matematica y su espistemología
Post on 06-Jul-2018
225 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/17/2019 Matematica y Su Espistemología
1/21
-
8/17/2019 Matematica y Su Espistemología
2/21
ENSAYO
CONSIDERACIONES EPISTEMOLÓGICASAPLICADAS A LA MATEMÁTICA
JOSE GONZALEZ C.
-
8/17/2019 Matematica y Su Espistemología
3/21
ÍNDICE
1 - INTRODUCCIÓN
1.1. Significad !"i#$%gic d! $a &a$a'(a #a"!#)"ica1.*. +i,"(ia d!$ ,a'!( #a"!#)"ic.
1.*.1. An"iga cii$i/aci%n !gi&cia.
1.*.*. M!,&"a#ia an"iga 'a'i$nia
1.*.0. Cina an"iga.
1.*.2. India an"iga.
1.*.3. G(!cia
II - ARGUMENTACIÓN*. 1.Cnc!&" #d!(n d! Ma"!#)"ica
*.*. E&i,"!#$g4a d! $a #a"!#)"ica
*.0. 5nci%n d! $a #a"!#)"ica.
2.4. El método
2.5. Los problemas
*.6. 5nda#!n"aci%n d!$ ,a'!( #a"!#)"ic
*.7. Cn,"(cci%n a8i#)"ica d! $a, Ma"!#)"ica,.
*.9. A&$icacin!, d! $a $%gica : d! $a, #a"!#)"ica, a $a ci!ncia
*.;. E$ "!cnici,# !n $a !n,!
-
8/17/2019 Matematica y Su Espistemología
4/21
CONSIDERACIONES EPISTEMOLÓGICAS APLICADAS A LA MATEMÁTICA
Resulta curioso el hecho de que, a diario, como especialistas de X asignatura; nos
limitemos a la simple transmisión de contenidos sistematizados del currículo escolar y
dejemos de lado el plano intrínseco que da cientificidad a nuestra disciplina. Al indagar
sobre el desarrollo de la ciencia, nos ha lleado a la refle!ión del quehacer cotidiano a
lo interno de la disciplina que impartimos" #atem$ticas
%racias a tales e!pectatias, abordaremos nuestro estudio desde un enfoque
epistemológico aceptando, de antemano, que nuestra perspectia estar$ dirigida a describir
determinados aspectos de la #atem$tica como ciencia; entre ellos, el concepto, objeto de
estudio en que se detiene nuestra disciplina, el m&todo del cual se ale, su larga trayectoria,
su fundamentación científica y los estatutos que nos demuestran las alternatias que
permiten su realización de manera cada ez m$s certera y m$s fiable.
'e islumbra adem$s, las #atem$ticas como parte del quehacer científico y como
proceso o forma de pensamiento para finalmente concluir con sus aportes a la humanidad.
(odo ello con el principal propósito de conocer m$s a fondo nuestra disciplina, cómo se ha
enido desarrollando, cómo se articula en la pr$ctica social y cu$les son sus e!pectatias
futuras lo cual nos permitir$, sin duda, buscar cada día nueas alternatias con qu& mejorar
nuestra pr$ctica pedagógica.
)uestra inquietud inestigatia nos motia, en primera instancia, a e!aminar la
etimología del t&rmino. Ma"!#)"ica,? *rocede del erbo griego +m$nthano+, que significaaprender a pensar, aplicar el espíritu. A partir de ahí se forma el sustantio +m$thema+, que
significa conocimiento, y de &ste el adjetio +mathematiós+. -n el latín se adoptó la forma
+mathematicus+. #atem$ticas, en su concepto etimológico, sería entonces aquello que se
piensa y se aprende, y el matem$tico es aquel que piensa, que aprende y que aplica el igor
de su espíritu científico.
-l hecho de que sea frecuente utilizar este t&rmino en plural obedece a que en latín+mathematica+ es un sustantio plural. (ambi&n se ha dicho, que se prefiere el t&rmino en
-
8/17/2019 Matematica y Su Espistemología
5/21
plural porque abarca a una serie de disciplinas, como son la %eometría, el lgebra, el
An$lisis, la (opología, la -stadística, etc. *latón opinaba que nadie podía considerarse
educado si no tenía conocimientos de #atem$ticas. -n la -dad #edia, las uniersidades
llamaron a estas disciplinas /cuadriium0 y las consideraban superiores a las /triialis+ o
triiales, %ram$tica, Retórica y 1ial&ctica.
1e acuerdo con 2en la -pistemología es una /disciplina filosófica básica que
investiga los métodos de información y aplicación, de colaboración y evaluación de las
teorías y conceptos científicos, y a su vez intenta fundamentarlos y evaluarlos0. (ambi&n es
la rama de la filosofía que estudia el origen, la estructura, los m&todos y la alidez del
conocimiento. 'in embargo, no hay un patrón riguroso en cuanto a los aspectos
epistemológicos que deba contemplar una determinada ciencia, dado que los puntos que se
analizan difieren seg3n la disciplina que se estudia.
-n nuestro razonar sobre la -pistemología de la #atem$tica, nos detendremos en la
refle!ión de aspectos inherentes a la historia del saber matem$tico, la estructura, la función,
el m&todo y el problema. 4ustamente, una buena descripción epistemológica de la
#atem$tica adierte el conocimiento desde dos $ngulos diferentes" la sensatez y la
comprensión, por un lado y el cariz crítico, desde otra óptica; lo cual no ha de causar
e!tra5eza dado que filosofía es ante todo un cuestionamiento de cuanto tenga que er con lascreaciones humanas.
Al e!plorar la historia del saber matem$tico islumbramos que los primeros indicios
de la #atem$tica fueron las distribuciones de tareas, de contribuciones, de tierra, de granos
que justifican el origen de la Aritm&tica y una %eometría para las necesidades del comercio
como lo decían, despectiamente, los griegos m$s ilustres. Así fue en el centro de -uropa, en
#esopotamia, en -gipto, en 6ndia en 7hina, en %recia.
1ifícil es establecer la antig8edad de tales procedimientos utilitarios. *uede
aseerarse que surgen en cada una de tales ciilizaciones seg3n su peculiar capacidad pr$ctica
y de interiorización. 'olamente los griegos pensaron, realmente, en una organización
secuenciada de tales conocimientos. 'upuestos algunos de ellos; logran obtener los dem$s,
mediante reglas fijas que, paulatinamente, an a construir la lógica. 9uiz$s fue m$s capital
para la constitución de la #atem$tica el que, ateni&ndose a tales reglas fijas, los griegos
alcanzan conocimientos que no disponían. -stos dos pasos primordiales impulsaron el
desenolimiento de los principios hasta conertirse en un conocimiento inagotable. -ste
-
8/17/2019 Matematica y Su Espistemología
6/21
aspecto, tiene que er con la estructuración que hayan alcanzado las respuestas a una
secuencia de cuestiones. Actualmente, el enfoque m$s sistem$tico de los que se conocía en
#atem$tica a mediados del siglo XX, es el e!puesto mediante estructuras matem$ticas por la
escuela llamada :ourbai.
-l concepto de n3mero surgió como consecuencia de la necesidad pr$ctica de contar
objetos. 6nicialmente se contaban con ayuda de los medios disponibles" dedos, piedras...
:asta recordar, por ejemplo, que la palabra c$lculo deria de la palabra latina /calculus0
que significa contar con piedras. 2a serie de n3meros naturales era, obiamente, limitada;
pero la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de n3meros representa ya, una
importante etapa en el camino hacia la matem$tica moderna. *aralelamente, a la ampliación
de los n3meros se desarrolló su simbología y los sistemas de numeración, diferentes para
cada ciilización.
2a información, disponible, sobre la ciilización desarrollada a lo largo del )ilo,
antigua ciilización egipcia, es lo suficientemente fiable como para ser considerada la
primera ciilización que alcanzó un cierto desarrollo matem$tico. )uestros conocimientos
sobre las #atem$ticas del Antiguo -gipto se basan, principalmente, en dos grandes papiros
de car$cter matem$tico y algunos peque5os fragmentos, así como en las inscripciones en piedra encontradas en tumbas y templos. 1esarrollaron el llamado +sistema de numeración
jeroglífico+, que consistía en denominar cada uno de los +n3meros clae+ , =>>, =>>>...?
por un símbolo palos, lazos, figuras humanas en distintas posiciones.... 2os dem$s
n3meros, se formaban a5adiendo a un n3mero u otro del n3mero central uno o arios de estos
n3meros clae. @n sistema de numeración posterior a &ste, pero de similares características,
sería el sistema de numeración romano. (ambi&n crearon fracciones, pero sólo como
diisores de la unidad, esto es, de la forma =n; el resto de fracciones se e!presaban siemprecomo combinaciones de estas fracciones. Aparecen tambi&n los primeros m&todos de
operaciones matem$ticas; todos ellos con car$cter aditio, para n3meros enteros y fracciones.
Algebraicamente, se resuelen determinadas ecuaciones de la forma !Ba!Cb donde la
incógnita ! se denominaba +montón+. -n %eometría, los aances en el c$lculo de $reas y
ol3menes encontraron, por ejemplo, para el $rea del círculo; un alor apro!imado del
n3mero pi de DE=F>G. 'in embargo, el desarrollo geom&trico adolece de falta de teoremas y
demostraciones formales. (ambi&n encontramos rudimentos de (rigonometría y nociones
b$sicas de semejanza de tri$ngulos.
http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/MapEgip.htmlhttp://almez.pntic.mec.es/~agos0000/Papiro.htmlhttp://almez.pntic.mec.es/~agos0000/Papiro.htmlhttp://almez.pntic.mec.es/~agos0000/MapEgip.html
-
8/17/2019 Matematica y Su Espistemología
7/21
Actualmente, la información que se tiene sobre la 7iilización mesopot$mica o
antigua :abilonia, en cuanto a #atem$ticas se refiere, es mucho mayor que la e!istente
sobre la 7iilización egipcia, debido a que en lugar de papiros, utilizaban escritura
cuneiforme sobre tablillas de arcilla, mucho m$s resistentes al paso del tiempo. @tilizaron el
sistema de numeración posicional se!agesimal, carente de cero y en el que un mismo símbolo
podía representar, indistintamente, arios n3meros que se diferenciaban por el enunciado del
problema. 1esarrollaron un eficaz sistema fraccionario de notación, que permitió establecer
apro!imaciones decimales erdaderamente sorprendentes. -sta eolución y simplificación
del m&todo fraccionario permitió el desarrollo de nueos algoritmos que se atribuyeron a
matem$ticos de &pocas posteriores, baste como ejemplo el algoritmo de )eHton para la
apro!imación de raíces cuadradas. 1esarrollaron el concepto de n3mero inerso, lo que
simplificó notablemente la operación de la diisión.
-ncontramos, tambi&n, en esta &poca los primeros sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas; pero, sin duda, la gran aportación algebraica babilónica se centra en el campo de
la potenciación y en la resolución de ecuaciones cuadr$ticas, tanto es así que llegaron a la
solución para ecuaciones de la forma !IBp!Cq, pJ>, qJ> y tambi&n a!IBb!Cc mediante el
cambia de ariable tCa!. -fectuaron un sin fin de tabulaciones que utilizaron para facilitar elc$lculo, por ejemplo de algunas ecuaciones c3bicas. -l dominio en esta materia era tal, que
incluso desarrollaron algoritmos para el c$lculo de sumas de progresiones, tanto aritm&ticas
como geom&tricas. 'u capacidad de abstracción fue tal, que desarrollaron muchas de las que
hoy se conocen como ecuaciones diof$nticas, algunas de las cuales est$n, íntimamente,
unidas con conceptos geom&tricos; terreno &ste, en el que tambi&n superaron a la 7iilización
egipcia, constituyendo los problemas de medida, el bloque central en este campo" $rea del
cuadrado, del círculo con una no muy buena apro!imación de pi igual a D, ol3menes dedeterminados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta
ciilización conocía el teorema de *it$goras aplicado a problemas particulares, aunque no,
obiamente, como principio general.
*or otro lado, aunque la 7iilización china es, cronológicamente, comparable a las
7iilizaciones egipcia y mesopot$mica, los registros e!istentes son bastante menos fiables.
2a primera obra #atem$tica es +probablemente+ el 7hou *ei > a.7. y
http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/Tablilla.htmlhttp://almez.pntic.mec.es/~agos0000/Tablilla.html
-
8/17/2019 Matematica y Su Espistemología
8/21
junto a ella, la m$s importante es +2a #atem$tica de los nuee libros+ o de los nuee
capítulos. -sta obra, de car$cter totalmente heterog&neo, tiene la forma de pergaminos
independientes y est$n dedicados a diferentes temas de car$cter, eminentemente, pr$ctico
formulados en IKF problemas concretos a semejanza de los egipcios y babilónicos y a
diferencia, de los griegos cuyos tratados eran e!positios, sistem$ticos y ordenados de
manera lógica. 2os problemas resumen un compendio de cuestiones sobre Agricultura,
6ngeniería, impuestos, c$lculo, resolución de ecuaciones y propiedades de tri$ngulos
rect$ngulos.
-l sistema de numeración es el decimal jeroglífico. 2as reglas de las operaciones son
las habituales; aunque destaca como singularidad, que en la diisión de fracciones se e!ige la
preia reducción de &stas a com3n denominador y dieron por sentado la e!istencia de
n3meros negatios; no obstante, nunca los aceptaron como solución a una ecuación. 2a
contribución algebraica m$s importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la
regla de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. *ara todos los sistemas se establece un
m&todo gen&rico de resolución muy similar al que hoy conocemos como m&todo de %auss,
e!presando incluso los coeficientes en forma matricial, transform$ndolos en ceros de manera
escalonada. 6nentaron el +tablero de c$lculo+, artilugio consistente en una colección de
palillos de bamb3 de dos colores un color para e!presar los n3meros positios y otro paralos negatios y que podría ser considerado como una especie de $baco primitio.
7on el desarrollo del +m&todo del elemento celeste+ se culminó el desarrollo del
lgebra en 7hina, en la -dad #edia. -ste m&todo, desarrollado por 7hou 'hi Li&, permitía
encontrar raíces no sólo enteras, sino tambi&n racionales, e incluso apro!imaciones decimales
para ecuaciones de la forma *n
%eometría fuese el punto fuerte de la 7ultura china, limit$ndose principalmente a la
resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos.
-n la 6ndia antigua, la característica principal del desarrollo #atem$tico es el
predominio de las reglas aritm&ticas de c$lculo, destacando la correcta utilización de los
n3meros negatios y la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como n3meros
$lidos los n3meros irracionales. *rofundizaron en la obtención de reglas de resolución de
ecuaciones lineales y cuadr$ticas, en las cuales las raíces negatias eran interpretadas comodeudas. 1esarrollaron tambi&n, sin duda, para resoler problemas astronómicos, m&todos de
-
8/17/2019 Matematica y Su Espistemología
9/21
resolución de ecuaciones diof$nticas, llegando; incluso, a plantear y resoler la ecuación
!IC=BayI, denominada ecuación de *elt. -n la historia de la 6ndia se encuentran suficientes
hechos que ponen en eidencia la e!istencia de relaciones políticas y económicas con los
estados griegos, egipcios, $rabes y con 7hina. #atem$ticamente, se considera, indiscutible,
la procedencia hind3 del sistema de numeración decimal y las reglas de c$lculo.
-!plorando la antigua cultura griega, apreciamos que la actiidad intelectual de las
ciilizaciones desarrolladas en -gipto y #esopotamia, ya había perdido casi todo su impulso
mucho antes que comenzara la -ra 7ristiana; pero a la ez que se acentuaba este declie,
surgían con una fuerza indescriptible nueas culturas a lo largo de todo el #editerr$neo; y
entre ella, la cultura hel&nica fue la principal abanderada en el terreno cultural. (anto es así,
que las ciilizaciones anteriores a la antigua %recia se conocen como culturas prehel&nicas.
-l helenismo nunca logró la unidad, ni en su &poca de m$!imo apogeo ni cuando fue
amenazado con la destrucción. Ahora bien, en menos de cuatro siglos, de (ales de #ileto a
-uclides de Alejandría, y lo hayan querido o no; los pensadores griegos, riales de ciudades o
de escuelas, construyeron un imperio inisible y 3nico cuya grandeza perdura hasta nuestros
días. -ste logro insólito se llama MATEMÁTICAS .
'alo e!cepciones, los productores se agrupaban en escuelas. -n los matem$ticos, de
esta &poca, los problemas pr$cticos relacionados con las necesidades de c$lculos aritm&ticos,
mediciones y construcciones geom&tricas continuaron jugando un gran papel. 'in embargo,
lo noedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una rama
independiente de las #atem$ticas que obtuo la denominación de +logística+. A la logística,
fueron atribuidas las operaciones con n3meros enteros, la e!tracción num&rica de raíces, el
c$lculo con la ayuda de dispositios au!iliares, c$lculo con fracciones, resolución num&rica
de problemas que conducen a ecuaciones de =er y IM grado, problemas pr$cticos de c$lculo y
constructios de la Arquitectura, %eometría, Agrimensura, etc.
Al mismo tiempo, ya en la escuela de *it$goras se adierte un proceso de recopilación
de hechos matem$ticos abstractos; y la unión de ellos en sistemas teóricos. Así por ejemplo,
de la Aritm&tica fue separada en una rama independiente la teoría de n3meros, es decir, el
conjunto de conocimientos matem$ticos que se relacionan con las propiedades generales de
las operaciones con n3meros naturales. 'e estudiaban cuestiones sobre la diisibilidad de los
n3meros; fueron introducidas las proporciones aritm&ticas, geom&tricas y armónicas y
http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/EscuGrie.htmlhttp://almez.pntic.mec.es/~agos0000/EscuGrie.html
-
8/17/2019 Matematica y Su Espistemología
10/21
diferentes medias" la aritm&tica, la geom&trica y la armónica. 4unto a la demostración
geom&trica del teorema de *it$goras fue encontrado el m&todo de hallazgo de la serie
ilimitada de las ternas de n3meros +pitagóricos+, esto es, ternas de n3meros que satisfacen la
ecuación aIBbICcI.
-n este tiempo, transcurrieron la abstracción y sistematización de las informaciones
geom&tricas. -n los trabajos geom&tricos se introdujeron y perfeccionaron los m&todos de
demostración geom&trica. 'e consideraron en particular, el teorema de *it$goras, los
problemas sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un $ngulo, la duplicación del cubo
y la cuadratura de una serie de $reas; en particular, las acotadas por líneas curas.
2a historia sobre la resolución de los tres problemas geom&tricos cl$sicos
-
8/17/2019 Matematica y Su Espistemología
11/21
2a #atem$tica es un arte, pero tambi&n una ciencia de estudio. 7om3nmente, se
puede decir que es el estudio de los +n3meros y símbolos+. -s decir, la inestigación de
estructuras abstractas definidas a partir de a!iomas, utilizando la lógica y la notación
matem$tica. -s tambi&n la ciencia de las relaciones espaciales y cuantitatias. 'e trata de
relaciones e!actas que e!isten entre cantidades y magnitudes, y de los m&todos por los cuales,
de acuerdo con estas relaciones, las cantidades buscadas son deducibles a partir de otras
cantidades conocidas o presupuestas. (ambi&n, forma parte del objeto de la #atem$tica la
resolución de problemas; entendi&ndose &sta, como la creación de modelos que responden a
una necesidad real de la sociedad o de un grupo determinado.
Al igual que las dem$s ciencias, la #atem$tica tiene su propia funcionalidad, su
pragm$tica, sus fundamentos, sus estatutos, sus m&todos, su tecnicismo y su construcción
a!iom$tica; aspectos que e!aminaremos y argumentaremos, paulatinamente, en nuestra
e!posición.
Respecto a la función de nuestra disciplina, sabemos que los seres humanos aprenden
para desempe5arse, conenientemente, en la sociedad en la que conien. 1iersos
adiestramientos est$n a la disposición de indiiduos de un conglomerado. -ntre las
habilidades que requieren un dominio m$s refinado por la precisión con la que hay que
aplicar procedimientos est$ la #atem$tica. -s una actiidad, por e!celencia, educatia; no
obstante, la #atem$tica posee tambi&n un cariz l3dico y es utilizable en grado sumo, en
diersas tareas que hay que resoler para la organización de una sociedad. 4uicio que
e!plica que la #atem$tica sea una asignatura indispensable en todo plan de estudios. )o es
asunto de lujo o de elección de &lites; sino que paradójicamente, debe ser isto como un
instrumento de trabajo imprescindible para la sociedad humana desde diferentes $ngulos.
7on relación al m&todo que se usa en las #atem$ticas, precisamos que es el
m&todo uniersal que indagaba 1escartes para conducir bien su razón y para perquisionar con
&!ito en la filosofía y en las ciencias. @n matem$tico utiliza el m&todo deductio y ha de
ocuparse en principio, en ense5ar su ciencia o en resoler problemas que pueden ser de poca
o mucha dificultad. 2os de poca, tienen m&todos conocidos de solución; para los de gran
dificultad puede que haya que inentar la manera de resolerlos.
#uchos han sido los filósofos y pensadores que han emitido juicios positios acerca
de la #atem$tica Lilbert, por ejemplo, describió como paradigm$tica o digna de imitar, la
http://es.wikipedia.org/wiki/Axiomahttp://es.wikipedia.org/wiki/Axiomahttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gicahttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Axiomahttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
-
8/17/2019 Matematica y Su Espistemología
12/21
actitud del matem$tico frente a una dificultad. Así tambi&n, diferentes filósofos elaboraron
sus sistemas mirando hacia la #atem$tica. -n particular, Pant quien discurrió ampliamente
acerca de la constitución misma de la #atem$tica para poder decidir sobre su pregunta si la
#etafísica es ciencia, así como de la posibilidad para la filosofía de inspirarse en los
m&todos eficientes de la #atem$tica con el fin de que en la #etafísica no se contentaran con
crecimientos, sino que persiguieran adquisiciones duraderas.
-s de consideración epistemológica la actitud del matem$tico quien desarrolla su
ciencia mediante la solución de problemas; de hecho es certera la concepción de %ilbert"
/Cuán lejos está el profano en Matemática de entender lo que hace todo el día el
matemático cuando lo considera inactivo porque el profano cree que la Matemática se
reduce a aquellas operaciones que ense!aron en su formación básica0. 'i la #atem$tica se
redujera sólo a eso, sería absurdo que e!istiera. )os percatamos entonces de cu$n
indispensables son las )ociones de Qilosofía y -pistemología para los matem$ticos en tanto
que les permite comprender el origen de su ciencia, el objeto de estudio y la din$mica de
producción del conocimiento.
2os fundamentos de la #atem$tica son primordiales en nuestras refle!iones
epistemológicas. 2a #atem$tica es la ciencia de las pautas y las relaciones. 7omo disciplina
teórica, e!plora las posibles relaciones entre abstracciones, sin importar si &stas tienen
homólogos en el mundo real. 2as abstracciones pueden ser cualquier cosa, desde secuencias
de n3meros hasta figuras geom&tricas o series de ecuaciones. 2a función de la #atem$tica
est$ en encontrar la pauta o probar que &sta e!iste o no e!iste, pero no en buscar la utilidad
que podría tener tal conocimiento cuando se deria; por ejemplo, una e!presión para el
cambio en el $rea de cualquier cuerpo regular, cuando su olumen se apro!ima a cero" los
matem$ticos no manifiestan inter&s en la concordancia entre los cuerpos geom&tricos y los
objetos físicos del mundo real.
@na línea fundamental de inestigación en las #atem$ticas teóricas es identificar en
cada campo de estudio un peque5o conjunto de ideas y reglas b$sicas a partir de las cuales
puedan deducirse, por lógica, todas las dem$s ideas y reglas de inter&s en ese campo. 2os
matem$ticos, como otros científicos, gozan en particular cuando descubren qu& partes de esa
ciencia, sin relación preia, pueden ser deriables entre sí o a partir de una teoría m$s
general. *arte del sentido de belleza, que muchas personas han percibido en esta ciencia, no
radica en hallar la m$s grande perfección o complejidad, sino al contrario, en encontrar un
-
8/17/2019 Matematica y Su Espistemología
13/21
gran ahorro y sencillez en la representación y la comprobación. A medida que las
#atem$ticas aanzan, se han encontrado m$s y m$s relaciones entre partes que se habían
desarrollado por separado; por ejemplo, entre las representaciones simbólicas del lgebra y
las representaciones espaciales de la %eometría. -stas intercone!iones hacen posible que
surjan intuiciones que deben desarrollarse en las diersas partes de la disciplina; juntas,
fortalecen la creencia en la e!actitud y unidad esencial de toda la estructura.
2a #atem$tica es tambi&n una ciencia aplicada. #uchos matem$ticos dedican sus
energías a resoler problemas que se originan en el mundo de la e!periencia. 1e igual
manera, buscan pautas y relaciones; en el proceso utilizan t&cnicas similares a las que se
emplean en esta ciencia puramente teórica. 2a diferencia es en gran medida de propósito. -n
contraste con las matem$ticas teóricas; las aplicadas, en los ejemplos anteriores, podrían
estudiar la pauta del interalo de los n3meros primos para desarrollar un nueo sistema para
codificar información num&rica, m$s que como un problema abstracto. (ambi&n, podrían
abordar el problema sobre el $reaolumen como un paso en la concepción de un modelo para
el estudio del comportamiento del cristal.
2os resultados de las #atem$ticas teóricas y aplicadas con frecuencia influyen entre
sí. A menudo, los descubrimientos de los matem$ticos teóricos tienen un alor pr$ctico, no
preisto. Algunas eces, se aprecia d&cadas despu&s. *or ejemplo, el estudio de las
propiedades #atem$ticas de acontecimientos que ocurren al azar, condujo al conocimiento
que m$s tarde hizo posible mejorar el dise5o de los e!perimentos en las 7iencias )aturales y
'ociales. *or el contrario, al tratar de solucionar el problema del cobro justo a los usuarios
del tel&fono de larga distancia, los especialistas hicieron importantes descubrimientos sobre
las matem$ticas de redes complejas. 2as matem$ticas teóricas, a diferencia de otras ciencias,
no est$n restringidas por el mundo real; pero a la larga, contribuyen a entenderlo mejor.
1ebido a su abstracción, las #atem$ticas son uniersales, lo que la hace diferente a
otros campos del pensamiento humano. (ienen aplicaciones 3tiles en los negocios, la
6ndustria, la #3sica, la Listoria, la *olítica, los deportes, la #edicina, la Agricultura, la
6ngeniería, en las 7iencias )aturales y 'ociales. -s muy amplia la relación entre las
#atem$ticas y los otros campos de la ciencia b$sica y aplicada. -llo obedece a arias
razones"
-
8/17/2019 Matematica y Su Espistemología
14/21
• 2a relación entre la 7iencia y las #atem$ticas tiene una larga historia, que data de
muchos siglos. 2a 7iencia le ofrece a las #atem$ticas problemas interesantes para
inestigar, y &stas le brindan a aqu&lla herramientas poderosas para el an$lisis de
datos.
• 2as #atem$ticas son el principal lenguaje de la 7iencia. -l lenguaje simbólico
matem$tico ha resultado ser en e!tremo alioso para e!presar las ideas científicas sin
ambig8edad.
• 2as #atem$ticas y la (ecnología tambi&n han desarrollado una relación productia
mutua. 2as #atem$ticas de las relaciones y cadenas lógicas, por ejemplo, han
contribuido considerablemente al dise5o del hardHare computacional y a las t&cnicasde programación.
Reconocemos como elemental en nuestro estudio, lo referente a la construcción
a!iom$tica de las #atem$ticas. 2as primeras teorías matem$ticas que se abstrajeron de los
problemas concretos o de un conjunto de problemas de un mismo tipo, crearon las
condiciones necesarias y suficientes para el reconocimiento de la autonomía y especificidad
de las #atem$ticas.
-l car$cter abstracto del objeto de las #atem$ticas y los m&todos de demostración
matem$tica establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se comenzara a
e!poner como una ciencia deductia, que a partir de unos a!iomas, presenta una sucesión
lógica de teoremas. 2as obras en las cuales, en aquella &poca se e!ponían los primeros
sistemas matem$ticos de denominaban +-lementos+. 'e encuentran elementos pertenecientes
a muchos autores; sin embargo, todos ellos han quedado relegados a un segundo plano tras
una de las obras #atem$ticas m$s impresionante de la historia" 2os -lementos de -uclides.+2os -lementos+, como denominaremos a esta obra a partir de ahora, est$n constituidos por
trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas. A eces se a5aden
otros dos, los libros =K y =G que pertenecen a otros autores, pero por su contenido est$
pró!imo al 3ltimo libro de -uclides.
http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/Elementos.htmlhttp://almez.pntic.mec.es/~agos0000/Elementos.htmlhttp://almez.pntic.mec.es/~agos0000/Elementos.html
-
8/17/2019 Matematica y Su Espistemología
15/21
*or otro lado, no podemos referirnos al tecnicismo de las #atem$ticas sin antes
e!aminar el concepto. (ecnicismo significa aplicar una actiidad absolutamente
determinada por la teoría. -ste paradigma metodológico utilizado por los docentes tiende a
ser m$s que un modelo constructiista, un modelo conductista inclinado a menospreciar la
habilidad que puede tener un estudiante para desarrollar determinada t&cnica. -n el ejercicio
docente sobre todo en los primeros nieles se tiende a proocar un acío en el contenido de la
ense5anza que se aleja del objetio real de la #atem$tica como asignatura.
2a defensa que hace el tecnicismo del dominio de las t&cnicas est$ poco fundamentada y
corre el peligro de caer en puros algoritmos repetitios que conducen sólo a la memorización
y al planteamiento de situaciones poco comunes. -nse5ar al alumno a utilizar la #atem$tica
significa resoler situaciones conflictias y &stas deben permitir deriar otras preguntas,
intuir ideas, descubrir nueas pistas y disponer de elementos para comprender la situación.
-n fin, lo que se quiere es llear al alumno a un enfrentamiento con la realidad, encontrar
conflictos a los cuales se les deben dar soluciones aceptables de acuerdo al conte!to. -ste
proceso implica una serie de habilidades para comprender la situación y responder de manera
coherente.
7omo emos, el tecnicismo escapa a esta realidad y tiene otras perspectias que no son
justamente el razonamiento y el uso adecuado de las herramientas cognitias para crear y
generar alternatias de solución. -l modelo docente tecnicista identifica implícitamente
ense5ar y aprender #atem$ticas con ense5ar y aprender t&cnicas algoritmias por lo cual
constituye una amenaza a las raíces de la #atem$tica que en principio fue y ser$ una ciencia
no triial. -l tecnicismo tiende a olidar los aut&nticos problemas, cuya dificultad principal
consiste en escoger las t&cnicas adecuadas para construir una estrategia de resolución. -n
este sentido puede decirse que el tecnicismo significa cierta triialización de la actiidad de
resolución de problemas.
Al igual que el tecnicismo, los docentes en su actiidad did$ctica, tienden a utilizar otras
corrientes como el teoricismo que establece los límites de aplicación y abstracción de los
conceptos matem$ticos. -n esta corriente que identifica ense5ar y aprender matem$ticas con
ense5ar y aprender teorías, /el proceso didáctico empieza, y prácticamente acaba en el instante en que el profesor ense!a0.
-
8/17/2019 Matematica y Su Espistemología
16/21
'e trata entonces de llear al sujeto aprendiz a un proceso que conllea una serie de
etapas que no, necesariamente se tiene que desarrollar en forma secuencial. 'e comienza con
una primera idea acerca de lo que se tiene y lo que se pide y, conforme aanzamos en su
resolución, nuestra comprensión del problema a modific$ndose. -l teoricismo y el
tecnicismo no establecen las articulaciones necesarias entre concepto y realidad; sino buscan
las triializaciones de los problemas mediante una descomposición en ejercicios rutinarios,
/Slo que admite no sólo la eliminación de la dificultad principal del problema sino,
incluso, su desaparición0.
-
8/17/2019 Matematica y Su Espistemología
17/21
ealuación e!perimental de las teorías e hipótesis. -n cualquier caso, la utilidad de la
#atem$tica para describir el unierso es un tema central de la filosofía de la #atem$tica.
-l estatuto, sin duda alguna, conjuntamente con los aspectos antes istos, contribuye a
darle rigor científico a la disciplina en estudio. 2a #atem$tica, como ciencia, tiene su
propio campo de estudio" $a, !,"(c"(a, a',"(ac"a, que se definen a partir de a!iomas en
que la lógica y la notación matem$tica funcionan como medios para lograrlas.
(iene un sistema de contenido $lido que son los entes abstractos, las relaciones
espaciales y cuantitatias así como la resolución de problemas. 2a #atem$tica trata de
establecer las relaciones e!actas que e!isten entre cantidades y magnitudes; y utiliza
m&todos para lograr su objetio" !ncn"(a( $a &a"a &('a( @! ,"a !8i,"! n !8i,"! ,
que difiere mucho de buscar la utilidad que podría tener tal conocimiento.
Adem$s, la #atem$tica tiene un lenguaje simbólico propio que son los n3meros, y las
ariables que resultan ser una herramienta aliosa para e!presar las ideas científicas sin
ambig8edad. -sta particularidad singular de las #atem$ticas hace que las mismas se
constituyan en el principal lenguaje de la ciencia.
2a #atem$tica, como ciencia, utiliza la colección de medidas, la hipótesis y la
predicción, ya que estos hacen uso de modelos lógico U matem$ticos así como del c$lculo. -n
esta perspectia, la #atem$tica retoma una de sus funciones la cual es proporcionar los
modelos num&ricos de acuerdo a las e!igencias de la ingeniería y la inentia.
Wa para concluir nuestro abordaje a la -pistemología de la #atem$tica, despu&s de
haber esbozado algunas ideas sobre el desarrollo epistemológico de la #atem$tica, su objeto
de estudio y fundamentación científica, no nos debe asombrar las grandes aplicaciones del
pensamiento matem$tico en las ciencias y en la tecnología. -l impacto que la #atem$tica ha
ejercido sobre la historia y la filosofía, realmente, ha sido trascendental en todos los nieles.
2a #atem$tica como ciencia resulta ser una obra de arte intelectual, que proporciona una
intensa luz en la e!ploración del unierso y ha tenido desde su inicio grandes repercusiones
pr$cticas en el desarrollo de la humanidad. -n su aprendizaje se pueden utilizar con gran
proecho sus aplicaciones, su historia, los aportes de los matem$ticos m$s c&lebres, sus
relaciones con la filosofía o con otros aspectos de la mente humana.
http://es.wikipedia.org/wiki/Universohttp://es.wikipedia.org/wiki/Filosof%C3%ADa_de_la_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=L%C3%B3gico-matem%C3%A1tico&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Universohttp://es.wikipedia.org/wiki/Filosof%C3%ADa_de_la_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=L%C3%B3gico-matem%C3%A1tico&action=edit&redlink=1
-
8/17/2019 Matematica y Su Espistemología
18/21
2os matem$ticos, al igual que otros científicos, gozan en particular cuando descubren
qu& partes de esa ciencia, sin relación preia, pueden ser deriables entre sí. W tal como ya
hemos e!puesto, parte de la belleza que muchas personas han percibido en la ciencia
#atem$tica no radica en hallar la m$s grande perfección o complejidad, sino por el contrario,
en encontrar un gran ahorro y sencillez en la representación y la comprobación.
-n el aanzar continuo de la #atem$tica, se han encontrado m$s relaciones entre partes
que inicialmente se habían desarrollado aisladamente. @n íido ejemplo de ello, son las
representaciones simbólicas del lgebra y las representaciones espaciales de la %eometría.
-n el incesante recorrido de la 7iencia #atem$tica, se aistan como perfiles de inestigación
futura" identificar en cada campo de estudio, un peque5o conjunto de ideas y reglas b$sicas a
partir de las cuales pueda deducirse, por lógica, todas las dem$s ideas y reglas de inter&s en
ese campo. *or los motios antes e!presados, coincidimos con el pensar de 2uis Antonio
'antaló cuando apunta" "Conviene que todos los ciudadanos entren en contacto con la
verdadera Matemática, que es método, arte y ciencia, muy distinta de la calculatoria, que
es técnica y rutina#$
'e hace necesario dejar claro que las #atem$ticas juegan un papel central en la cultura
moderna y se hace, sumamente, imprescindible la comprensión b$sica de ellas en la
formación científica, ya que su esencia se encuentra tanto en su belleza como en su reto
intelectual. *ara otros profesionales, incluidos científicos e ingenieros, el alor principal de
las #atem$ticas estriba en la forma en que se aplican a su propio trabajo.
2a #atem$tica es principalmente un proceso de pensamiento que implica la construcción
y aplicación de una serie de ideas abstractas relacionadas lógicamente. -stas ideas, por lo
general, surgen de la necesidad de resoler problemas en la ciencia, la tecnología y la ida
cotidiana que an desde cómo modelar ciertos aspectos de un problema científico complejo
hasta cómo hacer el balance de un talonario de cheques. 7erramos el refle!ionar sobre esta
disciplina haciendo nuestro el pensamiento de :ordas 1esmulin / %in Matemáticas no se
penetra hasta el fondo de la filosofía sin filosofía no se llega al fondo de las Matemáticas
sin las dos no se ve el fondo de nada0.
-
8/17/2019 Matematica y Su Espistemología
19/21
CONCLUSIÓN
1espu&s de haber esbozado algunas ideas sobre el desarrollo epistemológico de la
#atem$tica, su objeto de estudio y fundamentación científica, no nos debe asombrar
las grandes aplicaciones del pensamiento matem$tico en las ciencias y en latecnología. -l impacto que la #atem$tica ha ejercido sobre la historia y la filosofía,
realmente, ha sido trascendental en todos los nieles. 2a #atem$tica como ciencia
resulta ser una obra de arte intelectual, que proporciona una intensa luz en la
e!ploración del unierso y ha tenido desde su inicio grandes repercusiones pr$cticas
en el desarrollo de la humanidad. -n su aprendizaje se pueden utilizar con gran
proecho sus aplicaciones, su historia, los aportes de los matem$ticos m$s c&lebres,
sus relaciones con la filosofía o con otros aspectos de la mente humana.
2os matem$ticos, al igual que otros científicos, gozan en particular cuando
descubren qu& partes de esa ciencia, sin relación preia, pueden ser deriables entre sí.
W tal como ya hemos e!puesto, parte de la belleza que muchas personas han percibido
en la ciencia #atem$tica no radica en hallar la m$s grande perfección o complejidad,
sino por el contrario, en encontrar un gran ahorro y sencillez en la representación y la
comprobación.
-n el aanzar continuo de la #atem$tica, se han encontrado m$s relaciones entre
partes que inicialmente se habían desarrollado aisladamente. @n íido ejemplo de
ello, son las representaciones simbólicas del lgebra y las representaciones
espaciales de la %eometría. -n el incesante recorrido de la 7iencia #atem$tica, se
aistan como perfiles de inestigación futura" identificar en cada campo de estudio,
un peque5o conjunto de ideas y reglas b$sicas a partir de las cuales pueda deducirse,
por lógica, todas las dem$s ideas y reglas de inter&s en ese campo. *or los motios
antes e!presados, coincidimos con el pensar de 2uis Antonio 'antaló cuando apunta"
"Conviene que todos los ciudadanos entren en contacto con la verdadera
Matemática, que es método, arte y ciencia, muy distinta de la calculatoria, que es
técnica y rutina#$
-
8/17/2019 Matematica y Su Espistemología
20/21
'e hace necesario dejar claro que las #atem$ticas juegan un papel central en la
cultura moderna y se hace, sumamente, imprescindible la comprensión b$sica de ellas
en la formación científica, ya que su esencia se encuentra tanto en su belleza como en
su reto intelectual. *ara otros profesionales, incluidos científicos e ingenieros, el alor principal de las #atem$ticas estriba en la forma en que se aplican a su propio trabajo.
2a #atem$tica es principalmente un proceso de pensamiento que implica la
construcción y aplicación de una serie de ideas abstractas relacionadas lógicamente.
-stas ideas, por lo general, surgen de la necesidad de resoler problemas en la ciencia,
la tecnología y la ida cotidiana que an desde cómo modelar ciertos aspectos de un
problema científico complejo hasta cómo hacer el balance de un talonario de cheques.
7erramos el refle!ionar sobre esta disciplina haciendo nuestro el pensamiento de
:ordas 1esmulin / %in Matemáticas no se penetra hasta el fondo de la filosofía
sin filosofía no se llega al fondo de las Matemáticas sin las dos no se ve el fondo de
nada0.
-
8/17/2019 Matematica y Su Espistemología
21/21
BIBLIOGRA5ÍA CITADA
=. GASCÓN, 4. D!,a(($$ d!$ cnci#i!n" #a"!#)"ic : an)$i,i, did)c"ic. =D.
I. GASCÓN, 4. E$ci%n d! $a did)c"ica d! $a Ma"!#)"ica c# di,ci&$ina
ci!n"4fica. =T.
BIBLIOGRA5ÍA CONSULTADA
=. ÁLAREZ Qulgencio. An"$g4a d! "!8", &a(a an)$i,i, : (!f$!8i%n. 7urso de
-pistemología y educación. Vctubre, I>>T.
I. BUNGE, #ario. La ci!ncia , #"d : fi$,f4a.
D. POLA %eorge. C%# &$an"!a( : (!,$!( &('$!#a,. #&!ico. (rillas.
=T=.
2. PROECTO *=61. Aanc!, !n !$ cnci#i!n" ci!n"4fic. -ditorial Larla.
#&!ico. =T
G. PROECTO *=61. Ci!ncia cnci#i!n" &a(a "d,. -ditorial Larla.
#&!ico, =Y.
top related