la transformada z y sus aplicaciones al análisis de sistemas lti

Transformadas Z racionales

Flores Barranco Diego Alberto Leona Fonseca DiegoMartínez Falcón AlejandroMuñoz Hernández Marco AntonioPineda Molina Christopher IsaacTorres Espinosa Daniel

Polos y Ceros• Una familia muy importante de transformadas z es aquella en la que X(z) es una

función racional.

• Los ceros de la transformada z son los valores de z para los cuales X(z)=0.

• Los polos de la transformada z son los valores de z para los cuales X(z)=

• Si X(z) es una función racional

• Si y , podemos evitar las potencias negativas de z sacando términos en común se obtiene:

• Dado que N(Z) y D(Z) son polinomios en z, se pueden expresar en forma de productos como

• Donde G=b0/a0.

• Así se sabe que X(z) tiene:• M ceros en z = z1, z2, …,zM

• N polos en z = p1, p2, …,pN

• │N - M│ ceros (si N > M) o polos ( si N < M) en el origen z=0.• Existe un cero en z = , si X( ) = 0 y existe un polo en z = , si X( )

= .

Si contamos los ceros y polos, incluyendo los que están en z=0 y en el infinito, se encuentra que X(z) tiene exactamente el mismo numero de polos que de ceros.

Ejemplo 1Determine el diagrama de polos y ceros de la siguiente señal:

Solución:Según la tabla podemos saber que

Entonces se puede deducir:

Por lo tanto X(z) tiene un cero en Z1=0 y un polo en p1= a, como se muestra en la figura. Donde el polo en p1= a no está incluido en la ROC, dado que la transformada z no converge en el polo.

Ejemplo 2Determinar la transformada z y la señal correspondiente al diagrama de polos y ceros de la figura

Solución:Existen dos ceros (M=2) en Z1 =0, Z2 = r cos y dos polos (N=2) en , . Sustituyendo estas relaciones en :

Se obtiene que:

Sintetizando se obtiene la siguiente ecuación:

Y en la tabla podemos encontrar la siguiente relación:

Y se obtiene, entonces que:

Localización de los polos y comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales

El comportamiento de las señales causales depende de si los polos de la trasformada están contenidos en la región |Z| < 1, en |Z| > 1, o en la circunferencia |Z| = 1. Dado que la circunferencia |Z| = 1 tiene de radio 1, se conoce como circunferencia unidad.

Si una señal real tiene una transformada z con un solo polo este tiene que ser real.

Si se multiplica por nos queda

Donde para Z=0 tenemos un cero y para Z= a tenemos un polo sobre el eje real.

El comportamiento de la señal con respecto a la localización del polo, en relación con la circunferencia unidad.

Las señales causales fuera de su circunferencia unidad no están acotadas, causan desbordamientos en los sistemas digitales y en general, deben evitarse.

Una señal causal real con un polo doble tiene la forma

Una señal con un polo doble sobre la circunferencia unidad no esta acotada .

Una señal causal real con un polo doble tiene la forma

de la Tabla 3.3 se tiene

ROC:

y su comportamiento se muestra en la Fig. 3.12.

nunanx n

21

1

1

az

azzX az

La Figura 3.13 muestra el caso de un par de polos conjugados.

Finalmente, la Fig. 3.14 muestra el comportamiento de una señal causal con un par de polos dobles conjugados sobre la circunferencia unidad.

En resumen, las señales reales causales con polos reales simples o pares de polos simples complejos conjugados que están dentro de o sobre la circunferencia unidad, están siempre acotados en amplitud.

El comportamiento de una señal en el tiempo está fuertemente relacionado con la localización de los polos en relación con la circunferencia unidad.

Todo lo dicho sobre señales causales se aplica también a sistemas LTI causales, dado que su respuesta impulsional es una señal causal.

Si el polo de un sistema esta fuera de la circunferencia unidad, la respuesta impulsional del sistema no esta acotada y el sistema es inestable.

La Función de Transferencia de un LTI

• La Función de Transferencia H(z) correspondiente a un sistema lineal e invariante es la relación constante que existe entre las transformadas Z de la salida y de la entrada.

Aplicamos la transformada Z de ambos lados

El sistema se denomina Sistema de polos y ceros, con N polos y M ceros, debido a la presencia de polos, un sistema de polos y ceros es un sistema IIR.

Si para entonces la ecuación se reduce a:

En es te caso contiene M ceros, cuyos valores están determinados por los parámetros del sistema y un polo de orden M en el origen de z=0. Dado que el sistema contiene M polos triviales en z=0 y m ceros no triviales, se le denomina sistema de todos ceros. Y se denomina sistema FIR (Finite Impulse Response) o sistema de media móvil (sistema MA).

Por otra parte si para la función del sistema se reduce a:

En este caso, H(z) contiene N polos, cuyos valores quedan determinados por los parámetros del sistema {} y un cero en del orden N en el origen z=0; la función contiene solo polos no triviales y el sistema se denomina sistema de todos polos. Debido a la presencia de los polos, la respuesta impulsional del sistema es de duración infinita y se trata por tanto de un sistema IIR.

A continuación se presentara la manera en que se puede usar la transformada Z para modelar la relación entre las secuencias de entrada y de salida de un procesador de tiempo discreto para condiciones iniciales nulas.

El primer paso consiste en reemplazar cada una de las secuencias de muestras que aparecen en esta ecuación por su transformada z. La secuencia de salida y[n] se reemplaza por Y(z), la secuencia de entrada x[n] por X(z) y la secuencia de entrada desplazada un intervalo de muestreo x[n-1] por X(z), obteniéndose:

Agrupando términos y usando las reglas del álgebra ordinaria, se obtiene:

A H(z) se la denomina función de transferencia del procesador. La función de transferencia H(z) es una propiedad del sistema que caracteriza la forma en que el sistema modifica la secuencia de entrada para producir la secuencia de salida. Una vez especificada H(z) es posible encontrar la transformada z de la secuencia de salida para una entrada dada.

Bibliografía • Tratamiento digital de señales, tercera edición, John G. Proakis.• http://www.ehu.es/Procesadodesenales/tema4/t83.htm• http://www.dea.icai.upco.es/ramon/Libro_CD/CD2.pdf