la lógica de la complejidad. cuando uno y uno no suman dos

La lógica de la complejidadCuando uno y uno no suman dos

Ricardo Alvira

Contenidos Parte I: algunas definiciones preliminares:

noción de “Complejo” noción de ‘grado de verdad’ noción de casi-descomponibilidad

Parte II: dos tipos de conceptos: certidumbre vs incertidumbre Revisión desde la teoría clásica de conjuntos Revisión desde la teoría de la comunicación

Parte III: conclusiones y aplicaciones

Parte I_ Algunas ideas preliminares

Complejo Etimológicamente proviene de

‘complexus’: aquello que esta tejido en conjunto

Utilizamos el término complejo para designar fenómenos en los que “el todo es diferente a la suma de las partes”

No-complejo = independiente Lo contrario a complejo no es sencillo,

sino independiente; i.e.: aquello que no está tejido.

Consideramos que un fenómeno no es complejo cuando “el todo es igual a la suma de las partes”

Complejidad=no linealidad En términos matemáticos, la complejidad o

no de un aspecto de un fenómeno, se determina en función de la relación que mantiene con sus aspectos constituyentes:

Lineal [independiente]

No lineal [complejo]

Complejidad=no linealidad O expresado de otra manera:

Lineal [independiente] es decir, 1+1=2

No lineal [complejo] es decir 1+1≠2

Linealidad y no linealidad no son excluyentes Un mismo fenómeno puede combinar

aspectos complejos y no complejos. Por ejemplo, una compra de acciones: El coste de compra de las acciones varia

linealmente; es proporcional al numero de acciones que compramos.

La evolución posterior del precio de las acciones no es lineal; es caótica.

La utilidad que obtenemos de las plusvalías obtenidas no es lineal; tiene marginalidad decreciente

Grado de verdad Surge en el marco de la lógica difusa / teoría

de conjuntos difusos [Zadeh, 1965] para hacer frente a conceptos que pueden ser verdad parcialmente al referirlos a un objeto

La lógica clásica solo admite dos valores de verdad: verdadero o falso; blanco o negro

La lógica difusa admite ‘grados de verdad’; equivale a aceptar que además de lo blanco y lo negro, existen infinitas tonalidades de gris

Conceptos casi descomponibles Idea implícita en la propuesta de L-Fuzzy Sets

[Goguen, 1967]: el grado de verdad acerca de una afirmación, puede normalmente considerarse como una combinación de diversos grados de verdad acerca de afirmaciones parciales.

Por ejemplo, para decidir en qué grado soy feliz, puedo necesitar evaluar en que grado estoy feliz en tres aspectos: salud, amor y dinero

Conceptos casi descomponibles El grado de verdad de un concepto global

debe determinarse a partir del grado de verdad de diferentes conceptos parciales, que interactúan entre ellos de manera no lineal, es decir, de manera “compleja”

Por ello, los vamos a llamar “conceptos complejos casi descomponibles”

Conceptos casi descomponibles Existen numerosos conceptos complejos

“casi” descomponibles: Democracia, Sostenibil idad, depresión,

felicidad, talento, calidad, y un largo etc… Por mayor continuidad, vamos a seguir con el

ejemplo de la Felicidad, que admite una descomposición sencilla como:

FelicidadAmor y Salud y Dinero

Parte II- Dos tipos de conceptos

Lógica y dualidad Poder afirmar la verdad de algo exige poder

afirmar su falsedad; para que algo pueda ser cierto debe poder ser falso.

Cualquier cualidad que podamos referir a un objeto implica que existe la contraria

Lo cierto se opone a lo falso, lo bajo a lo alto; lo probable a lo improbable, la Felicidad a la Infelicidad…

Dos tipos de conceptos Cuando revisamos cada concepto junto con

su complementario, vemos una diferencia importante entre ambos:

Para ser ‘felices’ necesitamos tener amor salud y dinero

Para ser ‘infelices’ nos basta con que nos falte ‘salud, amor o dinero’

Dos tipos de conceptos Desde la Teoría de conjuntos podemos

modelar lo anterior como que:

Felicidad ∩ ∩

Infelicidad ∪ ∪

Lo primero es una intersección de conceptos; lo segundo una unión.

Dos tipos de conceptos Y en términos de calculo, su formulación es

considerable diferente:

, ,

, ,

Supone igualar la felicidad al valor mínimo de los parámetros, y la Infelicidad al valor máximo de sus complementarios.

Aparece una ASIMETRIA entre ambos tipos de conceptos

Dos tipos de conceptos Sin embargo, la modelización anterior no

proporciona un valor satisfactorio en muchas situaciones:

Por ejemplo, una situación tal que Salud=0,2; Amor=0,8; dinero=0,8, es preferible a otra en la que: Salud=0,2; Amor=0,2 y dinero=0,2

El valor mínimo de los tres no se ha modificado, pero el ‘grado de felicidad’ se ha reducido sin duda desde la primera a la segunda situación. Las operaciones de unión e intersección de la teoría de conjuntos no resuelven la no linealidad.

Dos tipos de conceptos Además, no pueden explicar porque existe

esta diferencia entre ambos tipos de conceptos

Para explicarlo y proponer formulaciones correctas de agregación, deberemos acudir a la Teoría de la Comunicación [Shannon, 1949]

Teoría de la Comunicación Propone medir la información recibida en

una comunicación a partir de la cantidad de incertidumbre que nos ha permitido eliminar su recepción..

Se relaciona con la improbabilidad de recibir un determinado mensaje, que a su vez depende del contexto

Teoría de la Comunicación Un mensaje muy esperado apenas nos

proporciona información.

Un mensaje muy poco esperado nos proporciona mucha información.

Teoría de la Comunicación Por ejemplo; un compañero nos ofrece por un

precio decirnos cual va a ser el ‘tema’ que nos van a preguntar en un examen.

¿Estaríamos dispuestos a pagar lo mismo si en total se han explicado 2 temas en clase que si se han explicado 200?

En ambas situaciones, recibiremos el mismo mensaje; no dirán el tema que se va a preguntar. Sin embargo, en el segundo caso, seguramente estaremos dispuestos a pagar más por esa información. ¿Por qué?

Teoría de la Comunicación La primera forma de entenderlo desde la idea

de dualidad; revisando tanto lo que sabemos que va a ser como lo que sabemos que no va a ser en ambas situaciones. En ambos casos habremos adquirido la certeza de que un tema ‘X’ va a ser preguntado, pero…; en el primer caso sabremos que 1 tema no va a

ser preguntado. en el segundo sabremos que 199 temas no van

a ser preguntados. En el segundo caso el mensaje recibido nos

permite negar 198 afirmaciones más; obviamente, hemos recibido más información.

Teoría de la Comunicación Otra forma de entenderlo es a partir de la

idea de probabilidad: En el primer caso, la probabilidad de acertar

con el tema es un 50%. En el segundo, es un 0,5%.

En el segundo es más improbable que acertemos si no sabemos cual es el tema que va a salir. Se asemeja a una apuesta en la que cuanto mas improbable es ganar, mayor es la recompensa.

Teoría de la Comunicación A partir de lo anterior, para medir la cantidad

de información que nos suministra un mensaje, la Teoría de la Comunicación propone la formula de la Entropía [Shannon, 1949]:

∗ log

Teoría de la Comunicación Además, la teoría de la comunicación

propone otras dos formulas interesantes:

La entropía condicional

, ∗,

La información común;

Grado de Certidumbre vs Grado de Incertidumbre Para las formulaciones que vamos a

proponer nos apoyamos en tres ideas:

La Entropía mide la incertidumbre La información común nos permite medir la

coincidencia entre dos objetos Si uno de los objetos es conceptual, la

información común nos permite medir la concordancia entre un objeto y un significado.

Grado de Certidumbre vs Grado de Incertidumbre Podemos util izar la formula de la información

común para medir el grado de coincidencia entre un concepto global y aquellos parciales en los que lo hemos descompuesto.

Vamos a realizarlo para dos conceptos muy especiales: x=‘certidumbre’ No-x=‘incertidumbre’

A los valores que calculamos los l lamaremos Grado de Certidumbre y Grado de Incertidumbre respectivamente

Grado de Certidumbre vs Grado de Incertidumbre Grado de certidumbre

, % % p ∗∗ log

p ∗ log

Grado de incertidumbre

, % % 1 p ∗∗ log

p ∗ log

Grado de Certidumbre vs Grado de Incertidumbre El Grado de Certidumbre resulta el valor

complementario del Grado de Incertidumbre.

Sus representaciones graficas resultan complementarias

Grado de Certidumbre vs Grado de Incertidumbre Si continuamos con el ejemplo de la

Felicidad, obtendríamos que:

0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,901,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

C¬c[I]%Cc[I]%

0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,901,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

SaludAmor

Dinero

Parte III_ Conclusiones y aplicaciones

Certidumbre vs Incertidumbre Las conclusiones son de enorme

importancia porque… en la realidad uno y uno casi nunca suman

dos vemos que uno y uno pueden sumar ‘más

o menos’ que dos el resultado no es aleatorio, sino que sigue

una regla que se relaciona con el significado de los conceptos medidos.

Certidumbre vs Incertidumbre Cuando un concepto implica certidumbre,

uno y uno suman menos que dos

Cuando un concepto implica incertidumbre, uno y uno suman mas que dos.

Certidumbre vs incertidumbre La importancia de estos dos significados se

vuelve enorme: Casi todos los conceptos comparten algo de

‘significado’ con certidumbre o con incertidumbre, y con ello las cuestiones que hemos revisado debe ser aplicadas al medirlos.

Al haber realizado las formulaciones a partir de la formulación de la Entropía, las conclusiones son interpretables tanto en términos de significado [sujeto] como en términos físicos [objeto]

Conceptos que implican certidumbre En términos de significado implican las

siguientes cualidades: Control Predictibilidad Conocimiento Deseabilidad

En términos físicos [termodinámica] implican alejamiento del equilibrio térmico, es decir, organización.

Conceptos que implican incertidumbre En términos de significado implican las

cualidades opuestas: Ausencia de Control, Impredictibilidad, Des-conocimiento No-deseabilidad

En términos físicos [termodinámica] implican acercamiento al equilibrio térmico, es decir, desorganización.

Posible aplicaciones Teoría de la Decisión:

Las decisiones se toman en función de la ‘utilidad’ que se obtiene de diferentes cursos de acción

La utilidad se suele valorar de una manera similar a la descomposición lógica planteada.

La utilidad es un concepto que implica alejamiento del equilibrio [acción] o control; es decir, certidumbre

La agregación de la información para el calculo de la utilidad global debe seguir las formulas de los conceptos que implican certidumbre.

Posible aplicaciones Teoría de Sistemas:

Existen numerosos fenómenos que son interpretables como sistemas: ecosistemas, empresas, ciudades, uniones internacionales, …

Las propiedades emergentes se refieren a conceptos que implican alejamiento del equilibrio térmico [autoorganización y estructuras disipativas] o certidumbre.

La agregación de la información para el calculo del grado de emergencia de diferentes propiedades en los sistemas debe seguir las formulas de los conceptos que implican certidumbre.

Otras posibles aplicaciones Determinación del grado de verdad de

cualquier proposición difusa que refiere un concepto casi descomponible a un objeto.

Admite muchísimos conceptos que en la actualidad son difíciles de medir: Depresión Dificultad de realizar una tarea Talento, Grado en que un sistema político es

democrático, etc..

ALVIRA, RICARDO [2014] Una Teoría Matemática de la Sostenibilidad y el Desarrollo

Sostenible Una Teoria Unif icada de la Complejidad

BOOLE, GEORGE [1854] An Investigation of The Laws of Thought, on which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities

GOGUEN, J. A. [1967] “L-Fuzzy Sets”. Journal of Mathematical Analysis and Applications 18, 145-174

SHANNON, CLAUDE [1948] A Mathematical Theory of Communication

ZADEH, LOFTI A. [1965] “Fuzzy Sets”. Information and Control, 8, 338-353 (1965)

Bibliografía

Eso es todo, muchas gracias por su atención !!! Cualquier comentario será bienvenido

ricardo.alvira@gmail.com

Se pueden consultar otros documentos del autor en

https://independent.academia.edu/Alvira