Pruebas de Acceso a Estudios Universitarios.

Bachillerato L. O. G. S. E.

Materia: MATEMATICAS IILa prueba consta de cuatro bloques con dos opciones cada uno. Debes contestar

una unica opcion de cada bloque. Todas las opciones puntuan igual (2’5 puntos).

Puedes usar cualquier tipo de calculadora.

PRIMER BLOQUE

A. Segun el artıculo “The design of honeycombs” de A. L. Peressini, el area de la superficie de una celdade un panal de abejas esta determinada por la funcion

A(θ) = p + q

√3− cos θ

sen θ

donde p y q son dos constantes reales positivas, y θ ∈(

0, π

2

)

un cierto angulo. Calcula con que anguloθ construyen las abejas las celdas de un panal sabiendo que minimizan dicha area.

B. Se sabe que la recta recta x = −3 es una asıntota vertical de la funcion f(x) =x2

x− a. Calcula el

valor del parametro a ∈ R. Estudia si para dicho valor del parametro la funcion f(x) tiene asıntotashorizontales u oblicuas.

SEGUNDO BLOQUE

A. Enuncia la formula de integracion por partes. Aplıcala para hallar

∫ (

1−1

x2

)

ln(x) dx.

B. Determina una funcion f : R −→ R sabiendo que cumple que f ′′′(x) = 3ex + 2, f ′′(0) = 7,f ′(0) = 3 y f(1) = 3(e + 1).

TERCER BLOQUE

A. Determina, en funcion del parametro a ∈ R, el rango de la matriz A =

1 2 0 −12 −1 a 21 −a a a

B. a) Clasifica, en funcion del parametro k ∈ R, el sistema de ecuaciones

x + 2y + z = 12x − y + z = 43x + y − z = k

y + z = −2b) Resuelvelo cuando sea compatible determinado.

CUARTO BLOQUE

A. Consideramos los planos π1 ≡ x− 2y + z = 0 y π2 ≡ 2x + ay + bz = 24

a) Calcula a, b ∈ R para que los planos π1 y π2 sean paralelos. ¿Son coincidentes en dicho caso?b) Calcula la ecuacion general de un plano π3 que equidiste de π1 y π2 para los valores de a y b

antes obtenidos.

B. Dado el punto P (0,−1, 0) y la recta r ≡

x = 1y = 2 + t

z = − t

, t ∈ R

a) Determina la ecuacion general del plano perpendicular a r que pasa por el punto P .b) Halla las coordenadas de un punto Q de la recta r de modo que la distancia de P a r sea igual a

la distancia de P a Q. Calcula dicha distancia.

B1-A Solución:

La función área tendrá un mínimo cuando la derivada primera se anule y la segunda sea

positiva. La derivada primera es )cos31

(2θ

θ

senq

− que se anula para

073,54)3

1arccos( ==θ . La derivada segunda es �

�

���

� −+

θ

θ

θ3

cos)13(23

sensenq que

evidentemente es positiva para el valor de 073,54=θ . Si no queremos emplear la

derivada segunda podemos observar que antes de 073,54=θ la derivada primera es

negativa y después de 073,54=θ la derivada primera es positiva, con lo cual la función

área decrece antes de 073,54=θ y crece después de 073,54=θ . En la gráfica vemos la

función y la derivada. El eje X está en radianes.

B1-B Solución:

Si hay asíntota vertical es porque el denominador se anula para x=-3, con lo cual resulta

que a=-3. Por tanto la función es 3

)(2

+=x

xxf . El límite cuando x tienda a infinito es

infinito y por tanto no hay asíntota horizontal. El límite cuando x tiende a infinito de la

función dividida entre x es 1 y 3)(lim −=−

∞→

xxfx

. Luego y=x-3 es asíntota oblicua

B2-A Solución:

� �−= vduuvudv Consideramos que �

�

�

+=�−=

=�=

xxxvdx

xxdv

dxx

xduxxu

1)()

11()(

1)()ln()(

2

Por tanto la

integral pedida es igual a kx

xxx

xdxxx

xxx

x ++− �

���

�+=+−

�

���

�+ �

1)ln(

11)

1()ln(

1

B2-B Solución:

Como la derivada segunda es una primitiva de la derivada tercera, será de la forma

kxexf x++= 23)('' y como también 7)0('' =f , entonces 4703 0

=�=++ kke

De la misma forma hxxexf x+++= 43)(' 2 y como 3)0(' =f , tenemos que

03003 0=�=+++ hhe . Procediendo de forma análoga, m

xxexf x

+++=2

43

3)(23

y

como f(1)=3(e+1), resulta 3

2

3

11332

3

13 =−=�+=+++ meme En resumen

3

22

33)( 2

3

+++= xx

exf x

B3-A Solución:

Como la matriz A dada es de 3x4 el rango será como máximo 3. Esto ocurrirá cuando

el determinante de las tres últimas columnas sea distinto de cero aa

aaa

a 321

1022

−=

−

−

−

Esto ocurre para todo a distinto de 0 y de 3.

Para 0 podemos considerar el menor 0321

12≠=

−

−, obtenido de la primera y tercera

columnas de la matriz anterior. Si le ampliamos con la primera columna de la matriz A

3

001

212

121

=−

−

que nos asegura que también para a=0 el rango de la matriz A es 3

Cuando a= 3 consideramos el mismo menor y ampliamos igual 0

331

212

121

=

−

−

−

Luego

el rango es 2. En resumen el rango de A es 3 para todos los valores excepto para 3 que

es 2.

B3-B Solución:

Cuando la matriz ampliada tenga rango 4 el sistema será incompatible puesto que tiene

tres incógnitas

�

�

�����

�

�

−−

−=

�

�

�����

�

�

−

−

−

0100

2123

6122

3111

2110

113

4112

1121

krango

krango porque hemos

restado la tercera columna a la segunda y se la hemos sumado multiplicada por dos a la

cuarta. Desarrollando el determinante por la cuarta fila resulta 4k-44 que sólo se anula

para k=11, luego para todo valor distinto de 11 el sistema es incompatible. Para 11 el

rango de la matriz de coeficientes es 3 porque 015

113

112

121

≠=

−

− y el de la ampliada

también tres porque hemos visto que no puede ser 4. El sistema es en este caso

compatible determinado y equivalente al sistema �

�

�

=−+

=+−

=++

113

42

12

zyx

zyx

zyx

que podemos

resolver por Cramer y cuya solución es x=3, y=0, z=-2.

Usando la cuarta ecuación puede obtenerse la solución mediante cálculos más

elementales.

B4-A Solución:

Para que los planos sean paralelos los coeficientes de las incógnitas deben ser

proporcionales (los vectores perpendiculares a los planos deben ser proporcionales)

2,4121

2=−=�=

−= ba

ba. Para estos valores los planos no son coincidentes porque

no se mantiene la proporción con los términos independientes. Los planos pueden

escribirse en la forma �

=+−

=+−

122

02

zyx

zyx. Observamos que uno de ellos pasa por el

origen y el otro dista de él 141

12

++Luego el plano equidistante de ambos es x-2y+z=6

B4-B solución:

Como el vector director de la recta es (0,1,-1), la ecuación del plano es

120)0(2)1(1)0(0 −=−�=−−++− zyzyx

Si ponemos la recta como intersección de planos (eliminando el parámetro t), podemos

determinar el punto de corte de la recta y el plano resolviendo �

�

�

=+

=

−=−

2

1

1

zy

x

zy

Luego el punto de corte es �

���

�

2

3,

2

1,1 . La distancia de P a la recta es la distancia de P a

este punto de la recta porque P está en el plano perpendicular. La distancia entre estos

dos puntos es 007,26

145)1

3

2()1

2

1()01( 222

≈=++−+−