.2183844.11
3187.06180.16910.04405.173844.110421.16
BBf
33
e) Solución particular:
La solución particular requiere la determinación de las acciones internas en cada punto debido a las cargas externas. Las acciones se pueden determinar por el método de la ecuación:
"transfiriendo" las cargas primero al final del voladizo. Puesto que en este problema la matriz m es igual que la matriz A de la transformación del eje, tenemos para el punto 4:
B
A
QBQB dlmEIMu 100 )('
LLBB
LBLB
WAA
WAAM1
4
440
La matriz A4B se ha determinado arriba. Para el punto L1 la matriz AL1B es encontrada exactamente de la misma manera, usando los valores de la primera fila de la tabla 2. En la primera fila de la tabla 3 se lee la matriz WL1 como:
34
0
0
0
0
5
0
1LW
Las acciones internas M40 en el punto 4 ahora son encontradas por la multiplicación de la matriz dando una matriz de 6 x 1.
8371.9
8371.9
0853.1
5355.3
5355.3
0
40M
35
Puesto que L2 es más cercano de B que del punto 4, no se induce ningunas acciones internas a este punto por las cargas en L2.
PUNTO Nx Vy Vz Mx My Mz
7 -0.6108 +2.6653 +0.7749 -2.7880 +1.5574 -16.6898
6 -0.9203 +2.6665 -0.3566 +2.2509 -2.1293 -1.9356
5 -0.9865 +2.3184 -1.3148 +1.0496 +4.0030 +11.6526
4 -0.9619 -1.8059 +1.4958 -2.5047 +7.7188 +10.2143
3 -0.9105 -1.4966 +1.8318 -3.6183 -0.3219 -0.0142
2 -0.8475 -2.3861 +6.9539 -2.3102 -25.5642 -9.1525
1 -0.7749 -0.6108 +7.3347 +3.8601 -66.1552 -5.2044
Tabla 4. Acciones Internas
Los desplazamientos en B se encuentran de una manera similar adoptada para obtener los coeficientes de la flexibilidad, pero se utiliza la ecuación anterior.
B
A
QBQB dlmEIMu 100 )('
36
0297.12
4590.1
8691.3
6002.19
9161.248
8898.21
0u
De esta manera encontramos lo siguiente:
Las unidades en las cuales se expresan los desplazamientos son básicamente pies y radianes. Se debe recordad que un factor de escala está implicado porque E se ha tomado como 2.5.
f) Acciones Redundantes:
La ecuación de compatibilidad es:
00 BBB pfu
37
6898.16
5574.1
7880.2
7749.0
6653.2
6108.0
Bp
Y la solución nos arroja:
g) Solución Completa:
Para cada sección a lo largo de la viga las seis acciones internas están dadas por la siguiente ecuación:
BmpMM 0
38
M0 y m son conocidas para cada punto, y pB ya ha sido determinado. Los valores de las acciones internas están dados en la Tabla 4.
Los valores para los puntos 7 y 1 se conocen generalmente como acciones del fijo-extremo.
PUNTO Nx Vy Vz Mx My Mz
7 -0.6108 +2.6653 +0.7749 -2.7880 +1.5574 -16.6898
6 -0.9203 +2.6665 -0.3566 +2.2509 -2.1293 -1.9356
5 -0.9865 +2.3184 -1.3148 +1.0496 +4.0030 +11.6526
4 -0.9619 -1.8059 +1.4958 -2.5047 +7.7188 +10.2143
3 -0.9105 -1.4966 +1.8318 -3.6183 -0.3219 -0.0142
2 -0.8475 -2.3861 +6.9539 -2.3102 -25.5642 -9.1525
1 -0.7749 -0.6108 +7.3347 +3.8601 -66.1552 -5.2044
Tabla 4. Acciones Internas
39
OTROS EJEMPLOS DE APLICACIÓN
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OTROS EJEMPLOS DE APLICACIÓN
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