longitud de un arco
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7/24/2019 longitud de un arco
1/13
1
LONGITUD DE UN ARCO
: longitud del arco comprendido entre y La longitud del arco, de la curva
, comprendido entre las abscisas
= y
=
viene dado por la integral definida:
= 1 DEMOSTRACIN DE LA FRMULA:
= == 1
=1
-
7/24/2019 longitud de un arco
2/13
2
lim = lim 1
=lim 1 lim =1
=1 =1
= 1 EJEMPLOS:1) Hallar la longitud del arco de la funcin: = en el intervalo , .
Grfica: Derivando:
= 1= 1
Integrando: = 1 = 1 1 = 2
=2
=2 20 =22 0 = 22
-
7/24/2019 longitud de un arco
3/13
3
Comprobacin:1.- Geometra Analtica0;1 2; 1
= =
=2 01 1 =4 4 =8 = 22 2.- Trigonometra =
=2 2 =8 = 22
2) Hallar la longitud del arco de la funcin = en el intervalo para ;.Grfica: Derivando:
= =23 = 23
Integrando: = 1 = 1 23
= 1 49
-
7/24/2019 longitud de un arco
4/13
4
= 9 4
9
= 13 9 4 = 9 43
= 3
6
= 118 = 118 23 271
= 9 4
= 9 23 = 6 =6
= 127 9 4 271 = 127 927 4
127 91 4
= 127 783,66 46,87 =736,7927 = 27,29
-
7/24/2019 longitud de un arco
5/13
5
3) Hallar la longitud de la curva = del punto donde = hasta el punto donde = .Grfica: Derivando:
= 1= 1 =1
=23 1
23
=1 Integrando: = 1
= 1 1
= 1 1
= 1 1 = 1 1 1
=
1
-
7/24/2019 longitud de un arco
6/13
6
=
=32 118 =32 132 18
=3238
=98
4) Obtenga la longitud de la curva = del punto donde = hasta elpunto donde = .Grfica: Derivando: =13 3 1
=32 16
Integrando: = 1
=
1 32
16
-
7/24/2019 longitud de un arco
7/13
7
= 1 94 12 136
= 94 12 136 Factorando: 2 32 16 =12 = 32 16
= 32 16 =32
32 16
1241
= 13
4
1
=4 13 4113 1 = 8 23 1 13 = 7 13
=223
-
7/24/2019 longitud de un arco
8/13
8
5) Halle la longitud de la curva: = desde el punto ; hasta el punto ; .NOTA: Este ejercicio no se puede resolver como los dems, entonces se procede a
despejar y se resuelve, para hallar la longitud de la curva: 6 = 3desde = 1hasta = 2.Grfica: Derivando:6 = 3
= 36
= 6 36 =16 12 =16 312 1
=
2 1
2
Integrando: = 1
= 1 2 12 = 1 12 = 1 2 14
= 4 2 14
-
7/24/2019 longitud de un arco
9/13
9
= 2 14 Factorando: 2 1 = 1 = 14 = 12
=12 =12 13 121 =12 {13 212 13 1 11}
=12 831213 1 =12 176 =1712
6) Hallar la longitud de la curva
= si
;
.
Grfica: Derivando:= = 2
Integrando: = 1
= 1 2
-
7/24/2019 longitud de un arco
10/13
10
= 1 4 Cambio de variables:
= 1 4 tan2 sec 2 = 1 4 tan 4 sec 2
=12 1 tan sec
= 0 tan = 20 = tan0 = 0 tan = 2 =tan 2 sec = 2sec
2 =
=12 t a n = 2 12 = tan1 =4
=12 sec sec =12 sec
Calculamos la integral:sec
=sec sec = sec = sec
= sec tan
= sec
= tan.= tan sec tan sec tan = tan sec tan sec
= tan sec sec
1 sec
= tan sec sec sec sec = tan sec sec secsec sec = tan sec sec
2 sec = tan sec ln|tan sec |
-
7/24/2019 longitud de un arco
11/13
11
sec =12 tan sec ln|tan sec |Reemplazando:
=12 sec =1212 tan sec ln|tan sec |40
=14 (1 2) ln1 2 0 1 ln|0 1|
=14 2 ln1 2 0,5738967873
Observacin:
7) Hallar la longitud de la curva = si ; .Grfica: Derivando:=
=
Integrando: = 1 = 1
= 1
Cambio de variables:
= 1 +
= 1 + Dividiendo:
= 1 = 12 = 2
= 1 =
= 0 = 1 = 1 1 =2 = 1 = 1 = 1 =1
-
7/24/2019 longitud de un arco
12/13
12
= 1 1 1 +
= 1 1
1 1 +
Fracciones Parciales:
= 1 12 1 12 1 + = 12 1+ 1+
= 12 ln 1 ln 1 1
2
= ln 1 1 1 2
1 1 1= 1 11 1 1= 1 1 1 1
1 1 1= 12 1 12 1
1 1 1= 12 1 12 1
1 = 1 1 = 1 1 = 0 1 1 = 12
= 1 1 = 1 1 0 = 12
= 1 2 ln 1 11 1 ln 2 12 1 2,003497112
8) Demostrar que la longitud de la circunferencia es =
=
= = = =
=
=12 2=
= 1
= 4 1 2 2 = 4 1 22 2 = 4 2 2 22 2
-
7/24/2019 longitud de un arco
13/13
13
= 4 2 2 Cambio de variables:
= 4
2 2sen2 cos
= 4 1sen cos = 4 coscos
cos =
= cos = cos
= 0 0 = sen =sen10 = 0
= = sen =sen11 =2
= 4 = 4 20 = 4 2 0 = 4 2 = 2
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