matemática actuarial básica

Técnica del Valor PresenteMatemática Básica de

ActuaríaPresentación para la

clase MATH 6300 - Actuaría

Dr. Balbino GarcíaPor:

Maritsa MenéndezRosa E. Padilla Torres15 de mayo de 2012

Introducción• Este capítulo trata de la segunda de dos técnicas para el

análisis de planes de pensiones.

• Esta técnica considera un numero de personas aseguradas en un tiempo determinado y calcula los valores probables actuales de los salarios asegurados futuros, y de los beneficios de pensiones pagaderas a los miembros del conjunto y sus sobrevivientes.

• Esta técnica está especialmente adaptadas a la valoración de los esquemas de  pensiones generalmente financiado en su totalidad.

• Este no es el caso de los esquemas de fondos parciales de las pensiones del seguridad social , para lo cual la técnica de proyección es la técnica de valoración adecuada.

• Sin embargo, la técnica del valor presente puede proporcionar una visión financiera adicional y por lo tanto puede ser un complemento útil en la técnica de proyección.

• Las aproximaciones discretas a las funciones de conmutación continuas se desarrollarán con el fin de permitir la aplicación práctica de lateoría.

• Se extenderá a los beneficios de incapacidad y los beneficios de los sobrevivientes.

• Sin embargo, se pueden adoptar ciertas simplificaciones. En primer lugar, la variación en eltiempo de las bases económicas no se tomaran en consideración.

• Sin embargo, se pueden adoptar ciertas simplificaciones. En primer lugar, la variación en el tiempo de las bases económicas no se tomaran en consideración.

• Si se asume que ϒ(t), β(t) y δ(t) son constantes, que i y j son las tasas de interés, y  se introducen los factores de descuento correspondiente se obtiene:

• Segundo, la densidad de los factores de dc y db se toman como unidad de todas las edades. Por último, sólo una edad de jubilación r será modelada, b es la edad mas joven.

• Las fórmulas de valor presente se desarrollaran para el caso sencillo donde la pensión (de jubilación o incapacidad) se acumula en el 1 por ciento de la salario total por año de servicio. 

• La pensión para los viudos/as se denota por la  proporción RWP de la pensión actual o la pensión potencial de la persona fallecida, y cada pensión de orfandad se denota por la proporción de ROP de la pensión del difunto.

Función de conmutación especial

• Una serie de funciones especiales de conmutación a base de genero son necesarias para aplicar la técnica del valor presente.

• Las funciones basadas en una tabla de servicio activo se calcularán a una tasa de interés i, mientras que los basados en las otras tablas se calculan a una tasa j.

• Funciones basadas en la tabla de servicio activo (b ≤ x ≤ r)

• Funciones basadas en la tabla de servicio activo (b ≤ x ≤ r).

• Funciones basadas en la tabla de vida de los incapacitados (b ≤ x < w).

• Funciones basadas en la tabla de la disminución doble para las viudas o viudos (y * ≤ y < w).

• Funciones basadas en la tabla de servicio activo y la tabla de incapacidad (b ≤ x < r).

• Funciones basadas en la tabla de servicio activo y la tabla de disminución de viudas o viudos (b ≤ x <r).

• Funciones basadas en la tabla de servicio activo, la tabla de incapacidad y la tabla de disminución  doble para viudas o viudos (b ≤ x <R).

• Funciones basadas en la tabla de vida para los jubilados 

(r ≤ x <w) .

• Las conmutaciones ya mencionadas y las funciones de anualidades se refieren a salarios y pensiones a pagar de forma continua y es adecuada si los pagos se hacen con frecuencia, por ejemplo semanal. 

• Ellos pueden ser ajustados con mayor exactitud a cualquier plan de pago específico.

Expresiones para los posibles valores actuales de salarios y beneficios asegurados

• Las expresiones siguientes se refieren a un grupo de sexo determinado, con edad x en la fecha de evaluación y se refieren a una unidad de salario asegurado en esa fecha. Las expresiones para huérfanos no están indicados, pero se pueden derivar de las mismas forma que para las viudas o viudos.

• Valor presente para salarios asegurados (b ≤ x < r).

• Valor presente para pensiones de retiro

donde p(r, x) denota la pensión de retiro de ese grupo por edad x como una proporción del salario final.

• Valor presente de pensiones por incapacidad (b ≤ x < r)

donde p(t, x) denota la pensión por incapacidad como una proporción del salario para una persona x si la incapacidad es adquirida en la edad (t, t+1).

• Valor presente de las pensiones de las viudas / viudos (b ≤ x <r)

• Valor presente de las pensiones de las viudas / viudos (la muerte después de la incapacidad) (b ≤ x <r)

Desarrollo de expresiones para una fórmula simple de pensión • Se ilustra a continuación una fórmula simple

cuando la pensión acumula  el 1% del sueldo total por año. Si ps (x) denota el pasado servicio en la fecha de evaluación,

donde

donde

donde

  Cálculo de la prima promedio

• La aplicación del método del valor presente se ilustra en esta sección para calcular el promedio de las primas de la API y AP2 respectivamente para la primera población, los nuevos entrantes, la prima promedio general, GAP y por un nuevo régimen de pensiones. 

• Para simplificar sólo se considera un sexo.

• Se debe entender que en la práctica, los resultados para los machos y hembras tienen que ser combinados.

• Suponer que Ac(x, 0) denota la población de la edad inicial x en la fecha de evaluación y s(x, 0) el promedio del salario asegurado de esta población.

• Además, pr(x) denota la proporción de los nuevos entrantes a la edad x, suponiendo que es el mismo para todas las generaciones de nuevos entrantes y na(t) el número de nuevos ingresos en el año t (t - l, t), y se asume que comienza a mitad de año.

• Sea sn(x) el promedio del salario asegurado de una generación estándar de los nuevos entrantes que entran en la fecha de evaluación.

• Las primas promedio de la población inicial y nuevos entrantes esta dada por lo siguiente:

• Si las expresiones anteriores se abrevian como

y

• La prima promedio general esta dada por

donde k esta dada por

Apéndice I

Matemática Actuarial Básica

• La actividad aseguradora está difundida en el mundo entero, son de uso corriente los seguros de automóviles, incendios, robos, vida, etc.

• Esta actividad responde a la incertidumbre que sienten los individuos ante ciertas situaciones que pueden provocar distintos daños, tanto materiales como personales.

Introducción

• El miedo a la posibilidad de que ocurran dichos acontecimientos se intenta eliminar mediante la compra de un seguro que compensará al asegurado en el caso de producirse algún daño.

• La base de esta actividad radica en la existencia de un equilibrio entre la prestación que hará la compañía de seguros y la contraprestación que ella recibe del asegurado. 

Introducción

• En sus comienzos, el seguro era una forma de solidaridad entre los miembros de una comunidad.

• Consistía en un fondo o bolsa en la que todas las personas depositaban parte de su dinero.

• Con el capital que acumulaban entre todos, se pagaban los daños que sufrían algunos de ellos.

Antecedentes históricos

• La Ciencia Actuarial tal como hoy se concibe comienza en el siglo XVII.

• Durante este periodo las necesidades comerciales dieron lugar a operaciones que acarreaban un interés compuesto, los seguros marítimos eran algo habitual y el álgebra de las rentas vitalicias comenzaba su andadura.

Antecedentes históricos

• Las primeras tablas son debidas a John Graunt (1662).

Antecedentes históricos

• En 1693 Edmund Halley, matemático ingles, publicó un famoso documento describiendo la construcción de tablas de vida completas a partir de la hipótesis de estacionariedad de la población, así como el método de valoración de las rentas vitalicias, que es en esencia el mismo que se utiliza hoy en día.

Antecedentes históricos

• Las tablas de Halley se utilizaron por la mayoría de las compañías de seguros inglesas creadas durante el siglo XVIII.

Antecedentes históricos

Interés compuesto

• El interés puede ser considerado como la recompensa pagada por un prestatario por el uso de un activo, que se refierecomo el capital o principal, que pertenece a la entidad crediticia. 

• Se supone que tanto el capital e interés se miden en unidades de una moneda determinada.

• El interés puede ser simple o compuesto. 

Interés compuesto

• Si un capital de unidades de C se presta a un interés simple en la tasa de i por año para n años, la suma acumulada al final del período está dada por:

Interés simple

niCAS 1

• Si, por otro lado, la suma es colocada a interés compuesto, la suma acumulada está dada por:

• En el concepto de interés compuesto subyace el avalúo y evaluación de inversiones.

Interés compuesto

niCAS 1

• Es basado en periodos anuales.

• La relación entre e i se expresa como:

Interés compuesto

ie 1log ie 1

• El símbolo a menudo es utilizado para denotar el recíproco de 1+i; así:

• Al final del periodo, tenemos:

Interés compuesto

v

ei

v1

1

nnn kekvikPV 1

• Valor probable presente:

Interés compuesto

npkePPV

Anualidades financieras

• Anualidad financiera: cantidad de dinero que es pagadera al inicio de cada ano por un término de n años.

• Valor presente de la anualidad:

• Anualidad de vida:

Anualidades financieras

v

vvvva

nn

n

1

1...1 12

nnava

• Valor acumulado de una anualidad: suma de los valores acumulados de los pagos individuales.

• Valor acumulado de anualidad inmediata:

Anualidades financieras

n

nnn

naiiiiS 11...11 21

• Anualidades pagada en m cuotas de forma homogénea:

• donde

Anualidades financieras

nmm a

i

ian )()(

n

mm am

iaann )()(

111)( mimi m

• Valores actuales correspondientes a los valores acumulados:

Anualidades financieras

nean

1

1

neS

n

• Tablas de vida: mecanismo para la exposición sobre la mortalidad humana.

• Está representada por la función indicando los sobrevivientes a una edad exacta x .

• Está sujeta a reducción única, la muerte.

• El alcance de x es (0, ).• Función auxiliar:

Tablas de vida

xl

1 xxx lld

• Taza de mortalidad central a una edad x

• Taza de mortalidad de la taza de vida

• Probabilidad de que una persona muera dentro de un periodo de un año:

Tablas de vida

xm xq

1

2

xx

xx ll

dm

x

x

x

xx m

m

l

dq

2

2

• Complemento de taza de mortalidad de la tabla de vida:

• Representa la probabilidad para que una persona de edad x sobreviva a una edad x+1.

Tablas de vida

xx

xx ql

lp

11

• Fuerza de mortalidad a cualquier edad:

Tablas de vida

x

x

xx d

dl

l

l

• Fuerza de mortalidad a la edad x+0.5:

Tablas de vida

x

xx q

q

5.015.0

• Promedio de la vida futura:

• La expectativa completa es aproximada por:

Tablas de vida

x

xxx l

lle

...21 dyl

le

x yx

x 10

5.00 xeex

• Son derivadas mediante la combinación de funciones de tablas de vida con las de interés compuesto.

• Son utilizadas para el cálculo de anualidades de vida y funciones de seguros.

Funciones elementales de conmutación

• Funciones de conmutación de nivel 1 (0 ≤ x < ω):

• Funciones de conmutación de nivel 2:

• Funciones de conmutación de nivel 3– Sx y Rx se obtienen a través de la realización de

sumas similares a las del segundo nivel.

Funciones elementales de conmutación

xxx vlD 1 x

xx vdC

xyyx DN

xyyx CM

Anualidades de vida y seguros

• Anualidad de vida debida: serie de pagos de una unidad al inicio de cada año, pagable siempre y cuando a una edad x está vivo.

• Valor probable de anualidad:

• Anualidad de vida inmediata:

Anualidades de vida y seguros

x

xx D

Na

x

xx D

Na 1

• Anualidad de vida pagadera o de inmediato:

Anualidades de vida y seguros

m

maa x

mx 2

1)(

m

maa x

mx 2

1)(

• Anualidad de vida continua probable:

• Donde:

Anualidades de vida y seguros

x

xx

d

Na

21

xxx

NNN

• Anualidad de vida temporal:

Anualidades de vida y seguros

x

nxxnx D

NNa

:

x

nxm

D

D

m

maa

nxnx1

2

1::::

)(

• Anualidad de vida conjunta:

Anualidades de vida y seguros

t

t y

ty

x

txxy v

l

l

l

la

• Anualidad final de sobreviviente:

Anualidades de vida y seguros

xyyyx aaa /

• Seguro de vida entera:

Anualidades de vida y seguros

x

xx D

MA

• Seguro de capital:

Anualidades de vida y seguros

x

nx

x

nxxnx D

D

D

MMA

|:

• Seguro de investidura:

Anualidades de vida y seguros

21

xxx

MMM

Tablas de disminución múltiple

• Es similar a la tabla de vida.

• Su diferencia es que se encuentra más de una disminunción para ser considerados.

• Existen tazas dependientes e independientes.

Tabla de disminunción múltiple

• Tazas independientes:– Se aplican cuando una disminución actúa por sí

sola.

• Tazas dependientes:– Usada en casos donde la disminución ocurre

con una o más disminuciones.

• Doble disminución:– Se generalizan a tres decrementos.

Tabla de disminunción múltiple

• Tazas dependientes:– Sea lx el número de sobrevivientes a una edad

x en la tabla de disminución doble.– Tazas dependientes correspondientes a la

disminución:

– Tazas independientes correspondientes:– Tazas dependientes en términos de tazas

dependientes:

Tabla de disminunción múltiple

x*

x*

x x

2* 1 x

xx 2* 1 x

xx

• Funciones auxiliares

Tabla de disminunción múltiple

xxx ld *

xxxx ddll 1

xxx ld *

)1)(1()1( **1 xxxxxxx lll

• Funciones auxiliares

Tabla de disminunción múltiple

321* xxxx

xx

)1)(1)(1()1( ***1 xxxxxxxxx lll

• Tabla de servicio activo

Tabla de disminunción múltiple

axlrxb

axl

xq xi

Gracias por su atención

http://rosaepadilla.blogspot.com

• http://antropicos.blogspot.com/2012/04/azarquiel-el-gran-astronomo-de-al.html

• http://sph.bu.edu/otlt/lamorte/EP713/Web_Pages/EP713_History/EP713_History4.html

• http://www.ilo.org/gimi/gess/RessShowRessource.do?ressourceId=778

•  Actuarial mathematics of social security pensions

Referencias