meccuánii_14 n (3_ hidrógeno)

Universidad Nacional de TrujilloDepartamento Academico de FsicaGrupo de Fsica TeoricaSemestre 2014-II

823: Mecanica Cuantica 2Dr. Antonio Rivasplata M.Lic Fernando Rabanal M.

M.Sc. Carlos Morgan Cruz.

Tarea 03. Atomosde hidroogenoides.

1. (a) Asuma que el atomo de hidrogeno se encuentra en el estado:

= 1sp2+A 2p +

3sp8

Halle el valor de A de modo que el estado se encuentre normalizado. >Cual es la energapromedio de este estado?

(b) El electron en el hidrogeno se halla en el estado

n`m = R32

r1

6Y21 +

r1

2Y20 +

r1

3Y21

!

>Cual es la energa del electron? >Que valor se obtiene al medir L2? >Que valores puedenhallarse y con que probabilidad al medir Lz? >Cual es el valor esperado de Lz.

2. (a) En el tiempo t = 0 el atomo de hidrogeno se encuentra en un estado descrito por lafuncion de onda siguiente

(t = 0) =1p10

2 100 + 210 +

p2 211 +

p3 211

:

Calcule el valor esperado del cuadrado del momentum angular, de su proyeccion y de laenerga, para este sistema. Verique si se conservan en el tiempo o no.

(b) >Calcule el valor mas probable y el valor promedio del radio r del electron en elatomo de hidrogeno, en su estado fundamental?

3. La funcion de onda de un electron en un atomo hidrogenoide es (r; ; ') = Ner=, donde = a0=Z.

(a) Calcule la constante de normalizacion.

(b) Si el numero de nucleones es A = 173 y Z = 70, >Cual es la probabilidad de que elelectron se halle dentro del nucleo? Asuma un radio nuclear de 1:2A1=3 fm.

(c) >Cual es la probabilidad de que el electron se halle en la region x; y; z > 0 (primeroctante)?

4. Se sabe que la funcion radial para el atomo de hidrogeno se expresa como R(r) = R(r)=r. Alresolver la ecuacion diferencial radial (Hecho en clase), se obtuvo R() = `+1e(), donde = r y ) =

P1k=0 ck

k.

(a) Verique que la relacion de recurencia para los coecientes ck es

ck+1 =2(k + `+ 1 n)

(k + 1)(k + 2`+ 2)ck:

(b) Use lo anterior como base para obtener la funcion radial Rn`(r), normalizada, para elcaso cuando ` = n 1.

5. Determine los valores esperados siguientes hri; hr2i; hr1i, y hr2i para el estado fundamentaldel atomo de hidrogeno.

6. Un kaon negativo con masa mil veces mayor que la del electron, es capturado en una orbitacircular de Bohr alrededor de un nucleo de plomo (Z = 82). Asuma que resulta con el numerocuantico principal n = 10 y va decayendo a n = 9; 8; 7; :::.

(a) >Cual es la energa del foton emitido en cada una de las transiciones?

(b) >Cual es el radio aproximado del nucleo si el kaon es absorbido por el nucleo despues dela transicion de n = 4 a n = 3

7. Los electrones del medio interestelar pueden recombinarse con los protones para formaratomos de hidrogeno con numeros cuanticos principales altos. Una transicion entre valoressucesivos de n da origen a una lnea (frecuencia) de recombinacion.

(a) Una lnea de recombinacion se observa a 5:42591010Hz cuando se produce la transicionde n = 50 a n = 49. Calcule la constante de Rydberg R.

(b) Calcule la frecuencia de la lnea de recombinacion correspondiente a la transicion n = 90a n = 89.

8. Se conoce la formula para los estados de los atomos hidrogenoides.

(a) Escriba la funcion de onda del estado fundamental del tritio y del helio 3.

(b) Calcule la relacion entre las distancias mas probables del electron en ambos casos

(c) Una reaccion nuclear cambia instantaneamente el tritio a helio 3. Asuma que la partcula y el neutrino se alejan del sistema con una velocidad muy grande. Calcule la proba-bilidad de que el electron permanezca en el estado fundamental.

Expresiones utiles:

C(1)m (t) =1

i~

Z t0hmjH^ 0(t0)jniei!mnt0dt0 ! Pmn = jC(1)m (t)j2

Z 10

xnexdx = n!=n+1;Z 10

eax2dx =

1

2

r

aZ 11

e(ax2+bx+c)dx =

r

aexp

b2 4ac

4a

Trujillo, 19 de Enero de 2015.

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