Es una de las ecuaciones

fundamentales de la mecánica de

fluidos, y que sirven para resolver

numerosos problemas que se

presentan en la práctica.

Se define como una porción fija de

materia. Aunque su forma y su tamaño

pueden variar con el tiempo, lo

esencial de la definición es que la

masa del material que comprende el

sistema no se altere con el tiempo.

El estado de un sistema es una condición

particular a este, que puede especificarse

por medición y observación de sus

propiedades. Pueden dividirse en dos grupos:

PROPIEDADES INTENSIVAS: las que por

naturaleza son independientes de la

cantidad de materia

PROPIEDADES EXTENSIVAS: dependen de la

cantidad de materia, como el volumen y la

masa.

El primer punto de análisis que debe presentarse

es una definición de los tipos de volumen, en los

que se determinarán las características del flujo.

Nos referimos a los dos siguientes:

VOLUMEN DE CONTROL NO DEFORMABLE

Este tipo es un volumen fijo en el

espacio, relacionado a un sistema de ejes

coordenados, que puede estar en

movimiento, respecto a un sistema absoluto.

VOLUMEN DE CONTROL DEFORMABLE

Se dice que un volumen de control es

deformable, cuando parte de su superficie, o

toda ella, está en movimiento en un instante

dado.

Si la superficie se mueve en tal forma que no

la atraviese ninguna materia, el volumen de

control es un sistema.

“La masa de fluido que en la unidad

de tiempo entra a un volumen

especificado dentro del flujo, una

parte se queda almacenada en su

interior y el resto sale del volumen”.

El principio de conservación de la materia o

principio de conservación de la

masa, también se expresa como: “El

aumento de masa, en un tiempo t, del fluido

contenido en un volumen dado, será igual a

la suma de las masas del fluido que entran a

este volumen, disminuida de las que salen”:

(MI) = Masa del sistema en el tiempo “t”.

(MII) = Masa del sistema en el tiempo “t+∆t”.

I IIM M

Es decir la masa en el sistema permanece invariable:

m2 = m1 + me - ms

m1 = m(t) = masa en el volumen de control en el instante “t”.

m2 = m(t+∆t) = masa en el volumen de control en el instante “t+∆t”.

me = masa que entra en el volumen de control en el intervalo “∆t”.

ms = masa que sale del volumen de control en el intervalo “∆t”.

Dividiendo entre ordenando y tomando

límites cuando :

Donde:

rapidez de variación de la masa

contenida en el volumen de control

gasto o caudal neto de masa entrante

en la unidad de tiempo.

VC VC S Em(t) m(t t ) m m

t

t 0

VC VC E Sm(t t) m(t) m mlim lim

( ) ( )t 0 t t 0 t

VC E S

dm d( ) (m m )

dt dt

M

MQ

t

VC

dm M( )

dt t

E S M

d(m m ) Q

dt

1 2 s em m m m

Matemáticamente es preferible tratar con la cantidad

neta de masa que sale y que entra, sumadas

algebraicamente; así, el principio de la materia, aplicado a un volumen de control fijo

completamente arbitrario dentro del flujo, se expresa de

la forma siguiente:

“La cantidad neta de masa que atraviesa la superficie de frontera del volumen, en la unidad de tiempo ( ), mas

la rapidez de variación de la masa contenida en el

volumen ( ), es igual a cero”, matemáticamente se

expresa así:

Este principio se aplica lo mismo a un volumen de

control de tamaño diferencial, que a uno finito, de lo cual se deriva la llamada ecuación de continuidad.

MQ

M

t

(α)0t

MQ

M

Aplicable a problemas de flujo con

potencial.

Para obtenerla aplicamos el principio

de la conservación de la materia, al

volumen de control diferencial

mostrado en la fig., (de lados dx, dy y

dz).

En el eje “y”, en un instante de tiempo “dt”, por la

cara ABCD, entra una masa:

y por la cara EFGH, sale una masa:

dxdzdtvy

dxdzdtdy)y

v(v

y

y

Luego el paralelepípedo considerado pierde, al pasar

la masa de la cara ABCD a la cara EFGH, la

diferencia de masas que entran y que

salen, asignándoles una convención de signos a las

masas que salen del volumen de control, como

positivas (+) y negativas (-) a las masas

entrantes, luego, la masa perdida o cantidad neta de

masa que atraviesa estas caras será:

Trasladando “dt” al primer miembro, entonces

tendremos: la cantidad neta de masa que atraviesa

las caras normales al eje “y”, en la unidad de

tiempo, también conocido como gasto másico:

(I)

dydxdzdt)y

v(dm

y

y

dydxdz)y

v(Q

y

yM

Por razonamiento similar, la cantidad neta de masa

que atraviesan las caras normales a los ejes “x” y

“z”, son:

(II)

(III)

Por lo tanto la cantidad neta de masa que atraviesa

las superficies de frontera del volumen en la unidad de

tiempo, o caudal de masa o gasto de masa

(QM), será:

(IV)

dxdydz)x

v(Q x

Mx

dzdxdy)z

v(Q z

zM

MzMyMxMQQQQ

Sustituyendo (I), (II) y (III) en (IV):

Ahora, finalmente calculemos la “ rapidez de variación

de la masa contenida en el volumen de control

diferencial:

Por lo tanto:

Sustituyendo (A) y (B) en (α):

+ + + = 0

t

)(

t

M

dydxdz)y

v(

y

dxdydz)x

v( x dzdxdy)

z

v( z

t

)dxdydz(

+ + …(A)M

Q dydxdz)y

v(

y

dxdydz)x

v( x

dzdxdy)z

v( z

....(B)t

)dxdydz(

t

M

Y puesto que el volumen elemental escogido no cambia

con el tiempo, la ecuación anterior se puede simplificar y

ordenando, resulta:

+ + + = 0

Los tres primeros sumandos de la ecuación

anterior, representan el desarrollo del producto escalar:

Por lo tanto, la expresión superior, se reduce a:

Donde (β), es la Ecuación Diferencial de Continuidad.

)x

v( x

)y

v(

y

)z

v( z

t

( v )

+ = 0 …….(β)( v )

t

La expresión (β), también se puede expresar de la

siguiente forma:

La expresión (β’), también es la Ecuación Diferencial

de Continuidad, ha sido obtenida después de aplicar

las propiedades vectoriales; es decir (β) y (β’) son dos formas de expresar la ecuación diferencial de

continuidad, que es la general para un flujo

compresible no permanente; admitiendo las siguientes

simplificaciones:

FLUJO COMPRESIBLE PERMANENTE

= 0t

= 0 ……..(β’)( ) v ( v )t

Luego sustituyendo en (β), resulta:

= 0

FLUJO INCOMPRESIBLE NO PERMANENTE

ρ = Cte.

Entonces:

y = 0

Sustituyendo las relaciones arriba indicadas en

(β’), resulta:

Y puesto que “ρ” es diferente de cero, entonces:

(ө)

( v )

0

t

( v ) 0

( v ) 0

FLUJO INCOMPRESIBLE PERMANENTE

ρ = Cte y = 0

Luego:

Sustituyendo las expresiones arriba indicadas en (β’):

Luego, análogamente al caso anterior, resulta:

(ө)

“Por lo tanto, para un flujo incompresible sea o no permanente, se cumple que la divergencia de es cero”.

t

0

( v ) 0

( v ) 0

v

La vena líquida mostrada en la figura está limitada

por su superficie de contorno (que generalmente

coincide con una frontera sólida, o por esta y una

superficie libre) y por las secciones transversales (1) y

(2), normales al eje que une los centros de

gravedad de todas las secciones.

Las velocidades en cada punto de una misma

sección transversal poseen un valor medio “v”, que

se considera representativo de toda la sección y de

dirección tangencial al eje de la vena.

Se considera el volumen elemental de líquido mostrado en

la fig. , limitado por la superficie de contorno, que envuelve a la vena líquida, así como por dos secciones

transversales normales al eje de la vena, separadas la

distancia “ds”, donde “s” representa la coordenada

curvilínea siguiendo el eje de la vena.

Aplicando el principio de la conservación de la materia,

al volumen elemental en estudio:

Cantidad neta de masa que atraviesa la superficie de

frontera del volumen elemental en estudio, es:

Rapidez de variación de la masa contenida en el

volumen elemental en estudio, es:

vAdss

)vA(vAQ

M

t

)Ads(

t

)(

t

M

…..(Φ)dss

)vA(Q

M

Tomando extremos, resulta:

El principio de conservación de la masa establece:

(Φ) + (ΦΦ) = 0

Resultando:

+ = 0

Sin cometer prácticamente error se puede aceptar, en la

mayoría de los casos, que la longitud “ds” del elemento

de volumen considerado no depende del tiempo. Este

puede salir de la derivada del segundo término de la

ecuación anterior y simplificarse con el que aparece en

el primero, de lo cual resulta:

dss

)vA(

t

)Ads(

….(ΦΦ)t

)Ads(

t

M

+ = 0 ………(ε)s

)vA(

t

)A(

Recordando que ρ, v, A; son funciones de “s” y “t”, al

desarrollar las derivadas parciales indicadas se obtiene:

Como:

Sustituyendo la última expresión en (δ), resulta:

Sacando factor común “ρ” del segundo y cuarto

sumando y “A” del tercero y quinto sumando de la

ecuación anterior, y aplicando el concepto de

diferencial total de “A” y de “ρ”, al ser funciones ambas

de “s” y “t”, resulta:

t

sv

0t

At

A

sA

dt

ds

s

A

dt

ds

s

vA

0dt

dA

dt

dA

s

vA

…(δ)0t

At

A

svA

s

Av

s

vA

Dividiendo esta última expresión entre, ρA, resulta:

La expresión (φ), es la Ecuación de Continuidad para una

vena líquida donde se produce un flujo no permanente y compresible.

Si el escurrimiento es permanente las derivadas con

respecto a “t” que aparecen en la ecuación (ε), se

eliminan y esa misma ecuación se simplifica, en:

= 0

O, bien:

(φ)v 1 dA 1 d

0s A dt d t

s

)vA(

v A Cte.

Si además el fluido es incompresible:

La expresión (ξ), significa que “el gasto que circula por

cada sección de la vena líquida en un flujo permanente es constante; o bien, que entre dos secciones

transversales, tales como (1) y (2) de la misma vena

líquida, se cumple que el gasto que circula por ellas es constante”:

vA = Cte ……..(ξ)

Q =V1 A1 = V2 A2

La cantidad de movimiento de un

elemento de masa “m”, es el

producto de esta por su velocidad.

Sea “ ” la cantidad de movimiento:

La ecuación de cantidad de movimiento de un

cuerpo libre o volumen de control se deriva de

la segunda ley de Newton, que establece lo

siguiente:

“La suma vectorial de todas las fuerzas que

actúan sobre una masa de fluido es igual a la

rapidez del cambio del vector cantidad de

movimiento de la masa del fluido”, es decir:

Si:

C

F

C m v

C m v

Calculando el :

Además:

Reemplazando (2) en (1):

dF (m v )

dt

d(C )

d m v dm v

dm d

dC v d

dF (C )..........(1)

dt

C v d ..........(2 )

dF v d ........(3 )

dt

Haciendo: , una función

vectorial ligada al movimiento.

Luego, de la expresión (3):

Y sea “ I1” la función”I” incrementada un :

Para hallar el valor de “I1” necesitamos los valores de:

y sabiendo que:

v (x, y, z, t)

I v d

I d

d

1

1 1I d d .........(4 )

d

1d

dzz

dyy

dxx

dtt

d

Dividiendo la expresión anterior entre dt:

Además se sabe:

dt

dz

zdt

dy

ydt

dx

xdt

dt

tdt

d

x y z

dx dy dzv ; v ; v

dt dt dt

x y z

dv v v

dt t x y z

d(v )

dt t

d dt (v ) dt.....................(5 )t

Además se sabe por deformación volumétrica de los

fluidos que: “la velocidad de deformación volumétrica

relativa, coincide con la suma de velocidades de

deformación lineal”, es decir:

Despejando :

Reemplazando las ecuaciones (5), (6) en la ecuación (4).

y1 x zvd d v v

d dt x y z

1d d

vd d t

1d

1

1

d ( v )d dt d

d ( v )dt 1 d ....................(6 )

1

11d)d(I

Siendo “dt” un tiempo muy pequeño, por lo tanto , es

una cantidad despreciable por lo cual se considera cero, reduciéndose la expresión anterior a:

Por definición de producto escalar:

1I d t (v ) dt ( v )dt 1 d

t

1I dt (v ) dt ( v )dt ( v )dt dt ( v )dt(v ) dt d

t t

1I ( (v )d t d t ( v ) d t )d

t

1I d t (v )d t ( v ) d t d

t

( v ) ( ) v ( v )

2dt

Luego:

Ahora:

Dividiendo (I1 - I) entre dt.

..……. (7)1I ( v ) d t d

t

1I I ( v ) d t d d

t

1I I ( v ) d t d

t

1I I ( v ) d t d

t

1I I

( v ) ddt t

dId ( v )d

dt t

dId ( v ) d

dt t

, al considerar un volumen de control de

profundidad la unidad.

La dirección del es perpendicular al área, es decir:

1dAd

A

dId ( v ) (dA 1)

dt t

A

dId ( v ) dA

dt t

dA

dA dA

A

dId ( v ) dA

dt t

Se sabe que:

También se sabe que:

Pero de (3) se sabe que:

; Por lo tanto:

Ley que constituye una de las ecuaciones fundamentales

de la mecánica de los fluidos conocida como la

ecuación o principio de la cantidad de movimiento.

dI

A

Ad)v(dt

)dt(dt

d

v

A

d ( v )( v d ) d ( v )(v dA )

dt t

dF vd

dt

A

( v )F d ( v )(v dA )

t

La ecuación general de la cantidad de movimiento se

simplifica a:

Puesto que se sabe que en un flujo permanente las

propiedades del flujo y las condiciones del movimiento

en cualquier punto no cambian con el tiempo, es decir

que la velocidad y la densidad en un punto permanecen

constantes.

Se sabe que el vector velocidad y el vector área son

ambos perpendiculares al área, es decir:

v dA

v // dA v dA vdA cos 0

v dA vdA

)Adv()v(F

A

La fuerza quedaría:

Se sabe que: pero como , entonces

Entonces la fuerza quedaría:

Si tuviéramos el siguiente volumen de control:

A

F v (v dA )

A

F v (vdA ) ( v )(v A )

Q v A

v // A

0cosvAQ

Q v A

F Q v

Si tomamos dos secciones como: 1-1 y 2-2; en cada

extremo de la porción de fluido entre ambas secciones

actúa una fuerza, como se muestra en el gráfico.

Y si el flujo fuera permanente, entonces la fuerza sería:

Entonces las fuerzas seria:

y

Las velocidades son:

y

Las fuerzas quedarían:

F Q v

1 1F Q v

2 2F Q v

1 1X 1Yv v i v j

2 2 X 2 Y

v v i v j

1 1X 1YF Q(v i v j )

2 2 X 2 YF Q(v i v j )

La sumatoria de las fuerzas en los ejes X e Y son:

X 1X 2 XF Q(v v )

Y 1Y 2 YF Q(v v )

Sea la vena liquida siguiente:

El sentido de los vectores de lassecciones transversales siempre

saliente de la vena liquida y

perpendicular a la sección, es

decir:

2 2 2

1 1 1

dS n dS

dS n dS

Donde y son vectores unitarios perpendiculares a

las secciones y respectivamente.

Por el principio de la cantidad de movimiento se sabe

que:

Pero como el flujo es liquido y se sabe que los líquidos son

incompresibles, por lo tanto la densidad de un punto a

otro no varía, es decir: , y la fuerza resultaría:

1n

2n

1S 2

S

)Adv()v(d.t

)v(F

A

0t

A

F (v )(v dA )

En cada sección transversal se desarrolla una fuerza; es

decir en S1 se produce una fuerza y en la sección S2

se produce una fuerza y la suma de ambas nos da la

fuerza total que actúa en la vena liquida.

Si se acepta que los filetes son rectos y a lo más con

suave curvatura, se puede decir que las velocidades son

perpendiculares a las secciones transversales y además

que el sentido es opuesto al sentido de , se puede escribir que:

1F

2F

1 2 1 1 1 2 2 2

S1 S 2

F F F (v )(v dS ) (v )(v dS )

1n

1v

1 1 1v n v

2 2 2

v n v

1 1 1 1 1 1v // dS v dS v dS

2 2 2 2 2 2v // dS v dS v dS

La fuerza quedará:

Por ser un flujo permanente, el caudal es igual en ambas

secciones transversales:

1 1 1 1 2 2 2 2

S1 S 2

F ( n v )(v dS ) ( (n v ))(v dS )

1 1 1 1 2 2 2 2

S1 S 2

F n v v dS n v v dS

11

2

m22

2

mSnvSnvF

12

1m2mSvSvQ

12

1m2m

11mm22mm

nQvnQvF

nSvvnSvvF

12

1122

Y como se ha aceptado que los filetes sean rectas con la

más suave curvatura, entonces se puede decir que:

Por lo tanto:

Entonces:

21nnn

nQ)vv(F

nQvnQvF

12

12

mm

mm

mF Q V n

1. Se tiene un fluido cuyas partículas en movimiento están

gobernadas por los siguientes campos:

Campo escalar de densidades y el campo vectorial de

velocidades

Demostrar que cumple la ecuación de continuidad.

Solución

Para el caso general: Flujo Incomprensible impermanente:

Ecuación Diferencial de continuidad

.

;4 xyzt

6 x 13 y 13 zV i j k

t 4 t 4 t

0

t

4 xyzt 4 xyzt t

4 xyzt

.

Donde: ; y

Verificándose la Ecuación de Continuidad.

??

V

6 x 13 y 13 zV i j k

t 4 t 4 t

4 xyzt

2 2 2

V 24 x yz i 13 xy z j 13 xyz k

2 2 2

V 24 x yz 13 xy z 13 xyzx y z

2 2 2x y z

V 24 yz 13 xz 13 xyx y z

V 24 yz 2 x 13 xz 2 y 13 xy 2 z

V 48 xyz 26 xyz 26 xyz

v 4 XYZ

4 xyz 4 xyz 0

V 0

t