matemáticas i tema: 10 1 variación de funciones. derivadas final tasa de variación media de una...
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Matemáticas ITema:
10 1Variación de funciones. Derivadas
X
Y
Final
Tasa de variación media de una funciónPara una función f(x) se define la tasa de variación media de f en un intervalo [a, b],
contenido en el dominio f(x), mediante el cociente:
f(b) – f(a)b – aTm f[a, b] =
La tasa de variación media es una medida de la variación que experimenta una función, en un intervalo, por unidad de variable independiente
X
Y
a b
f(a)
f(b)
Tm f[a, b] > 0
f(b) – f(a) > 0
a b
f(a)
f(b)f(b) – f(a) < 0
Tm f[a, b] < 0
Matemáticas ITema:
10 2Variación de funciones. Derivadas
Derivada de f en el puntode abcisa p: el límite ha
existir y ser finito
X
Y
Final
Tasa de variación en un punto. Concepto de derivada
Al calcular la tasa de variación media en intervalos de longitud cada más pequeña, con un extremo en un punto p, intentamos obtener una medida de lo rápido que
varía la función en p. De esta forma obtenemos la derivada en p.
p p + h
f(p)
f(p + h)
f(p + h) – f(p)
f '(p) = h olim
f(p+h) – f(p)h
Matemáticas ITema:
10 3Variación de funciones. Derivadas
Final
La recta tangente como límite de rectas secantes
Q1
Q2
Q3
Qn
t1t2 t3
tn
t
X
Y
• P
• •
•
• ...
...
La recta tangente a una curva C en un punto P es la recta que pasa por P y es la posición límite de las rectas secantes que pasan por P y Q cuando Q es cualquier
punto de C que tiende a P a los largo de la curva
C
Matemáticas ITema:
10 4Variación de funciones. Derivadas
X
Y
Final
Interpretación geométrica de la tasa de variación media: pendiente de la recta secante
m = tg = f(p+ h)-f(p)
h
La pendiente de la recta secante a la curva, por P y Q es:
p
f(p)
p + h
f(p + h)
h
f(p + h) - f(p)
P
Q
Matemáticas ITema:
10 5Variación de funciones. Derivadas
X
Y
p
f(p)
p + h
f(p + h)
h
f(p + h) - f(p)
P
Q
FinalInterpretación geométrica de la derivada: pendiente de la
recta tangente
Al hacer que h 0, ocurrirá que • p + h tiende (se acerca) a p
• Q recorre la curva acercándose a P
• La recta secante a la curva se convierte en la recta tangente
• La inclinación de la recta secante tiende a la inclinación de la recta tangente
• La tasa de variación media tiende a la tasa de variación instantánea
Si la función f tiene derivada en el punto p, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en este punto es la derivada de f en p
Matemáticas ITema:
10 6Variación de funciones. Derivadas
X
Y
Final
Ecuación de la recta tangente a una curva en un punto
•
p
f(p)
• La ecuación de la recta que pasa por un punto P(xo, yo) y tiene de pendiente m es: y – yo = m (x – xo)
• La ecuación de la recta la gráfica de la función f por el punto de abcisa p es
y – f(p) = f ' (p) (x – p) siempre que f tenga derivada en p
f '(p) = tg
Matemáticas ITema:
10 7Variación de funciones. Derivadas
Final
Tangente vertical en un punto
• Pendientes de las rectas tangentes que pasan por P(0, 0) y Q(h, f(h))
mPQ = f(0 + h) – f(0)
h h1/3 – 0
h= =1
h2/3
• Al hacer que x tienda a 0, la pendiente tiende a infinito: la derivada no existe, ya que por definición ha de ser finita
La función f(x) = 3
x no es derivable en 0. En el resto de puntos de sudominio sí es derivable
X
Y
f(x) = 3
x
Matemáticas ITema:
10 8Variación de funciones. Derivadas
FinalFunción derivada
f´(3) = h 0lim
f(3 +h)-f(3)h =
h 0lim
(3 + h)2-32
h = h 0lim
h(h + 6) h = 6
• Derivada de f(x) = x2 en el punto 2:
• Para obtener la derivada en el punto x
f´(x) = h0lim
f(x+ h)-f(x) h =
h 0lim
(x+ h)2-x2
h = h 0lim
h (h +2x) h = 2x
• Derivada de f(x) = x2 en el punto 3:
f´(2) = h 0lim
f(2 +h)-f(2)h =
h 0lim
(2 + h)2-22
h = h 0lim
h(h + 4) h = 4
• Se llama función derivada de una función f(x), o simplemente derivada de f, a una nueva función f ' (x) que asocia a cada punto x la derivada de f(x) en el punto x, siempre que ésta exista.
• La f ' (x) sólo existe en los puntos en los que f es derivable: esos puntos están en Dom(f)
X
Y
f(x) = x2
X
Y
f ´(x) = 2x
Matemáticas ITema:
10 9Variación de funciones. Derivadas
FinalDerivada de las operaciones con funciones (I)
•Derivada de una constante por una funciónSi c R y f es una función derivable en x R la función cf es
derivable en x y su derivada es el producto de c por la derivada de f en el punto x, es decir(cf)'f = cf´(x)
•Derivada de la suma y diferencia de funcionesSi f y g son dos funciones derivables en x R, las funciones (f + g) y (f
– g) son derivables en x y sus derivadas son la suma y la diferencia de las derivadas de cada una de ellas:
( f + g)' (x) = f ' (x) + g ' (x) y ( f – g)' (x) = f ' (x) – g ' (x)
•Derivada de f(x) = xn, n = 0, 1, 2, 3, ...Esta función es derivable en toda la recta real y su derivada es el
producto del exponente n por la base elevada al exponente menos 1:f ' (x) = n xn-1
•Derivada del producto de funcionesSi f y g son dos funciones derivables en x R, la función f . g es
derivable en x y su derivada es:(fg)'(x) = f ' (x) g(x) + f(x) g ' (x)
Matemáticas ITema:
10 10Variación de funciones. Derivadas
FinalDerivada de las operaciones con funciones (II)
•Derivada de la composición de funciones: regla de la cadena.Si f tiene derivada en x y g tiene derivada en f(x), la función
compuesta f o g tiene derivada en x y su derivada es (g o f )'(x) = g'(f(x)) f '(x)
•Derivada de la función logarítmicaLa función f(f) = ln x tiene derivada en x (0, ) y su derivada es:
f '(x) = 1/x
•Derivada de la función exponencialLa función f(x) = ex tiene derivada en x R y su derivada es. ç
f '(x) = ex
•Derivada de la función potencialLa función f(x) = xa tiene derivada en todo x (0, ) y su derivada
esf ' (x) = axa-1
Matemáticas ITema:
10 11Variación de funciones. Derivadas
Final
Derivada de las funciones trigonométricas
•Derivada de la función senoLa función f(x) = sen x tiene derivada en todo x R y su
derivada esf ' (x) = cos x
•Derivada de la función cosenoLa función f(x) = cos x tiene derivada en todo x R y su
derivada esf ' (x) = – sen x
•Derivada de la función tangenteLa función f(x) = tan x es derivable en los puntos en los que cos
x 0, es decir para x kEn dichos puntos se tienef ' (x) = 1/cos2x
Matemáticas I Tema:
10 12Variación de funciones. Derivadas
Tabla de derivadas de las funciones elementales
Función Derivada
f(x) = sen x f '(x) = cos x
f(x) = cos x f '(x) = – sen x
f(x) = tan x f '(x) = 1
Cos 2x
f(x) = arcsen x f '(x) = 1
1 – x2
f(x) = arccos x f '(x) = –11 – x2
f(x) = arctan x f '(x) = 1
1 + x2
Función
Derivada
f(x) = c (constante)
f '(x) = 0
f(x) = x n
f '(x) = n xn – 1
f(x) = e x f '(x) = ex
f(x) = a x (a > 0) f '(x) = a x ln a
f(x) = ln x f '(x) = 1x
f(x) = loga x, (a > 0) f '(x) =
1x ln a
Matemáticas I Tema:
10 13Variación de funciones. Derivadas
Tabla de Tabla de derivadasderivadas (y = f(x) y u son dos funciones reales (y = f(x) y u son dos funciones reales
de variable real. Continuas)de variable real. Continuas)
Matemáticas I Tema:
10 14Variación de funciones. Derivadas
Tabla de Tabla de derivadasderivadas
Matemáticas ITema:
10 15Variación de funciones. Derivadas
X
Y
Final
Crecimiento y derivadas
(a
)b
Función creciente en (a, b)
x
f '(x) = tg > 0 x (a, b)
Si f(x) es una función derivable en el intervalo (a, b) y su derivada es positiva en todos los puntos del conjunto (a, b), la función f(x) es creciente
en (a, b)
Matemáticas ITema:
10 16Variación de funciones. Derivadas
X
Y
Final
Decrecimiento y derivadas
(a
)b
Función decreciente en (a, b)
x
f '(x) = tg < 0 x (a, b)
Si f(x) es una función derivable en el intervalo (a, b) y su derivada es negativa en todos los puntos del conjunto (a, b), la función f(x) es decreciente en (a, b)
Matemáticas I Tema:
10 17Variación de funciones. Derivadas
PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA MONOTONÍA
EJEMPLO:
Matemáticas ITema:
10 18Variación de funciones. Derivadas
- 4 - 2 2 4X
- 3
- 2
- 1
1
2
3
Y
FinalEstudio de los intervalos de crecimiento y decrecimiento
Siempre positivo
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de y = 2x
1 + x2
y ' = 2(1 - x)(1 + x)
1 + x2
1 + x2
2(1 - x)(1 + x) = 0 x = 1;
-1 1y’ < 0
y’ > 0
y’ < 0
Decreciente: (, -1) (1, ) Creciente: (-1, 1)
Matemáticas ITema:
10 19Variación de funciones. Derivadas
Final
Extremos relativos y derivada segunda
X
Y
f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0a
b
f ' (a) = 0f " (a) > 0
f " (b) < 0f ' (b) = 0
mínimorelativo de
coordenadas (a, f(a))
máximorelativo de
coordenadas (b, f(b))
Sea f(x) una función tal que f ' (p) = 0• Si f"(p) > 0, la función f alcanza en p un mínimo relativo en x = p• Si f"(p) < 0, la función f alcanza un máximo relativo en x = p
Matemáticas I Tema:
10 20Variación de funciones. Derivadas
PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Matemáticas I Tema:
10 21Variación de funciones. Derivadas
CURVATURA Y PUNTOS E INFLEXIÓN
Matemáticas I Tema:
10 22Variación de funciones. Derivadas
CURVATURA
Matemáticas I Tema:
10 23Variación de funciones. Derivadas
PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN
EJEMPLO:
Matemáticas I Tema:
10 24Variación de funciones. Derivadas
PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA CURVATURA
EJEMPLO:
Matemáticas I Tema:
10 25Variación de funciones. Derivadas
PUNTOS CRÍTICOS
Matemáticas I Tema:
10 26Variación de funciones. Derivadas
EJEMPLOS:
Matemáticas I Tema:
10 27Variación de funciones. Derivadas
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS
EJEMPLO:
Matemáticas ITema:
10 28Variación de funciones. Derivadas
FinalProblemas de optimización (I)
Costa
•
•
A
B
Llegar desde A hasta B, tocando en la costa y recorriendo la menor distancia posible
3 km.7 km.
10 km.
Matemáticas ITema:
10 29Variación de funciones. Derivadas
FinalProblemas de optimización (II)
•
•
A
B
3 km.7 km.
10 km.
•
A'mínima distancia entre A' y B = mínima distancia entre A y B =
= ACB
CX 10 - X
3x =
7
10 -x x = 3
¿Se podría resolver este problema utilizando las derivadas?
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