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UNIDAD ACADÉMICA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

ASIGNATURA: CÁLCULO DOCENTE: MARÍA VICTORIA ACEVEDO E.

UNIDAD TEMÁTICA Integrales

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS CRITERIOS DE EVALUACIÓN

• Aplicar los conceptos básicos y las

técnicas de integración en la solución

de integrales y analiza las integrales

en la modelación y resolución de

problemas propios de las ciencias

empresariales y económicas

• Desarrolla integrales de funciones de variable real aplicando los

diferentes métodos de integración.

• Determina la antiderivada de funciones sencillas utilizando las

reglas básicas de integración para dar solución a ejercicios y

problemas reales en el campo de las ciencias económico-

administrativas.

• Plantea y resuelve problemas del contexto de las ciencias

empresariales y económicas mediante el uso de la integral

definida.

• Determina el uso de la integral impropia en problemas

económicos.

INFORMACIÓN

INTEGRALES

En diferentes situaciones, necesitamos encontrar el área para poder, por ejemplo, estimar

costos de fabricación. Si se quiere producir un lote de camisas, necesitamos saber el área de

cada camisa, para poder estimar cuanta tela debemos comprar, si queremos reparar un

puente necesitamos saber qué área tiene para saber cuántos materiales se requerirán.

Supongamos que necesitamos conocer el área de la Figura 1 para un trabajo específico,

usted es el encargado de hallarla. ¿Cómo la calcularía?

FIGURA 1. GRÁFICA DE UN ÁREA DESCONOCIDA

Las áreas de figuras conocidas como cuadrados, círculos, triángulos, rectángulos… se pueden

hallar fácilmente a través de fórmulas… pero ¿se han preguntado como descubrieron esas

fórmulas?

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER

GUÍA DE ESTUDIO No. 11

Áreas:

Bueno, el problema de la Figura 1 se puede resolver si por ejemplo empezamos a llenar esa

figura con rectángulos, hallamos el área promedio de cada rectángulo (base x altura) y

sumamos cada una de esas áreas halladas.

Entre más pequeños sean estos rectángulos, más precisa será la estimación del área de esta

curva, Figura 2.

FIGURA 2. MÉTODO DE LOS RECTÁNGULOS PARA ESTIMAR EL ÁREA BAJO LA CURVA

A pesar de que este proceso da una aproximación bastante acertada, es muy tedioso.

Para resolver este tipo de problemas (realmente tiene más aplicaciones, pero este es el más

ilustrativo) nacieron las integrales.

Integral de f(x), se representa así: ∫ 𝑓(𝑥)

Las integrales son la función inversa de las derivadas, el símbolo de integral, parece una “S”

alargada, esto es así pues representa un límite de sumas sucesivas.

Veamos la definición teórica de integral:

π*r^2

B *h /2 B X h

La definición de integral DEFINIDA nos indica que, para poder hallar una integral, se necesita

que halla una función continua definida en un intervalo cerrado (como en el cálculo de Máx

y Min, ¿recuerdan?). Esos números del intervalo cerrado [a, b], constituyen los límites de

integración, “a” límite inferior y “b” límite superior, se supone que el límite superior es mayor

que el inferior. El símbolo “dx” no tiene significado en sí, solo indica que se está integrando con

respecto a la variable “x”. Este tipo de integrales darán como resultado un número o expresión

concreta.

Ahora, no siempre vamos a tener integrales definidas en un intervalo específico. Cuando esto

sucede llamamos a este tipo de integrales: Integrales INDEFINIDAS. Este tipo de integrales dan

como resultado una función o familia de funciones.

Las integrales indefinidas se caracterizan por que su función lleva una constante de

integración llamada “C”

Bueno, pero y ¿cómo calculamos las integrales?, el proceso para calcular integrales se

conoce como integración, y como habíamos dicho antes es la función inversa de la

derivación, es decir que, al integrar una función, si derivo su resultado obtendré la función

inicial que iba a integrar (teorema fundamental del cálculo).

Reglas básicas de integración

1. Integral de una constante

2. Integral de una potencia

Estas reglas también son conocidas como las “primitivas” de integración, en la siguiente tabla,

se encuentran más primitivas. Sin embargo, no vamos a usar las funciones trigonométricas:

Ejemplo 1

Calcule las siguientes integrales:

1. ∫ 5 𝑑𝑥

2. ∫ 𝑥2 𝑑𝑥

3. ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥

4. ∫ 2𝑒𝑥 𝑑𝑥

5. ∫(3𝑥2 + 8𝑥3)𝑑𝑥

6. ∫1

𝑥 𝑑𝑥

7. ∫ 6𝑥𝑑𝑥

Solución

1. ∫ 5 𝑑𝑥 = 5𝑥 + 𝑐

2. ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥3

3+ 𝑐

3. ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑐

4. ∫ 2𝑒𝑥𝑑𝑥 = 2𝑒𝑥 + 𝑐

5. ∫(3𝑥2 + 8𝑥3)𝑑𝑥 =3𝑥3

3+

8𝑥4

4+ 𝑐 = 𝑥3 + 2𝑥4 + 𝑐

6. ∫1

𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 + 𝑐

7. ∫ 6𝑥𝑑𝑥 =6𝑥

𝑙𝑛6+ 𝑐

Ejercicio 1:

Halle las siguientes integrales indefinidas

1. ∫(10𝑥4 − 5𝑥2 + 12𝑥3)𝑑𝑥

2. ∫5

𝑥− 10𝑒𝑥 + 3 𝑑𝑥

3. ∫(√𝑥 − 4𝑥2/3)𝑑𝑥

4.

Ahora, derive las respuestas obtenidas. ¿Que puede observar y concluir?

Problemas de valor inicial

Hemos visto que al integrar obtenemos una “familia de funciones” de una derivada.

¿Cómo saber cuál es la función exacta a la que corresponde esta derivada?

Para esto se necesita conocer un valor especifico de esa función, que se conoce como

valor inicial, es decir, se necesita un punto especifico de la gráfica para conocer por

donde esta pasando.

Ejm.

Encuentre

Encuentre F si𝑓´´(𝑥)=12𝑥2+6𝑥−4 y f(0)=4 y f(0)=1

Ejercicio

Un fabricante determina que el costo marginal es 𝟑𝒒𝟐 − 𝟔𝟎𝒒 + 𝟒𝟎𝟎 dólares por unidad

cuando se producen q unidades. El costo total de producción de las primeras 2 unidades

es $900. ¿Cuál es el costo total de producción de las primeras 5 unidades?

Propiedades de la integral definida

1. Si el límite de integración superior (b) es menor que (a), entonces:

2. Si el límite superior y el límite inferior son iguales, entonces:

3. Si la función, solo es una constante, entonces:

4. Si hay una suma o resta de funciones, entonces:

5. Si hay una constante multiplicando una función

Como vemos las integrales definidas operan bajo las mismas reglas que las indefinidas,

solo que al final NO tienen la constante “C”, sino que se evalúan en los límites que tienen

definidos.

Veamos como

Ejemplo 2

Calcule las siguientes integrales definidas:

1. ∫ 5 𝑑𝑥6

3

2. ∫ 𝑥22

0𝑑𝑥

3. ∫ 2𝑒𝑥4

1𝑑𝑥

4. ∫ (3𝑥2 + 8𝑥3)𝑑𝑥2

1

Solución

1. ∫ 5 𝑑𝑥6

3= 5𝑥|3

6 = 5 ∗ (6) − 5 ∗ (3) = 5(6 − 3) = 15

2. ∫ 𝑥22

0𝑑𝑥 =

𝑥3

3|

0

2

=23

3−

03

3=

8

3

3. ∫ 2𝑒𝑥4

1𝑑𝑥 = 2𝑒𝑥|1

4 = 2𝑒4 − 2𝑒1 = 103,76

4. ∫ (3𝑥2 + 8𝑥3)𝑑𝑥 =2

1(𝑥3 + 2𝑥4)|1

2 = (23 − 13) + 2(24 − 14) = 8 − 1 +

2(16 − 1) = 7 + 30 = 37

Ejercicio 2:

Escriba límites de integración y vuelva a hallar las integrales del ejercicio 1

BIBLIOGRAFÍA

• Matemáticas para Administración y Economía, 12va ed. Ernest F. Haeussler Jr,

Richard

S. Paul, Richard J. Wood. Pearson Prentice Hall, México. 2008.

• Cálculo de una variable, 6ta ed. James Stewart. Cengage Learning, México.

2008.

• Cálculo. E. Purcell, D. Varbeg y S. Rigdon. 9na edición. Pearson education.

México, 2007.