matemáticas ii 09 reserva 1 cast. la mancha
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Pruebas de Acceso a Estudios Universitarios.
Bachillerato L. O. G. S. E.
Materia: MATEMATICAS IILa prueba consta de cuatro bloques con dos opciones cada uno. Debes contestar
una unica opcion de cada bloque. Todas las opciones puntuan igual (2’5 puntos).
Puedes usar cualquier tipo de calculadora.
PRIMER BLOQUE
A. Segun el artıculo “The design of honeycombs” de A. L. Peressini, el area de la superficie de una celdade un panal de abejas esta determinada por la funcion
A(θ) = p + q
√3− cos θ
sen θ
donde p y q son dos constantes reales positivas, y θ ∈(
0, π
2
)
un cierto angulo. Calcula con que anguloθ construyen las abejas las celdas de un panal sabiendo que minimizan dicha area.
B. Se sabe que la recta recta x = −3 es una asıntota vertical de la funcion f(x) =x2
x− a. Calcula el
valor del parametro a ∈ R. Estudia si para dicho valor del parametro la funcion f(x) tiene asıntotashorizontales u oblicuas.
SEGUNDO BLOQUE
A. Enuncia la formula de integracion por partes. Aplıcala para hallar
∫ (
1−1
x2
)
ln(x) dx.
B. Determina una funcion f : R −→ R sabiendo que cumple que f ′′′(x) = 3ex + 2, f ′′(0) = 7,f ′(0) = 3 y f(1) = 3(e + 1).
TERCER BLOQUE
A. Determina, en funcion del parametro a ∈ R, el rango de la matriz A =
1 2 0 −12 −1 a 21 −a a a
B. a) Clasifica, en funcion del parametro k ∈ R, el sistema de ecuaciones
x + 2y + z = 12x − y + z = 43x + y − z = k
y + z = −2b) Resuelvelo cuando sea compatible determinado.
CUARTO BLOQUE
A. Consideramos los planos π1 ≡ x− 2y + z = 0 y π2 ≡ 2x + ay + bz = 24
a) Calcula a, b ∈ R para que los planos π1 y π2 sean paralelos. ¿Son coincidentes en dicho caso?b) Calcula la ecuacion general de un plano π3 que equidiste de π1 y π2 para los valores de a y b
antes obtenidos.
B. Dado el punto P (0,−1, 0) y la recta r ≡
x = 1y = 2 + t
z = − t
, t ∈ R
a) Determina la ecuacion general del plano perpendicular a r que pasa por el punto P .b) Halla las coordenadas de un punto Q de la recta r de modo que la distancia de P a r sea igual a
la distancia de P a Q. Calcula dicha distancia.
B1-A Solución:
La función área tendrá un mínimo cuando la derivada primera se anule y la segunda sea
positiva. La derivada primera es )cos31
(2θ
θ
senq
− que se anula para
073,54)3
1arccos( ==θ . La derivada segunda es �
�
���
� −+
θ
θ
θ3
cos)13(23
sensenq que
evidentemente es positiva para el valor de 073,54=θ . Si no queremos emplear la
derivada segunda podemos observar que antes de 073,54=θ la derivada primera es
negativa y después de 073,54=θ la derivada primera es positiva, con lo cual la función
área decrece antes de 073,54=θ y crece después de 073,54=θ . En la gráfica vemos la
función y la derivada. El eje X está en radianes.
B1-B Solución:
Si hay asíntota vertical es porque el denominador se anula para x=-3, con lo cual resulta
que a=-3. Por tanto la función es 3
)(2
+=x
xxf . El límite cuando x tienda a infinito es
infinito y por tanto no hay asíntota horizontal. El límite cuando x tiende a infinito de la
función dividida entre x es 1 y 3)(lim −=−
∞→
xxfx
. Luego y=x-3 es asíntota oblicua
B2-A Solución:
� �−= vduuvudv Consideramos que �
�
�
+=�−=
=�=
xxxvdx
xxdv
dxx
xduxxu
1)()
11()(
1)()ln()(
2
Por tanto la
integral pedida es igual a kx
xxx
xdxxx
xxx
x ++− �
���
�+=+−
�
���
�+ �
1)ln(
11)
1()ln(
1
B2-B Solución:
Como la derivada segunda es una primitiva de la derivada tercera, será de la forma
kxexf x++= 23)('' y como también 7)0('' =f , entonces 4703 0
=�=++ kke
De la misma forma hxxexf x+++= 43)(' 2 y como 3)0(' =f , tenemos que
03003 0=�=+++ hhe . Procediendo de forma análoga, m
xxexf x
+++=2
43
3)(23
y
como f(1)=3(e+1), resulta 3
2
3
11332
3
13 =−=�+=+++ meme En resumen
3
22
33)( 2
3
+++= xx
exf x
B3-A Solución:
Como la matriz A dada es de 3x4 el rango será como máximo 3. Esto ocurrirá cuando
el determinante de las tres últimas columnas sea distinto de cero aa
aaa
a 321
1022
−=
−
−
−
Esto ocurre para todo a distinto de 0 y de 3.
Para 0 podemos considerar el menor 0321
12≠=
−
−, obtenido de la primera y tercera
columnas de la matriz anterior. Si le ampliamos con la primera columna de la matriz A
3
001
212
121
=−
−
que nos asegura que también para a=0 el rango de la matriz A es 3
Cuando a= 3 consideramos el mismo menor y ampliamos igual 0
331
212
121
=
−
−
−
Luego
el rango es 2. En resumen el rango de A es 3 para todos los valores excepto para 3 que
es 2.
B3-B Solución:
Cuando la matriz ampliada tenga rango 4 el sistema será incompatible puesto que tiene
tres incógnitas
�
�
�����
�
�
−−
−=
�
�
�����
�
�
−
−
−
0100
2123
6122
3111
2110
113
4112
1121
krango
krango porque hemos
restado la tercera columna a la segunda y se la hemos sumado multiplicada por dos a la
cuarta. Desarrollando el determinante por la cuarta fila resulta 4k-44 que sólo se anula
para k=11, luego para todo valor distinto de 11 el sistema es incompatible. Para 11 el
rango de la matriz de coeficientes es 3 porque 015
113
112
121
≠=
−
− y el de la ampliada
también tres porque hemos visto que no puede ser 4. El sistema es en este caso
compatible determinado y equivalente al sistema �
�
�
=−+
=+−
=++
113
42
12
zyx
zyx
zyx
que podemos
resolver por Cramer y cuya solución es x=3, y=0, z=-2.
Usando la cuarta ecuación puede obtenerse la solución mediante cálculos más
elementales.
B4-A Solución:
Para que los planos sean paralelos los coeficientes de las incógnitas deben ser
proporcionales (los vectores perpendiculares a los planos deben ser proporcionales)
2,4121
2=−=�=
−= ba
ba. Para estos valores los planos no son coincidentes porque
no se mantiene la proporción con los términos independientes. Los planos pueden
escribirse en la forma �
=+−
=+−
122
02
zyx
zyx. Observamos que uno de ellos pasa por el
origen y el otro dista de él 141
12
++Luego el plano equidistante de ambos es x-2y+z=6
B4-B solución:
Como el vector director de la recta es (0,1,-1), la ecuación del plano es
120)0(2)1(1)0(0 −=−�=−−++− zyzyx
Si ponemos la recta como intersección de planos (eliminando el parámetro t), podemos
determinar el punto de corte de la recta y el plano resolviendo �
�
�
=+
=
−=−
2
1
1
zy
x
zy
Luego el punto de corte es �
���
�
2
3,
2
1,1 . La distancia de P a la recta es la distancia de P a
este punto de la recta porque P está en el plano perpendicular. La distancia entre estos
dos puntos es 007,26
145)1
3
2()1
2
1()01( 222
≈=++−+−
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