[maths] 3.6 geometria espacio i
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By Miguel Pérez Fontenla, December 20111
ALGEBRA LINEAL
GEOMETRIA DEL ESPACIO I
Usando textos con licencia de Santillana Educación S.L.
ALGEBRA LINEAL
•Espacios Vectoriales•Vectores. Operaciones
•Geometría del Espacio•La Recta en el espacio•El plano en el espacio•Posiciones relativas …
•Producto escalar•Perpendicularidad•Aplicaciones, distancias, ángulos …
•Productos vectorial y mixto•Aplicaciones: Areas, distancias,•Aplicaciones: Volúmenes, distancias …
Repasando ℝ2
•Vectores en el PlanoUn vector en ℝ2 queda determinado por dos puntos A(a1,a2) y B(b1,b2) (origen A y extremo B) y el orden de éstos:
1 1 2 2
1 1 2 2
,
,
AB b a b a
BA a b a b
Repasando ℝ2
•Operaciones con vectores
Repasando ℝ2
Definición: Espacio vectorial
Un conjunto V con dos operaciones, una + y otra * y donde existen 0,1∊V y un cuerpo K (usualmente ℚ,ℝó ℂ) verificando:
Respecto a +,
Conmutativa
Asociativa
Elemento neutro
El elemento simétrico de es su opuesto
Respecto a *
Distributiva respecto a la + de vectores
Distributiva respecto a la + de escalares
Asociativa mixta
Elemento neutro
Pues bien, a este conjunto formado por {V, +, *, K} que verifique todas las propiedades anteriores se le llama espacio vectorial sobre el cuerpo K
u v v u
u v w v u w
0 0u u
u
u
u v u v
u u u
u u
1u u
Otras definiciones
Definición: vector
A los elementos del espacio vectorial V se les llama vectores
Los denotaremos por letras
Definición: escalar
A los elementos del cuerpo (usualmente ℚ,ℝ ó ℂ) se les llama escalares
Los denotaremos con las letras griegas
, , , , , , , , ,...u v w a b c i k j
, , , , , , ,....
Ejemplos de espacios vectoriales
•ℝ2 plano euclídeo estudiado en Geometría plana•V2 o conjunto de vectores del plano, estudiado en Geometría plana•n o conjunto de matrices cuadradas n x n• o conjunto de polinomios•V3 o conjunto de vectores libres del espacio•ℝ3 espacio euclídeo
Vectores en el espacio
•Vectores en el espacioUn vector en ℝ3 queda determinado por dos puntos A y B (origen A y extremo B) y el orden de éstos.
•Elementos de un vector
Vectores en el espacio
Operaciones con Vectores
Operaciones con Vectores
Combinación lineal de vectores
Base de un espacio vectorial
Base de un espacio vectorial
Coordenadas de un vector
•Sistemas de referenciaUn sistema de referencia en el espacio está formado por un punto fijo O y una base del espacio
Lo denotaremos por
•El Sistema de referencia canónico
Es el que tiene como punto fijo
O(0,0,0) el origen
y como base tres vectores de
módulo 1
y perpendiculares entre si
, ,u v w
, , ,O u v w
, ,i j k
Coordenadas de un vector
•Coordenadas y módulo de un vector
Coordenadas de un vector
Ejercicio: Calcula las coordenadas y el módulo del vector
Coordenadas de un vector
Ejercicio: Calcula las coordenadas y el módulo de estos vectores
Operaciones con coordenadas
Suma y resta de vectores
Operaciones con coordenadas
Multiplicación de un vector por un escalar
Operaciones con coordenadas
Operaciones con coordenadas
Suma de un punto más un vector
Operaciones con coordenadas
Dependencia e independencia lineal
Operaciones con coordenadas
Aplicaciones de los vectores
Punto medio de un segmento
Puntos alineados
Aplicaciones de los vectores
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