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LAS FRACCIONES : INTERPRETACIONES Y SENTIDOS

En la escuela primaria las fracciones se introducen a partir de la división de unidades entreun número entero (se divide un pastel, una pizza, una naranja, una barra de chocolate, etc.).Conservando este contexto, en el presente estudio se explora el potencial didáctico para elaprendizaje de la noción de fracción a partir de un tipo de problema prácticamente ausenteen la enseanza escolar en este nivel! la división de una fracción de unidad entre un entero.

El estudio constitu"e una experiencia de micro#in$enier%a didáctica! con base en un análisispreliminar, se diseó una secuencia de ocho situaciones didácticas &ue se aplicó en un $rupode &uinto $rado de primaria. 'na parte del $rupo de alumnos lo$ró desarrollarprocedimientos diversos para resolver la división de una fracción unitaria entre un entero,inclu"endo un al$oritmo. a división de fracciones no unitarias, en cambio, resultóconsiderablemente más dif%cil se documentan todos estos procesos. as di*cultades &uesur$ieron, principalmente debidas a los cambios de unidad de referencia de las fracciones,su$ieren &ue, efectivamente, el estudio del tipo de problema planteado podr%a favorecer unacomprensión más profunda de la noción de fracción como partes de unidad en este nivelescolar.

a intención de as fracciones. 'na propuesta constructivista para su enseanza "aprendizaje es lo$rar &ue el docente las adapte a los intereses " necesidades de los alumnos" &ue +stos sean capaces de usar los conocimientos ad&uiridos para resolver al$unosproblemas de la vida, as% como &ue lle$uen a poseer los elementos indispensables &ue leauxilien a mejorar su aprovechamiento escolar.

  Como una propuesta didáctica, los principios &ue deben re$ir la enseanza de lasfracciones, se$ún . tree-and, son!

 I. o importante es la /construcción/ de las operaciones con las fracciones por los propiosalumnos. Construcción &ue se basa en la propia actividad del alumno, como estimación,desarrollo del sentido del orden " tamao, etc+tera.

 Ejemplos:

a) Estimar la altura en metros de una casa, un árbol, una montaa, etc.

b) Colocar las fracciones 012 , 13 , 415 , 14 en los espacios se$ún lo indican los si$nos!

  II. 6alorar las actividades de los estudiantes as% como los m+todos " procedimientos &ueutilizan para resolver problemas, aun&ue di*eran de la formalidad propia de la materia.

 III. 7ue el alumno sea capaz de formular sus propias re$las " $eneralizaciones para ad&uirirsu conocimiento.

 IV. e deben utilizar los saberes previos del escolar, como base para empezar la secuenciade la enseanza de fracciones (ideas relativas a mitades, tercios, cuartos, etc., los procesosbásicos de dividir, repartir,8)

9nterpretaciones de las fracciones! la intención es &ue sean las opciones adecuadas &uea"uden a conse$uir en los alumnos una mejor comprensión conceptual (operativa) de la ideade fracción.

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 El esquema es:

1) La rela!"# par$e%$o&o ' la me&!&a:

# :epresentaciones en contextos continuos " discretos

# ;ecimales

# :ecta num+rica

() La ra!"#:

# Cociente

# En la probabilidad

# ;ivisión indicada

# En los porcentajes

# :azón# Como operador

La rela!"# par$e%$o&o ' la me&!&a.

ediante la fracción nos vamos a dar cuenta de la relación &ue existe entre undeterminado número de partes " el número total de partes.

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En la recta num+rica, a la fracción a1b se le asocia un punto situado sobre ella, donde cadase$mento unidad se divide en /b/ partes (o en un múltiplo de b) con$ruentes, de las &ue setoma /a/. @ambi+n se puede considerar como un caso particular de la relación parte#todo.

e destaca esta interpretación "a &ue a&u% impl%citamente se realiza la asociación de unpunto con una fracción.

a recta num+rica tambi+n sirve para representar e interpretar a las fracciones comomedida.

  e selecciona una unidad de medida (se$mento) donde se ha$an subdivisionescon$ruentes.

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  En esa interpretación, la noción de par ordenado de números naturales toma muchaimportancia.

 e espera &ue con los si$uientes ejemplos se pueda clari*car esta interpretación de lasfracciones.

 a) ;ados los conjuntos

a relación entre los trián$ulos de x " z es de 41! (4!)

a relación entre los trián$ulos de z " x es de 14! (!4)

b) En las *$uras $eom+tricas!

es 315 de > (3!5)

> es 513 de (5!3)

Las ra!o#es e# la proa!l!&a&

as fracciones en fenómenos azarosos pueden considerarse para la interpretación donde seestablezca la =comparación= todo#todo entre el conjunto de casos favorables " el conjunto decasos posibles, por ejemplo!

 En una bolsa ha" J bolas ne$ras " 3 blancas.

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Bajo esta interpretación, las fracciones son vistas en el papel de transformaciones, es decir/.al$o &ue actúa sobre una situación (estado) " modi*ca/.

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Este m+todo, con otros mejores, fueron posteriormente ad&uiridos por los $rie$os. Es sabido&ue los maestros $rie$os enviaban a sus disc%pulos a recorrer las tierras e$ipcias a *n denutrirse de los conocimientos &ue estos pose%an en el campo de las ciencias.

En todo el papiro aparecen descomposiciones de una fracción como la representadaanteriormente, al$unas de estas son correctas " otras falsas. ;e esto se deduce &ue no ha"un procedimiento $eneral para hacer tales descomposiciones, lo &ue evidencia &ue tambi+nusaban el tanteo en al$unas situaciones. El documento tambi+n presenta tablas, entre ellasha" una de descomposiciones de todas las fracciones de la forma 1n#0 comprendidas entreel 0 " el 4D.Es decir todas las fracciones de denominador impar desde 13 1DJ.

Los !#os ' las ra!o#es

os chinos conoc%an mu" bien las operaciones con fracciones ordinarias, hasta el punto dehallar el m%nimo común denominador de varias fracciones. Como era su costumbreasi$naban un rol femenino " otro masculino a los elementos &ue componen la fracción. erefer%an al numerador como Tel hijoU " al denominador como T la madreU. El +nfasis$eneralizado en toda la cultura china sobre los principios del "in$ " el "an$ hacia fácil se$uir

las re$las para manipular fracciones. >ás importante &ue estas curiosidades era, noobstante, la tendencia a la decimalización de las fracciones en China. a adopción de unsistema decimal en pesos " medidas dio como resultado &ue se impusiera el hábito decimalen el manejo de las fracciones..

Los a!l"#!os e# la #o!"# &e ra!"#

os babilónicos eran mu" expertos en cálculos. Ellos usaron un sistema mixto en la lecturanum+rica (posicional " aditivo) " en la base ( 5A " 0A).

a base 5A di*cultaba la memorización de las tablas " por ello editaron $ran número de

tablas. ;e estas tablas se deducen &ue la división entre dos enteros acostumbraban apresentarla como la multiplicación de un entero por una fracción, recurriendo al inverso.

La or/a#!-a!"# &e los puelos a par$!r &el S. 2VI

< *nes del 02AA de la era cristiana hab%a sur$ido la necesidad de hacer cálculos en todos lospueblos. Era la +poca en &ue se desarrolla la industria de los metales, la cerámica, lostejidos era la +poca en &ue las primeras má&uinas daban lu$ar a una $ran producción+poca de los primeros bancos. Zacer cálculos "a no era un lujo, deb%a convertirse en elpatrimonio de todos. ?ero no se pod%a ensear a todos el manejo de las fracciones, ni sepod%a pretender, en esos tiempos, &ue tambi+n el más simple empleado supiese veri*car al*nal de su jornada &ue la pa$a recibida era exacta, debiendo hacer cálculos con una

moneda, cu"o submúltiplo era el sueldo " el dinero &ue recib%a era una fracción de +ste.ur$e as% la noción primitiva del número decimal.

El punto, como si$no de separación entre las unidades enteras " decimales, aparece porprimera vez en la

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 [uan Mapier, un $ran aristócrata escoc+s &ue vivió entre 022A " 050J, introdujo la comadecimal como elemento de separación tan usual entre los pueblos latinos. Mo obstante lospueblos de habla in$lesa en al$ún momento han incorporado el puntito en lu$ar de la coma.

Fu#&ame#$a!"# pe&a/"/!a

;esde el momento en &ue los e$ipcios valoraron la necesidad de incorporar las fracciones la

matemática ha transitado la bús&ueda de la precisión " la exactitud.

En el ámbito educativo esta bús&ueda pretende atravesar el camino de la estimación &uepermita!

  ?redecir situaciones probables

  6alorar la razonabilidad de los resultados.

  ?roponer respuestas aproximadas de manera rápida cuando son más convenientes&ue las exactas o +stas no se pueden emitir.

  Conjeturar, resolver, valorar, modi*car "

Sacilitar el sistema de numeración " la comprensión de la medida.

El aor&aje

?ara introducir con +xito la noción de fracción " construir el concepto " lue$o establecer laoperatividad es necesario destacar &ue no se debe ensear aisladamente sino &ue ha" &ueconsiderar los contenidos trabajados con anterioridad en los números naturales " considerarlos saberes previos &ue poseen los alumnos. ?ara &ue los alumnos puedan entender cuál es

el sentido " la función de las fracciones es necesario plantearles situaciones en &ue +stasad&uieran distintos si$ni*cados. :esulta mu" enri&uecedor plantear actividades donde elalumno ad&uiera $radualmente los si$ni*cados &ue esta ad&uiere. Es decir!

  Como fracción en un reparto.

  Como medida.

  Como parte de un todo discreto.

  Como porcentaje.

  Como razón.

  Como probabilidad de &ue ocurra un suceso.

En el primer " se$undo ciclo de la E\B el trabajo con las fracciones " números decimalesesta vinculado con sus usos sociales, como ser situaciones de reparto o de medida. Estaetapa tiene &ue estar mu" bien trabajada desde lo manipulativo, o sea con mu" buen apo"ode materiales concretos " $rá*cos. Mo se debe descuidar el calculo mental con fracciones

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sencillas " la estimación de resultados. 'na vez &ue los alumnos aprendieron las fraccionesde uso cotidiano se desarrollará lo relativo a los otros si$ni*cados.

Existen en los textos de didáctica de la >atemática una $ran variedad de propuestas paratrabajar situaciones de reparto " medida. Mo obstante es interesante incorporar jue$os &uelos nios consideren atractivos, entre los cuales se encuentran los naipes.

En los pa%ses de habla hispana el jue$o de los naipes esta mu" enraizado " contienen unaserie de elementos matemáticos mu" importantes, &ue se pueden poner más de mani*estocon al$unas variaciones. @eniendo en cuenta los jue$os más populares, podemos ver &ue entodos ellos ha" uno o varios de los aspectos si$uientes!

  Cálculo de probabilidades.

  :ecuento de posibilidades.

  Clasi*caciones.

  Prdenaciones.

  Pperaciones aritm+ticas.

i potenciamos al$unos de los elementos mencionados anteriormente, tendremos, con lasmismas re$las o mu" parecidas, jue$os de cartas con unos componentes mu" interesantespara los alumnos " para el aprendizaje de la matemática.

< modo de ejemplo consideremos el jue$o de naipes &ue se conoce como Escoba de 02,ampliamente difundido, " &ue consiste esencialmente en retirar cartas de la mesa &ue

sumen 02. i se cambia la propuesta " el diseo de los naipes en las &ue las cartasrepresenten fracciones " el objetivo para retirar de la mesa sea &ue estas sumen 0 seobtiene la escoba fraccionada. i deseamos hacer clasi*caciones, se puede utilizar naipescon cinco representaciones de un mismo número! fracciones, decimales, porcentuales,$ra*co como parte de una *$ura " elementos como parte de un conjunto de estos.

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H?or &u+ utilizar matemática recreativaI

H?ara &u+ hacerloI

Za" varios aspectos a considerar entre los &ue se pueden apuntar!

  a introducción de elementos lúdicos como motivación.

  a matemática recreativa como recurso para la práctica de rutinas " el trabajo sobreconceptos.

  a resolución de recreaciones como reto individual.

  as recreaciones " los jue$os para la práctica de los procedimientos propios de laresolución de problemas.

  a resolución de jue$os matemáticos " la cooperación, frente a la práctica de los

 jue$os " la competición.

El @rabajo áulico

?ara *nalizar se representa la propuesta de una actividad lúdica con naipes. os docentespueden hacer una variación de las mismas " ajustar el jue$o a los objetivos &ue deseaalcanzar con los alumnos. ?ara la confección de los naipes se puede armar el diseo sobreuna hoja de dibujo M] 5. ue$o fotocopiar, plasti*car " proceder al corte de los naipes. Estoes sólo una su$erencia dado &ue los docentes siempre encuentran $ran variedad demateriales para armar sus recursos de acuerdo a las posibilidades económicas " temporales.

Esoa ra!o#a&a

Oje$!+o: 

?otenciar la operatividad de la suma de fracciones.

  6isualizar la representación $rá*ca del mecanismo de la suma de fracciones.

  ?otenciar el calculo mental.

3a$er!ales

 [ue$o de naipes compuesto por 4 cartas distribuidas de la si$uiente forma!

D cartas con la fracción 010

5 cartas con cada una de las fracciones 015, Y, 013.

3 cartas de cada una de las fracciones 210,01, J10, 13,314, 215, 0010.

Las ar$as &ee# $e#er !#&!a&a la ra!"# ' u# /r45o que la represe#$e.

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Re/las &el 6ue/oe reparten las cartas. Cada ju$ador recibe dos cartas " se dejan otras 4 más boca arribasobre la mesa.?or turno, cada ju$ador tiene &ue conse$uir &ue entre una de sus cartas " una o varias delas &ue ha" sobre la mesa sumen la unidad.i el ju$ador levanta todas las cartas de la mesa hizo escoba. i el ju$ador no puede levantaro no ha" cartas sobre la mesa, tendrá &ue dejar una sobre +sta " pasar.Cuando los ju$adores ha"an empleados sus dos cartas se distribu"e otra tanda " en elreparto de la ^ltima tanda si sobra al$una carta se la deja en la mesa.%#Corbalán Sernando, \air%n [os+ >ar%# >adrid#Edinumen.