mcd1_u4_a3
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7/24/2019 MCD1_U4_A3
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Actividad 3. Mximo y mnimos y grfica de una funcin
Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas de mximos y mnimos, as como su
representacin grfica de una funcin.
1. e desea inscribir un cilindro circular recto de volumen mximo dentro de un conocomo lo muestra la siguiente figura!
"allar las dimensiones de dic#o cilindro.
$l cilindro tiene un radio r y una altura h .
%a frmula para calcular el volumen es!
V=hr2
$l #ec#o de estar inscrito en el cono #ace &ue a cada radio del cilindro le corresponde
una 'nica altura y viceversa.
r=10h=0
r=0h=24
i se incrementa el r en 1( disminuye # en )*
i incrementamos r en x disminuye # en24x
10
h=2424 r
10=24024 r
10=
12012 r5
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%uego podemos poner el volumen solo en funcin del radio!
V(r )= [ 12012r5 ]r2=(5 )(120r 212r 3)
+erivamos e igualamos a ( para calcular el mximo!
V '(r )=(5 ) (240r36 r2)=0
240r36r2=0
r (24036 r )=0
na solucin es r=0
- la otra
24036r=0
r=240
36=
20
3
%a segunda derivada es!
V ' '(r )=(5)(24072 r )
V ' '(0)=240
5>0 $s mnimo
V' '( 203)=(5 )(24072203)=
(5 )(7201440 )3
=(5 ) 7203
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h=12012r
5=
(12012 203)5
=12080
5=8
Rpta. r=20
3=6.6666
h=8
). +ada la funcin
2( 3)f x x x=
y el punto
( )0 5, 5P = #allar el punto sobre la grfica
de
( )f x
&ue est ms cerca de0P
.
%os puntos de la funcin tienen la forma!
(x , x23x)
u distancia al punto (5,5) es!
(x5)2+(x23x+5)2
uprimimos la ra/ para #acer el clculo!
f(x)=(x5)2+(x23x+5)2
+erivamos e igualamos a cero!
f '(x)=2(x5)+2(x23x+5)(2x3)=0
2x10+4x36x212x2+18x+20x30=0
4x318x2+40x40=0
2x39x2+20x20=0
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upondremos &ue tiene solucin entera. $ntonces ser divisor de20
2=10 y podr
ser {1,1,2,2,5,5,10,10 }
0ara x1 29+2020=7
0ara x=1 292020=51
0ara x=2 1636+4020=0
x=2 $s una solucin, veamos si #ay otras dividiendo por divisin sint2tica.
292020
24102025100
2x25x+10 Al parecer tiene races reales, el discriminante es
2580=55 egativo, no #ay races
olo x) puede ser el mnimo.
%a derivada segunda es!
f ' '(x)=12x236x+40
f ' '(2)=4872+40=16 0ositiva, es un mnimo.
%as coordenadas del punto ms cercano son!
(2,223 2)
Po=(2,2)
3. "allar dos n'meros cuya suma de cuadrados es igual a100
y cuyo producto sea
mximo.
ean x y y los dos n'meros.
omo
x+y=100
4enemos &ue!
y=100x
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%os dos n'meros son!
x ,100x
u producto es!
f(x)=x (100x)=100xx2
alculemos el mximo de esa funcin derivando e igualando a cero!
f '(x)=1002x=0
100=2x
x=50
$s un mximo por&ue la derivada segunda es negativa.
f ' '(x)=2
$l valor de y es!
y=10050=50
%os dos n'meros son el mismo 5( y 5(.
*. $n un ro de
250m
de anc#o estn ubicados dos puntosA
yB
uno frente a otro y
del mismo lado deB
#ay un tercer puntoC
ubicado a500m
de tal forma &ue el
segmentoAB
es perpendicular aBC
. na compa6a de energa el2ctrica &uiere
tender un cable desdeA
#astaC
parando por el puntoD
, como lo muestra a
figura!
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i el costo por metro del cable ba7o tierra es30%
ms barato &ue el cable ba7o el agua.
8mo se debe tender el cable para &ue el costo sea mnimo9
AB=250
BC=500
ea x la distancia BD
%os metros ba7o el agua sern
(AB2+BD2)=(250+x
2)=(62500+x2)
%os metros ba7o tierra sern 500x
i al metro ba7o agua le damos un precio de 1, el metro ba7o tierra vale (.:$l costo total es!
c (x)=(62500+x2)+0.7 (500x )
+erivamos e igualamos a cero para #allar los extremos relativos!
c'(x )=
x
(62500+x2 )0.7=0
x(62500+x2 )
=0.7
x=0.7 (62500+x2)
$levamos al cuadrado!
x2=0.49(62500+x2)
x2
(10.49)=30625
x2=
30625
0.51=60049.01961
x=(60049.01961)=245.0499147m
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A ra/n de &ue!
x=0.7 (62500+x2)
"ay un 'nico extremo relativo y tiene &ue ser mnimo por&ue #ay puntos donde el costo
se puede elevar tanto como &ueramos.
$l punto + est a 245.0499147m de ;
5. tili/ando el m2todo presentado en esta unidad, grafica la curva
3( 4)f x x x=
.
%a funcin es un polinomio, luego est definido en todo R , es continua y no tiene
asntotas. 4iene simetra central por ser todos los t2rminos impares con lo cual
f(x )=f(x )
%os cortes con el e7e x son!
x34x=0
x (x24)=0
x=0,2y 2
$l corte con el e7e y es y=0 !
%a derivada primera es!
f '(x)=3x24
%os puntos crticos son!
3x2=4
x2=
4
3
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x=2
3y 2
3
%a derivada segunda es!
f ' '(x)=6
x
$n2
3 es f
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?. tili/ando el m2todo presentado en esta unidad, grafica la curva
( )( ) sen 2f x x x=
$s una funcin continua, tiene un corte con los e7es en el punto =(, (> y los otros son
difciles de calcular. o tiene asntotas de ning'n tipo.@eamos los mximos, mnimos, /onas de crecimiento y decrecimiento, para ello la
derivamos e igualamos a cero.
f '(x)=12cos(2x)=0
2cos(2x)=1
cos (2x )=1
2
2x=3
,5 3
, 7 3
, 113
x=
6,5
6,7
6,11
6
$n tomamos x=0 entonces f '(x)=12=1 f es decreciente
$n (
6,5
6) tomamos x=
2 entoncesf '(x)=1+2=3 f es creciente
$n (5
6,7
6) tomamos x= entonces f '(x)=12=1 f es decreciente
$n (7
6,11
6) tomamos x=
3
2 entoncesf '(x)=1+2 f es creciente
$n tomamos x=2 entonces f '(x)=12=1 f es decreciente
f ' '(x)=4 sen(2x)
4 sen(2x )=0
sen(2x)=0
2x=0, ,2 ,3
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x=0,
2, ,
3
2
$n tenemos f ' '(x)=4 sen(2x)>0 f cncava es #acia arriba
$n ( 2 , ) tenemos f ' '(x)=4 sen(2x)06 es mnimo f ( 5 6)=4 sen( 53 )07 8 esmnimo f ( 116)=4 sen( 113 )
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:. tili/ando el m2todo presentado en esta unidad, grafica la curva
4 24( ) 4f x x x= +
+erivamos la primera derivada!
f (x )=4x3
8x=4x(x2
2)
+espu2s derivamos la segunda derivada!
f (x )=12x28=4(3x32)
Aplicando!
f (x )=04x(x22 )=0
%os n'meros crticos son x=0,2,2
%os valores de la segunda derivada!
f (0 )=8
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. tili/ando el m2todo presentado en esta unidad, grafica la curva
1(
1)
xf
xx
+=
.
$s una funcin definida en todo R menos en x=1 .
4iene el corte con el e7e x en x=1
- el corte con el e7e y en y= 1
1=1
4iene asntota vertical en x=1
%a derivada es!f (x )=
(x1x1)
(x1 )2 =
2
(x1 )2
$s siempre negativa, siempre es decreciente y no tiene mximos ni mnimos relativos.
%a derivada segunda es!
f (x )=2 2 (x1)
(x1 )4=
4 (x1 )
(x1 )4
4 (x1)=0
(x1)=0
x=1
$n(,1)
por e7emplox=0 f ' '(0)=4
es cncava #acia aba7o.
$n (1,) por e7emplo x=2 f ' '(0)=4 es cncava #acia arriba.
%a grafica es la siguiente!
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