mec vect - sem4 - cuerpos rígidos

EPE – Física 2

- Momento respecto a un punto- Momento respecto a un eje

CUERPOS RÍGIDOS: SISTEMAS EQUIVALENTES FUERZA/MOMENTO

Semana 4

MECÁNICA VECTORIALCURSO ACADÉMICO 2012 - 2.

CATEDRÁTICO. ÁNGEL AQUINO FERNÁNDEZ

- 2 -

En capítulos anteriores vimos que la fuerza resultante FR de un sistema de dos o más fuerzas concurrentes era una fuerza única que producía sobre un cuerpo el mismo efecto que el sistema de fuerzas original.

Si FR era nula el sistema de fuerzas estaba equilibrado y el cuerpo sobre el que se ejercía estaba en equilibrio.

En el caso de un cuerpo tridimensional con forma y tamaño definidos, la idealización del punto ya no es válida ya que las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo no suelen ser concurrentes.

Para estos sistemas, la condición FR = 0 es condición necesaria pero no suficiente para el equilibrio del cuerpo. Debe cumplirse una 2ª restricción relacionada con la tendencia de las fuerzas a originar la rotación del cuerpo (Concepto de Momento).

4.1 Introducción

13/04/23 Angel A. F. 3

El Principio de Transmisibilidad establece que las condiciones de equilibrio o movimiento de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza F que actúa en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por una fuerza F’ que tiene la misma magnitud, dirección y sentido, pero que actúa en un punto distinto, siempre y cuando las dos fuerzas tengan la misma línea de acción.Las dos fuerzas, F y F’, tienen el mismo efecto sobre el cuerpo rígido y se dice que son equivalentes.

4.1 Cuerpos Rígidos y Principio de Transmisibilidad

Producto Vectorial

El producto vectorial o producto cruz de dos vectores A y B, es un tercer vector C el cual es perpendicular al plano formado por los dos vectores y cuya magnitud es igual al producto de sus magnitudes multiplicado por el seno del ángulo entre ellos y cuyo sentido se determina mediante la regla de la mano derecha. La notación del producto cruz es

13/04/23 4Angel Aquino F.

Regla de la mano derecha

Curve los dedos de la mano derecha tendiendo a hacer girar al primer vector hacia el segundo; el dedo pulgar extendido nos da el vector producto.

13/04/23 5Angel Aquino F.

Propiedades del producto vectorial

1. El producto vectorial no es conmutativo

2. El producto vectorial es distributivo

3. Multiplicación de un escalar por el producto vectorial.

4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios

13/04/23 6Angel Aquino F.

5. El producto vectorial de dos vectores en componentes es

6. La magnitud del producto vectorial es igual al área del paralelogramo que tiene a los vectores A y B

7. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores son paralelos.

ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ( ) ( ) ( )

x y z y z z y x z z x x y y z

x y z

i j k

AxB A A A A B A B i A B A B j A B A B k

B B B

( ) ( )Area AxB A Bsen A h

13/04/23 7Angel Aquino F.

- 8 -

El momento de una fuerza respecto a un punto o respecto a un eje es una medida de la tendencia de la fuerza a hacer girar el cuerpo alrededor del punto o del eje.

Ejemplo:El momento de F respecto de O es una medida de la tendencia de la fuerza a hacer girar el cuerpo alrededor del eje AA. La recta AA es perpendicular al plano que contiene a la fuerza F y al punto O.

Punto O : Centro del momento.d : Brazo del momento.Recta AA: Eje del momento.

4.2 Momentos y sus características

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El momento tiene módulo, dirección y sentido y se suma de acuerdo con la regla de adición del paralelogramo.

Magnitud Vectorial

Módulo: Producto del módulo de la F por la distancia d medida desde la recta soporte de la fuerza al eje AA.

dFMM OO .

Sentido del momento:Se indica mediante una flecha curva en torno al punto. Por definición:

- Rotación antihoraria: momento positivo- Rotación horaria: momento negativo

Unidades: N . m

- 10 -

Ejemplo

- 11 -

Ejemplo

- 12 -

Ejemplo

- 13 -

Ejemplo

- 14 -

Ejemplo

- 15 -

El momento M de la resultante R de un sistema de fuerzas respecto a cualquier eje o punto es igual a la suma vectorial de los momentos de las distintas fuerzas del sistema respecto a dicho eje o punto.

Los módulos de los momentos respecto al punto O de la resultante R y de las fuerzas A y B son:.

)cos(

)cos(

)cos(

hBBbM

hAAaM

hRRdM

B

A

R

En la figura se ve que:

Por lo que:

coscoscos BAR

BAR MMM

4.2.1 Principio de momentos: Teorema de Varignon

- 16 -

Vectorialmente, El momento de una fuerza F respecto a un punto O, será:

Donde r es el vector de posición de O a A de la recta soporte de F. Así:

MO = r x F = (r F sen ) e

es el ángulo que forman los dos vectores (r y F)e : es el vector unitario perpendicular al plano que contiene a los vectores r y F.(r . sen ) : distancia d del centro del momento O a la recta soporte de F

MO = r x F

4.3 Representación Vectorial de un Momento

- 17 -

En la figura siguiente podemos ver que la distancia d es independiente de la posición de A sobre la recta soporte:

332211 senrsenrsenr

Así pues, podemos escribir la ecuación vectorial del momento como:

MO = r x F = (r F sen ) e = F d e = MO e

La dirección y sentido del vector unitario e están determinados por la regla de la mano derecha (los dedos de la mano derecha se curvan de manera de llevar el sentido positivo de r sobre el sentido positivo de F y el pulgar señala el sentido de MO

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r = rA/B = rA - rB = (xA – xB) i + (yA – yB) j + (zA – zB) k

El vector r que va del punto respecto del cual hay que determinar el momento (B) a un punto cualquiera de la recta soporte de la fuerza F (A) se puede expresar así:

MO = r x F

La ecuación vectorial de cálculo del momento de una fuerza respecto a un punto:

Es aplicable tanto al caso bidimensional como al tridimensional.

4.3.1 Momento de una fuerza respecto a un punto

- 19 -

Consideremos 1º el momento MO respecto del origen de coordenadas de una fuerza F contenida en el plano xy:

r = rx i + ry j

F = Fx i + Fy j

MO = r x F =

i j k

rx ry 0

Fx Fy 0

= (rxFy – ryFx) k = Mz k

* MO es perpendicular al plano xy (según eje z)* MO positivo (sentido antihorario)* MO negativo (sentido horario)

Caso bidimensional

60º

160 mm

200 mm

B

A

800 NF ��������������

Una fuerza de 800 N actúa sobre la ménsula. Determine el momento de la fuerza con respecto a B.

Soporte

Ménsula

Ejemplo

60º

160 mm

200 mm

B

A

800 NF ��������������

Paso 1: Trazar un vector r de B hacia A:

Soporte

Ménsula

/A Br

X

Y

60º

+(0.16 m) j

-(0.2 m) i

B

A

800 NF ��������������

Paso 2: Expresar r en términos de sus componentes i, j :

Soporte

Ménsula

/A Br

X

Y

/ (0.2 ) (0.16 )A Br m i m j

A/Br =xi + yj

x= -0.2 m

y= +0.16 m

60º

+(0.16 m) j

-(0.2 m) i

B

A

800 NF ��������������

Paso 3: Expresar F en términos de sus componentes i, j :

Soporte

Ménsula

/A Br

X

Y

(400 ) (693 )F N i N j ��������������

Fy

Fx

(60º )Fx FCos i

(60º )Fy FSen j

Paso 4: Aplicar el producto vectorial

B B/AM = r x F����������������������������

/ (0.2 ) (0.16 )A Br m i m j

(400 ) (693 )F N i N j ��������������

B B/AM = r x F 0.2 0.16 0

400 693 0x y z

i j k i j k

x y z

F F F

����������������������������

0.16 0 -0.2 0 -0.2 0.16= i - j+ k=-(202.6 Nm)k

693 0 400 0 400 693

- 25 -

Ejemplo

- 26 -

Ejemplo

- 27 -

El momento MO respecto del origen de coordenadas de una fuerza F con orientación espacial se determinará así:

r = rx i + ry j+ rz k

F = Fx i + Fy j + Fz k

MO = r x F = =

i j krx ry rz

Fx Fy Fz

M = Mx i + My j + Mz k = MO e

= (ry Fz – rz Fy) i + (rz Fx – rx Fz) j + (rx Fy – ry Fx) k

222zyxO MMMM

Donde:

e = i + j + kxcos ycos zcos

Caso tridimensional

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O

xx M

Mcos

O

yy M

Mcos

O

zz M

Mcos

Los cosenos directores asociados al vector unitario e son:

Los momentos obedecen todas las leyes del Algebra vectorial y puede considerarse que son vectores deslizantes cuyas rectas soporte coinciden con los ejes de momentos.

- 29 -

El Teorema de Varignon no está limitado a dos fuerzas concurrentes sino que se puede extender a cualquier sistema de fuerzas.

Pero

por tanto

Así pues,

Ecuación que indica que el momento de la resultante de un número cualquiera de fuerzas es igual a la suma de los momentos de las fuerzas individuales.

RrM O

nFFFR ...21

nnO FrFrFrFFFrM ...... 2121

nRO MMMMM ...21

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Ejemplo

13/04/23 Angel A. F. 31

Ejemplo

Una barra está doblada y cargada en la forma que se indica en la figura. Determinar el momento de la fuerza F respecto al punto O.

13/04/23 Angel A. F. 32

Ejemplo

Determine el momento de la fuerza F con respecto al punto P.

13/04/23 Angel A. F. 33

Ejemplo

Determine el momento de la fuerza F = 13 kN con respecto al punto P. Exprese el resultado como vector cartesiano

13/04/23 Angel A. F. 34

Determine el momento producido por la fuerza F = 60 N, con respecto al punto A

Ejemplo

13/04/23 Angel A. F. 35

Determine el momento producido por la fuerza F = 100 N, con respecto al punto A

Ejemplo

13/04/23 Angel A. F. 36

Usando vectores cartesianos, determine el momento producido por el semáforo de 10 kg de masa, con respecto al punto A. Para d = 3m y h = 4 m

Ejemplo

13/04/23 Angel A. F. 37

Ejemplo

13/04/23 Angel A. F. 38

Un codo de tubería soporta una fuerza en la forma que se indica en la figura. Determinar el momento de la fuerza F respecto al punto B.

Producto Escalar

El producto escalar o producto punto de dos vectores A y B denotado por y expresado A multiplicado escalarmente B, se define como el producto de las magnitudes de los vectores A y B por el coseno del ángulo que forman ellos.

13/04/23 39Angel Aquino F.

Propiedades del producto escalar

1. El producto escalar es conmutativo

2. El producto escalar es distributivo

3. Producto de un escalar por el producto escalar

4. Producto escalar entre la suma de dos vectores por un tercer vector

13/04/23 40Angel Aquino F.

5. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales

6. Producto escalar de dos vectores unitarios diferentes.

7. Producto escalar de dos vectores

8. Si el producto escalar de dos vectores es nulo. Entonces dichos vectores son perpendiculares

. 0A B A B

13/04/23 41Angel Aquino F.

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El momento de una fuerza respecto de un punto no tiene significado físico en mecánica por que los cuerpos giran en torno a ejes y no alrededor de puntos.El momento MOB de una fuerza respecto a un eje n se puede obtener:1º Calculando el momento MO respecto a un punto O del eje.2º Descomponiendo MO en una componente M paralela al eje n y otra M perpendicular a este:

MOB = M = (MO . en) en = [(r x F) . en] en = MOB en

Donde:enx, eny y enz son las componentes cartesianas (cosenos directores) del vector unitario en.

MOB = (r x F). en= enx eny enz

rx ry rz

Fx Fy Fz

4.3.2 Momento de una fuerza respecto a un eje

13/04/23 Angel A. F. 43

•Determine el momento de la fuerza F con respecto al eje OP.

13/04/23 Angel A. F. 44

•Determine el momento de la fuerza F = 13 kN con respecto al eje z

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Ejemplo

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Ejemplo

13/04/23 Angel A. F. 47

Ejemplo

13/04/23 Angel A. F. 48

La capota del automóvil está soportada por el puntal AB que ejerce una fuerza de F = 24 lb sobre la capota. Determine el momento de esta fuerza con respecto al eje y articulado.

Ejemplo

13/04/23 Angel A. F. 49

Las dos llaves mostradas se usan en combinación para quitar la tuerca del cubo de la rueda. Si la fuerza aplicada sobre el extremo de la llave de cubo es F = 4i - 12j + 2k N, determine la magnitud del momento de esta fuerza con respecto al eje x que es efectivo en destornillar la tuerca.

Ejemplo

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Dos fuerzas de igual módulo, paralelas, no colineales y de sentidos opuestos forman un par. Así, la suma de las dos fuerzas es nula en cualquier dirección, por lo que un par tenderá solamente a hacer girar el cuerpo al que esté aplicado.

El momento de un par es la suma de los momentos de las dos fuerzas que constituyen el par.

dFM A 2

dFM B 1

FFF 21 FdMM BA

El módulo del momento de un par respecto a un punto de su plano es igual al módulo de una de las fuerzas por la distancia que las separa.

4.4 Pares

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Pares

El momento de un par es simplemente la suma de los momentos de las fuerzas respecto a un punto O:

y como:

Vector de posición que va del puntos B al punto A cualesquiera.

2211 FrFrM O 12 FF

11211211 /)()( FrFrrFrFrM BAO

edFesenFrFrMBABAO 111 ...

//

Vector unitario perpendicular al plano del par, cuyo sentido se obtiene con la regla de la mano derecha

Por la ecuación anterior vemos que el momento de un par no depende de la situación de O por lo que el momento de un par es un vector libre.

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Pares EquivalentesSe dice que los pares son equivalentes, si producen el mismo momento del par o cupla “C”

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Pares

Un sistema de pares en el espacio (como el de la figura) pueden combinarse para dar un par resultante único. Como el momento de un par es un vector libre colocamos cada par en el origen de un sistema de coordenadas, descomponemos cada par según sus componentes rectangulares y sumamos las componentes correspondientes.

Un número cualquiera de pares coplanarios pueden sumarse algebraicamente para dar un par resultante.

222 zyx CCCC

kjie zyx coscoscos

C

C

C

C

C

C

zz

yy

xx

arccos

arccos

arccos

x y z x y zC C C C C i C j C k Ce ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������

13/04/23 Angel A. F. 54

Ejemplo

13/04/23 Angel A. F. 55

Ejemplo

13/04/23 Angel A. F. 56

Ejemplo

- 57 -

Ejemplo

- 58 -

Ejemplo

13/04/23 Angel A. F. 59

Ejemplo

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En muchos problemas conviene descomponer una fuerza en una fuerza paralela y un par (figura).

Recíprocamente, una fuerza y un par coplanario con ella se pueden combinar dando una fuerza única en el plano en cuestión.

Así pues, el único efecto exterior de combinar un par con una fuerza es desplazar a una posición paralela la recta soporte de la fuerza.

4.5 Descomposición de una fuerza y un par

- 61 -

Ejemplo

- 62 -

Ejemplo

- 63 -

Dos sistemas de fuerzas se dice que son equivalentes si producen el mismo efecto exterior al aplicarlos a un cuerpo rígido.

La resultante de un sistema de fuerzas cualesquiera es el sistema equivalente más sencillo al cual puede reducirse el sistema dado.

Esta resultante, en función de que sistema se trate, puede ser:• Una fuerza única.• Un par.• Una fuerza y un par.

4.6 Simplificación de un sistema de fuerzas: Resultantes

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Su resultante puede determinarse mediante las componentes rectangulares de las fuerzas en cualquier pareja conveniente de direcciones perpendiculares.

eRjRiRRRR yxyx

R

FR

F

jie

FFR

FR

FR

yy

xx

yx

yx

yy

xx

cos

cos

coscos

22

4.6.1 Sistemas de fuerzas coplanarias

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La situación de la recta soporte de la resultante respecto a un punto arbitrario O se puede utilizar aplicando el principio de los momentos:

OnnR MdFdFdFdFRd ...332211

Luego:R

Md O

R

Sentido de dR : (horario o antihorario) según OM

La situación de la recta soporte de la resultante respecto a O se puede especificar también determinando la intersección de la recta soporte de la fuerza con uno de los ejes de coordenadas.

y

OR R

Mx

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Caso particular de un sistema de fuerzas coplanarias paralelas:

En el caso de que la fuerza resultante de un sistema de fuerzas coplanarias sea nula pero no lo sea el momento, la resultante es un par cuyo vector es perpendicular al plano de las fuerzas

Por tanto, la resultante de un sistema de fuerzas coplanarias puede ser o una fuerza R o un par C.

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Ejemplo

- 68 -

Ejemplo

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Si todas las fuerzas de un sistema tridimensional son paralelas, la fuerza resultante tiene por módulo su suma algebraica y la recta soporte de la resultante se determina mediante el principio de los momentos:

nnO

n

FrFrFrRrM

kFkRFFFR

...

...

2211

21

La intersección con el plano xy de la recta soporte de la fuerza resultante se localiza así:

R

My

R

Mx

MyFyFyFRy

MxFxFxFRx

xR

yR

xnnR

ynnR

;

...

...

2211

2211

4.6.2 Sistema de fuerzas no coplanares

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En el caso de que la fuerza resultante de un sistema de fuerzas paralelas sea nula pero no lo sean los momentos, la resultante sería un par cuyo vector estaría en un plano perpendicular a las fuerzas.

Por tanto, la resultante de un sistema de fuerzas paralelas no coplanarias podrá ser o una fuerza R o un par C.

- 71 -

Ejemplo

- 72 -

4.6.3 Sistemas de fuerzas cualesquiera

La resultante de un sistema tridimensional de fuerzas cualesquiera (figura 1) se puede determinar descomponiendo cada fuerza del sistema en una fuerza igual y paralela que pase por un punto dado (O origen de coordenadas) y un par. (figura 2)

El sistema dado se sustituye por dos sistemas (figura 3) :• Un sistema de fuerzas no coplanarias concurrentes en O con módulo, dirección y sentido igual a los de las fuerzas del sistema original.• Un sistema de pares no coplanarios.

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Cada una de las fuerzas y cada uno de los pares de los dos sistemas se pueden descomponer en componentes según los ejes de coordenadas (figuras 1 y 2)

La resultante del sistema de fuerzas concurrentes es un fuerza R que pasa por el origen y la resultante del sistema de pares no coplanarios es un par C.Casos particulares:

• R = 0• C = 0• R = 0 y C = 0 (Sistema en equilibrio)

Por tanto, la resultante de un sistema de fuerzas cualquiera puede ser o una fuerza R o un par C o una fuerza más un par.

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Casos especiales:

Par C perpendicular a la fuerza resultante R

El sistema será equivalente a una fuerza única R cuya recta soporte se halle a una distancia d = C/R del punto O en una dirección y sentido que haga que el momento de R respecto a O sea igual al momento de C.

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Casos especiales:

Par C oblicuo a la fuerza resultante REl par C se ha descompuesto en dos componentes, una paralela y otra perpendicular a la fuerza resultante R. La fuerza resultante R y la componente del par perpendicular a ella , se pueden combinar como se ha explicado en la hoja anterior.Además, se puede trasladar la componente paralela del par hasta hacerla coincidir con la recta soporte de la fuerza resultante R.La combinación del par con la fuerza resultante R recibe el nombre de torsor.

C

C

C

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• Cuando la fuerza y el momento son vectores de igual sentido, el torsor es positivo (hoja anterior).• Cuando la fuerza y el momento son vectores de sentidos opuestos el torsor es negativo (figura siguiente).

La acción del torsor puede describirse como un empuje (o tracción) más una torsión en torno a un eje paralelo al empuje (o tracción).

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Ejemplo

- 78 -

Ejemplo

- 79 -

Ejemplo

- 80 -

Ejemplo