mecanica de fluidos i 31.05.10expo
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Es una de las ecuaciones
fundamentales de la mecánica de
fluidos, y que sirven para resolver
numerosos problemas que se
presentan en la práctica.
Se define como una porción fija de
materia. Aunque su forma y su tamaño
pueden variar con el tiempo, lo
esencial de la definición es que la
masa del material que comprende el
sistema no se altere con el tiempo.
El estado de un sistema es una condición
particular a este, que puede especificarse
por medición y observación de sus
propiedades. Pueden dividirse en dos grupos:
PROPIEDADES INTENSIVAS: las que por
naturaleza son independientes de la
cantidad de materia
PROPIEDADES EXTENSIVAS: dependen de la
cantidad de materia, como el volumen y la
masa.
El primer punto de análisis que debe presentarse
es una definición de los tipos de volumen, en los
que se determinarán las características del flujo.
Nos referimos a los dos siguientes:
VOLUMEN DE CONTROL NO DEFORMABLE
Este tipo es un volumen fijo en el
espacio, relacionado a un sistema de ejes
coordenados, que puede estar en
movimiento, respecto a un sistema absoluto.
VOLUMEN DE CONTROL DEFORMABLE
Se dice que un volumen de control es
deformable, cuando parte de su superficie, o
toda ella, está en movimiento en un instante
dado.
Si la superficie se mueve en tal forma que no
la atraviese ninguna materia, el volumen de
control es un sistema.
“La masa de fluido que en la unidad
de tiempo entra a un volumen
especificado dentro del flujo, una
parte se queda almacenada en su
interior y el resto sale del volumen”.
El principio de conservación de la materia o
principio de conservación de la
masa, también se expresa como: “El
aumento de masa, en un tiempo t, del fluido
contenido en un volumen dado, será igual a
la suma de las masas del fluido que entran a
este volumen, disminuida de las que salen”:
(MI) = Masa del sistema en el tiempo “t”.
(MII) = Masa del sistema en el tiempo “t+∆t”.
I IIM M
Es decir la masa en el sistema permanece invariable:
m2 = m1 + me - ms
m1 = m(t) = masa en el volumen de control en el instante “t”.
m2 = m(t+∆t) = masa en el volumen de control en el instante “t+∆t”.
me = masa que entra en el volumen de control en el intervalo “∆t”.
ms = masa que sale del volumen de control en el intervalo “∆t”.
Dividiendo entre ordenando y tomando
límites cuando :
Donde:
rapidez de variación de la masa
contenida en el volumen de control
gasto o caudal neto de masa entrante
en la unidad de tiempo.
VC VC S Em(t) m(t t ) m m
t
t 0
VC VC E Sm(t t) m(t) m mlim lim
( ) ( )t 0 t t 0 t
VC E S
dm d( ) (m m )
dt dt
M
MQ
t
VC
dm M( )
dt t
E S M
d(m m ) Q
dt
1 2 s em m m m
Matemáticamente es preferible tratar con la cantidad
neta de masa que sale y que entra, sumadas
algebraicamente; así, el principio de la materia, aplicado a un volumen de control fijo
completamente arbitrario dentro del flujo, se expresa de
la forma siguiente:
“La cantidad neta de masa que atraviesa la superficie de frontera del volumen, en la unidad de tiempo ( ), mas
la rapidez de variación de la masa contenida en el
volumen ( ), es igual a cero”, matemáticamente se
expresa así:
Este principio se aplica lo mismo a un volumen de
control de tamaño diferencial, que a uno finito, de lo cual se deriva la llamada ecuación de continuidad.
MQ
M
t
(α)0t
MQ
M
Aplicable a problemas de flujo con
potencial.
Para obtenerla aplicamos el principio
de la conservación de la materia, al
volumen de control diferencial
mostrado en la fig., (de lados dx, dy y
dz).
En el eje “y”, en un instante de tiempo “dt”, por la
cara ABCD, entra una masa:
y por la cara EFGH, sale una masa:
dxdzdtvy
dxdzdtdy)y
v(v
y
y
Luego el paralelepípedo considerado pierde, al pasar
la masa de la cara ABCD a la cara EFGH, la
diferencia de masas que entran y que
salen, asignándoles una convención de signos a las
masas que salen del volumen de control, como
positivas (+) y negativas (-) a las masas
entrantes, luego, la masa perdida o cantidad neta de
masa que atraviesa estas caras será:
Trasladando “dt” al primer miembro, entonces
tendremos: la cantidad neta de masa que atraviesa
las caras normales al eje “y”, en la unidad de
tiempo, también conocido como gasto másico:
(I)
dydxdzdt)y
v(dm
y
y
dydxdz)y
v(Q
y
yM
Por razonamiento similar, la cantidad neta de masa
que atraviesan las caras normales a los ejes “x” y
“z”, son:
(II)
(III)
Por lo tanto la cantidad neta de masa que atraviesa
las superficies de frontera del volumen en la unidad de
tiempo, o caudal de masa o gasto de masa
(QM), será:
(IV)
dxdydz)x
v(Q x
Mx
dzdxdy)z
v(Q z
zM
MzMyMxMQQQQ
Sustituyendo (I), (II) y (III) en (IV):
Ahora, finalmente calculemos la “ rapidez de variación
de la masa contenida en el volumen de control
diferencial:
Por lo tanto:
Sustituyendo (A) y (B) en (α):
+ + + = 0
t
)(
t
M
dydxdz)y
v(
y
dxdydz)x
v( x dzdxdy)
z
v( z
t
)dxdydz(
+ + …(A)M
Q dydxdz)y
v(
y
dxdydz)x
v( x
dzdxdy)z
v( z
....(B)t
)dxdydz(
t
M
Y puesto que el volumen elemental escogido no cambia
con el tiempo, la ecuación anterior se puede simplificar y
ordenando, resulta:
+ + + = 0
Los tres primeros sumandos de la ecuación
anterior, representan el desarrollo del producto escalar:
Por lo tanto, la expresión superior, se reduce a:
Donde (β), es la Ecuación Diferencial de Continuidad.
)x
v( x
)y
v(
y
)z
v( z
t
( v )
+ = 0 …….(β)( v )
t
La expresión (β), también se puede expresar de la
siguiente forma:
La expresión (β’), también es la Ecuación Diferencial
de Continuidad, ha sido obtenida después de aplicar
las propiedades vectoriales; es decir (β) y (β’) son dos formas de expresar la ecuación diferencial de
continuidad, que es la general para un flujo
compresible no permanente; admitiendo las siguientes
simplificaciones:
FLUJO COMPRESIBLE PERMANENTE
= 0t
= 0 ……..(β’)( ) v ( v )t
Luego sustituyendo en (β), resulta:
= 0
FLUJO INCOMPRESIBLE NO PERMANENTE
ρ = Cte.
Entonces:
y = 0
Sustituyendo las relaciones arriba indicadas en
(β’), resulta:
Y puesto que “ρ” es diferente de cero, entonces:
(ө)
( v )
0
t
( v ) 0
( v ) 0
FLUJO INCOMPRESIBLE PERMANENTE
ρ = Cte y = 0
Luego:
Sustituyendo las expresiones arriba indicadas en (β’):
Luego, análogamente al caso anterior, resulta:
(ө)
“Por lo tanto, para un flujo incompresible sea o no permanente, se cumple que la divergencia de es cero”.
t
0
( v ) 0
( v ) 0
v
La vena líquida mostrada en la figura está limitada
por su superficie de contorno (que generalmente
coincide con una frontera sólida, o por esta y una
superficie libre) y por las secciones transversales (1) y
(2), normales al eje que une los centros de
gravedad de todas las secciones.
Las velocidades en cada punto de una misma
sección transversal poseen un valor medio “v”, que
se considera representativo de toda la sección y de
dirección tangencial al eje de la vena.
Se considera el volumen elemental de líquido mostrado en
la fig. , limitado por la superficie de contorno, que envuelve a la vena líquida, así como por dos secciones
transversales normales al eje de la vena, separadas la
distancia “ds”, donde “s” representa la coordenada
curvilínea siguiendo el eje de la vena.
Aplicando el principio de la conservación de la materia,
al volumen elemental en estudio:
Cantidad neta de masa que atraviesa la superficie de
frontera del volumen elemental en estudio, es:
Rapidez de variación de la masa contenida en el
volumen elemental en estudio, es:
vAdss
)vA(vAQ
M
t
)Ads(
t
)(
t
M
…..(Φ)dss
)vA(Q
M
Tomando extremos, resulta:
El principio de conservación de la masa establece:
(Φ) + (ΦΦ) = 0
Resultando:
+ = 0
Sin cometer prácticamente error se puede aceptar, en la
mayoría de los casos, que la longitud “ds” del elemento
de volumen considerado no depende del tiempo. Este
puede salir de la derivada del segundo término de la
ecuación anterior y simplificarse con el que aparece en
el primero, de lo cual resulta:
dss
)vA(
t
)Ads(
….(ΦΦ)t
)Ads(
t
M
+ = 0 ………(ε)s
)vA(
t
)A(
Recordando que ρ, v, A; son funciones de “s” y “t”, al
desarrollar las derivadas parciales indicadas se obtiene:
Como:
Sustituyendo la última expresión en (δ), resulta:
Sacando factor común “ρ” del segundo y cuarto
sumando y “A” del tercero y quinto sumando de la
ecuación anterior, y aplicando el concepto de
diferencial total de “A” y de “ρ”, al ser funciones ambas
de “s” y “t”, resulta:
t
sv
0t
At
A
sA
dt
ds
s
A
dt
ds
s
vA
0dt
dA
dt
dA
s
vA
…(δ)0t
At
A
svA
s
Av
s
vA
Dividiendo esta última expresión entre, ρA, resulta:
La expresión (φ), es la Ecuación de Continuidad para una
vena líquida donde se produce un flujo no permanente y compresible.
Si el escurrimiento es permanente las derivadas con
respecto a “t” que aparecen en la ecuación (ε), se
eliminan y esa misma ecuación se simplifica, en:
= 0
O, bien:
(φ)v 1 dA 1 d
0s A dt d t
s
)vA(
v A Cte.
Si además el fluido es incompresible:
La expresión (ξ), significa que “el gasto que circula por
cada sección de la vena líquida en un flujo permanente es constante; o bien, que entre dos secciones
transversales, tales como (1) y (2) de la misma vena
líquida, se cumple que el gasto que circula por ellas es constante”:
vA = Cte ……..(ξ)
Q =V1 A1 = V2 A2
La cantidad de movimiento de un
elemento de masa “m”, es el
producto de esta por su velocidad.
Sea “ ” la cantidad de movimiento:
La ecuación de cantidad de movimiento de un
cuerpo libre o volumen de control se deriva de
la segunda ley de Newton, que establece lo
siguiente:
“La suma vectorial de todas las fuerzas que
actúan sobre una masa de fluido es igual a la
rapidez del cambio del vector cantidad de
movimiento de la masa del fluido”, es decir:
Si:
C
F
C m v
C m v
Calculando el :
Además:
Reemplazando (2) en (1):
dF (m v )
dt
d(C )
d m v dm v
dm d
dC v d
dF (C )..........(1)
dt
C v d ..........(2 )
dF v d ........(3 )
dt
Haciendo: , una función
vectorial ligada al movimiento.
Luego, de la expresión (3):
Y sea “ I1” la función”I” incrementada un :
Para hallar el valor de “I1” necesitamos los valores de:
y sabiendo que:
v (x, y, z, t)
I v d
I d
d
1
1 1I d d .........(4 )
d
1d
dzz
dyy
dxx
dtt
d
Dividiendo la expresión anterior entre dt:
Además se sabe:
dt
dz
zdt
dy
ydt
dx
xdt
dt
tdt
d
x y z
dx dy dzv ; v ; v
dt dt dt
x y z
dv v v
dt t x y z
d(v )
dt t
d dt (v ) dt.....................(5 )t
Además se sabe por deformación volumétrica de los
fluidos que: “la velocidad de deformación volumétrica
relativa, coincide con la suma de velocidades de
deformación lineal”, es decir:
Despejando :
Reemplazando las ecuaciones (5), (6) en la ecuación (4).
y1 x zvd d v v
d dt x y z
1d d
vd d t
1d
1
1
d ( v )d dt d
d ( v )dt 1 d ....................(6 )
1
11d)d(I
Siendo “dt” un tiempo muy pequeño, por lo tanto , es
una cantidad despreciable por lo cual se considera cero, reduciéndose la expresión anterior a:
Por definición de producto escalar:
1I d t (v ) dt ( v )dt 1 d
t
1I dt (v ) dt ( v )dt ( v )dt dt ( v )dt(v ) dt d
t t
1I ( (v )d t d t ( v ) d t )d
t
1I d t (v )d t ( v ) d t d
t
( v ) ( ) v ( v )
2dt
Luego:
Ahora:
Dividiendo (I1 - I) entre dt.
..……. (7)1I ( v ) d t d
t
1I I ( v ) d t d d
t
1I I ( v ) d t d
t
1I I ( v ) d t d
t
1I I
( v ) ddt t
dId ( v )d
dt t
dId ( v ) d
dt t
, al considerar un volumen de control de
profundidad la unidad.
La dirección del es perpendicular al área, es decir:
1dAd
A
dId ( v ) (dA 1)
dt t
A
dId ( v ) dA
dt t
dA
dA dA
A
dId ( v ) dA
dt t
Se sabe que:
También se sabe que:
Pero de (3) se sabe que:
; Por lo tanto:
Ley que constituye una de las ecuaciones fundamentales
de la mecánica de los fluidos conocida como la
ecuación o principio de la cantidad de movimiento.
dI
A
Ad)v(dt
)dt(dt
d
v
A
d ( v )( v d ) d ( v )(v dA )
dt t
dF vd
dt
A
( v )F d ( v )(v dA )
t
La ecuación general de la cantidad de movimiento se
simplifica a:
Puesto que se sabe que en un flujo permanente las
propiedades del flujo y las condiciones del movimiento
en cualquier punto no cambian con el tiempo, es decir
que la velocidad y la densidad en un punto permanecen
constantes.
Se sabe que el vector velocidad y el vector área son
ambos perpendiculares al área, es decir:
v dA
v // dA v dA vdA cos 0
v dA vdA
)Adv()v(F
A
La fuerza quedaría:
Se sabe que: pero como , entonces
Entonces la fuerza quedaría:
Si tuviéramos el siguiente volumen de control:
A
F v (v dA )
A
F v (vdA ) ( v )(v A )
Q v A
v // A
0cosvAQ
Q v A
F Q v
Si tomamos dos secciones como: 1-1 y 2-2; en cada
extremo de la porción de fluido entre ambas secciones
actúa una fuerza, como se muestra en el gráfico.
Y si el flujo fuera permanente, entonces la fuerza sería:
Entonces las fuerzas seria:
y
Las velocidades son:
y
Las fuerzas quedarían:
F Q v
1 1F Q v
2 2F Q v
1 1X 1Yv v i v j
2 2 X 2 Y
v v i v j
1 1X 1YF Q(v i v j )
2 2 X 2 YF Q(v i v j )
La sumatoria de las fuerzas en los ejes X e Y son:
X 1X 2 XF Q(v v )
Y 1Y 2 YF Q(v v )
Sea la vena liquida siguiente:
El sentido de los vectores de lassecciones transversales siempre
saliente de la vena liquida y
perpendicular a la sección, es
decir:
2 2 2
1 1 1
dS n dS
dS n dS
Donde y son vectores unitarios perpendiculares a
las secciones y respectivamente.
Por el principio de la cantidad de movimiento se sabe
que:
Pero como el flujo es liquido y se sabe que los líquidos son
incompresibles, por lo tanto la densidad de un punto a
otro no varía, es decir: , y la fuerza resultaría:
1n
2n
1S 2
S
)Adv()v(d.t
)v(F
A
0t
A
F (v )(v dA )
En cada sección transversal se desarrolla una fuerza; es
decir en S1 se produce una fuerza y en la sección S2
se produce una fuerza y la suma de ambas nos da la
fuerza total que actúa en la vena liquida.
Si se acepta que los filetes son rectos y a lo más con
suave curvatura, se puede decir que las velocidades son
perpendiculares a las secciones transversales y además
que el sentido es opuesto al sentido de , se puede escribir que:
1F
2F
1 2 1 1 1 2 2 2
S1 S 2
F F F (v )(v dS ) (v )(v dS )
1n
1v
1 1 1v n v
2 2 2
v n v
1 1 1 1 1 1v // dS v dS v dS
2 2 2 2 2 2v // dS v dS v dS
La fuerza quedará:
Por ser un flujo permanente, el caudal es igual en ambas
secciones transversales:
1 1 1 1 2 2 2 2
S1 S 2
F ( n v )(v dS ) ( (n v ))(v dS )
1 1 1 1 2 2 2 2
S1 S 2
F n v v dS n v v dS
11
2
m22
2
mSnvSnvF
12
1m2mSvSvQ
12
1m2m
11mm22mm
nQvnQvF
nSvvnSvvF
12
1122
Y como se ha aceptado que los filetes sean rectas con la
más suave curvatura, entonces se puede decir que:
Por lo tanto:
Entonces:
21nnn
nQ)vv(F
nQvnQvF
12
12
mm
mm
mF Q V n
1. Se tiene un fluido cuyas partículas en movimiento están
gobernadas por los siguientes campos:
Campo escalar de densidades y el campo vectorial de
velocidades
Demostrar que cumple la ecuación de continuidad.
Solución
Para el caso general: Flujo Incomprensible impermanente:
Ecuación Diferencial de continuidad
.
;4 xyzt
6 x 13 y 13 zV i j k
t 4 t 4 t
0
t
4 xyzt 4 xyzt t
4 xyzt
.
Donde: ; y
Verificándose la Ecuación de Continuidad.
??
V
6 x 13 y 13 zV i j k
t 4 t 4 t
4 xyzt
2 2 2
V 24 x yz i 13 xy z j 13 xyz k
2 2 2
V 24 x yz 13 xy z 13 xyzx y z
2 2 2x y z
V 24 yz 13 xz 13 xyx y z
V 24 yz 2 x 13 xz 2 y 13 xy 2 z
V 48 xyz 26 xyz 26 xyz
v 4 XYZ
4 xyz 4 xyz 0
V 0
t
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