la actividades trigo 5° - baixardoc
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Tr i g o n o m e t r í aActividades
Editorial
Quinto grado de Secundaria
TrigonomeTría
Libro de acTividades
QuinTo grado de secundaria
coLección inTeLecTum evoLución
© Ediciones Lexicom S. A. C. - Editor RUC 20545774519 Jr. Dávalos Lissón 135, Cercado de Lima Teléfonos: 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 Fax: 330 - 2405 E-mail: ventas_escolar@edicioneslexicom.com www.editorialsanmarcos.com
Responsable de edición: Yisela Rojas Tacuri
Equipo de redacción y corrección: Josué Dueñas Leyva / Christian Yovera LópezMarcos Pianto Aguilar / Julio Julca VegaÓscar Díaz Huamán / Kristian Huamán RamosSaby Camacho Martinez / Eder Gamarra Tiburcio
Jhonatan Peceros Tinco
Diseño de portada: Miguel Mendoza Cruzado / Cristian Cabezudo Vicente
Retoque fotográfico: Luis Armestar Miranda
Composición de interiores: Lourdes Zambrano Ibarra / Natalia Mogollón Mayurí Carol Clapés Hurtado / Roger Urbano Lima Miguel Lancho Santiago Gráficos e Ilustraciones: Juan Manuel Oblitas / Ivan Mendoza Cruzado
Primera edición 2013Tiraje: 12 000
Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del PerúN.º 2013-12013ISBN: 978-612-313-084-8Registro de Proyecto Editorial N.º 31501001300690
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,sin previa autorización escrita del editor.
Impreso en Perú / Printed in Peru
Pedidos:Av. Garcilaso de la Vega 978 - Lima.Teléfonos 331-1535 / 331-0968 / 332-3664E-mail: ventas_escolar@edicioneslexicom.com
Impresión:Aníbal Paredes Editor S.A.C.Calle San Carlos, mz. B lote 5, urb. Santa Marta, Lima, ATERUC 20538732941
Este libro se terminó de imprimir en los talleres gráficos de Aníbal Paredes Editor S.A.C.Calle San Carlos, mz. B lote 5, urb. Santa Marta, Lima, ATERUC 20538732941
La coLección inTeLecTum evoLución para Secundaria ha sido concebida a partir de los lineamientos pedagógicos establecidos en el Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular, además se alinea a los patrones y estándares de calidad aprobados en la Resolución Ministerial N.º 0304-2012-ED.La divulgación de la coLección inTeLecTum
evoLución se adecúa a lo dispuesto en la Ley 29694, modificada por la Ley N.º 29839, norma que protege a los usuarios de prácticas ilícitas en la adquisición de material escolar.El docente y el padre de familia orientarán al estudiante en el debido uso de la obra.
ContenidoTemas Páginas
PRIMERAUNIDAD
Sistemas de medición angularAplicamos lo aprendido Practiquemos
68
Sector circularAplicamos lo aprendidoPractiquemos
1012
Razones trigonométricas de ángulos agudosAplicamos lo aprendidoPractiquemos
1517
Resolución de triángulos rectángulosAplicamos lo aprendidoPractiquemos
2022
Maratón matemática 25
SEGUNDAUNIDAD
Ángulos verticales y horizontalesAplicamos lo aprendido Practiquemos
2729
Razones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitudAplicamos lo aprendido Practiquemos
3234
Reducción al primer cuadranteAplicamos lo aprendido Practiquemos
3739
Circunferencia trigonométricaAplicamos lo aprendido Practiquemos
4143
Maratón matemática 46
TERCERAUNIDAD
Identidades trigonométricasAplicamos lo aprendido Practiquemos
4850
Ángulos compuestosAplicamos lo aprendido Practiquemos
5254
Ángulos múltiplesAplicamos lo aprendido Practiquemos
5658
Transformaciones trigonométricasAplicamos lo aprendido Practiquemos
6062
Funciones trigonométricasAplicamos lo aprendido Practiquemos
6466
Maratón matemática 69
CUARTAUNIDAD
Funciones trigonométricas inversasAplicamos lo aprendido Practiquemos
7173
Ecuaciones trigonométricasAplicamos lo aprendido Practiquemos
7678
Resolución de triángulos oblicuángulosAplicamos lo aprendido Practiquemos
8082
Secciones cónicasAplicamos lo aprendido Practiquemos
8587
Límites y derivadas de funciones trigonométricasAplicamos lo aprendido Practiquemos
9294
Maratón matemática 96
Unidad 1
ReflexionaRecuerda
Arquímedis de Siracusa (287 a. C.-212 a. C.)Nació y falleció en Siracusa (Sicilia). Las mayores contribucio-nes de Arquímedes fueron en Geometría. Desarrolló métodos anticipados de cálculo integral 2000 años antes de Newton y Leibniz. Arquímedes era un nativo en Siracusa, Sicilia y estu-dió en Alejandría, volviendo enseguida a su patria. Dedicó su genio a la Geometría, Mecánica, Física e Ingeniería. Su geo-metría es una geometría de la medida. Efectúa cuadraturas de superficies planas y curvas. Escribió varias obras, las cuales se han ordenado según la época en que fueron escritas:
1. Esfera y cilindro. 2. Medida del círculo. 3. Gnoides y esferoides. 4. Espirales. 5. Equilibrio de los planos y sus centros de gravedad. 6. Cuadratura de la parábola. 7. El arenario. 8. Cuerpos flotantes. 9. Los lemas. 10. El método.
Arquímedes demostró que la superficie de una esfera es cua-tro veces la de uno de sus círculos máximos. Calculó áreas de zonas esféricas y el volumen de segmentos de una esfera. De-mostró que “El área de un casquete esférico es igual a la super-ficie de un círculo que tiene por radio la recta que une el centro del casquete con un punto de la circunferencia basal”. El pro-blema al cual le atribuía gran importancia era el de demostrar que “El volumen de una esfera inscrita en un cilindro es igual a 2/3 del volumen del cilindro”. Como posterior homenaje se colocó una esfera inscrita en un cilindro. Asimismo Arquímedes demostró que la superficie de esta esfera era también los 2/3 de la superficie del cilindro.Es tal vez su trabajo sobre Medida del círculo el más interesan-te. Trata de la rectificación de la circunferencia y el área del círculo. Arquímedes es el primero que hizo un intento verdade-ramente positivo sobre el cálculo de pi(p) asignándole un valor
entre 3 3y7110
7010 .
El método que empleó consiste en calcular los perímetros de los polígonos regulares inscritos y circunscritos a un mismo círculo.
• El verdadero heroísmo consiste en sersuperioralosmalesdelavida.
• El hombre superior busca en sí mismotodo loquequiere; elhombre inferior lobuscaenlosdemás.
• Elhombresuperiorsecultivaasímismopara ganar respeto propio. Si no estácontentoconesto,seperfeccionaparahacerfelices a otros y si aúnno está contentocon eso, continúa perfeccionándose paraconferir paz y prosperidad a todo elmundo.
• Tenerun ideal es teneruna razónparavivir. Es también un medio para vivirunavidamásampliaymáselevada.
¡Razona...!
¿Qué letra continúa en la siguiente sucesión?
L; U; M; D; M; T; J; ...
Halla: x + y + z
A) S B) O C) N
D) C E) D
Aplicamos lo aprendido
6 Intelectum 5.°
TEMA 1: Sistemas de medición angular
1 Del gráfico, calcula x.
2x − 10° 30° − 4x
3x
A) 20° B) 30° C) 60°
D) 40° E) 50°
2 Del gráfico, calcula q.
18θ°
30θg
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
3 Calcula x, si se sabe que:
30 3 °x rad rad2
906
p p+ = -` j
A) 5° B) 4° C) 7°
D) 6° E) 3°
4 Convierte a radianes: ''810 000
p
A) rad5
4 B) rad2
3 C) rad3
2
D) rad4
5 E) rad7
3
5 Se sabe que: C S
R
C S
C S32 2+
+=
-
+
Si C, S y R son los sistemas de medidas para un mismo
ángulo, halla la medida del ángulo en radianes.
A) 2 rad B) 16 rad C) 15 rad
D) 3 rad E) 8 rad
6 Dos ángulos complementarios miden (3x)° y x
3
20 gc m .
Halla el valor de x.
A) 15 B) 10 C) 9
D) 16 E) 18
Claves
7TRIGONOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
7 La suma de las medidas de dos ángulos es 7p/20 rad y su
diferencia es 30g. Calcula la medida del menor ángulo en el
sistema centesimal.
A) 20g B) 30g C) 15g
D) 15g E) 8g
8 Convierte 50m a segundos sexagesimales.
A) 1730’’ B) 1800’’ C) 3600’’
D) 1620’’ E) 1542’’
9 Si se escribe 54g en lugar de 54°, calcula el error cometido
en radianes.
A) rad100
3p B) rad180
p C) rad3
2p
D) rad6
p E) rad7
p
10 Se cumple: S = x2 - 3x - 10
C = x2 - 2x - 4
Si S y C son los sistemas de medidas para un mismo ángulo
(x ! R+), halla la medida del ángulo en radianes.
A) rad103p B) rad
9
p C) rad10
11p
D) 8p rad E) rad3
7p
11 El producto de los números que expresan la medida de un
ángulo en los sistemas inglés, francés y radial es 6p . Halla la
medida del ángulo en grados sexagesimales.
A) 1° B) 2° C) 3°
D) 4° E) 5°
12 Al medir un ángulo se tiene la siguiente relación:
a = (179x + 185)° = (1 + x)p rad
Calcula el ángulo en el sistema francés.
A) 800g B) 1500g C) 1200g
D) 1000g E) 1600g
13 Calcula el error en radianes al escribir 315° en lugar de 315g.
A) 9
7p rad B) 13
7p rad C) 125p rad
D) 40
7p rad E) 7
3p rad
14 Si n es el número de radianes del ángulo 175°, calcula el
número de radianes de M° si:
M = 1p
(36n - 30p)
A) 35
36
p B) 36
p C) 35
p
D) 33
35p E) 37
30p
1. D
2. B
3. E
4. D
5. B
6. B
7. A
8. D
9. A
10. C
11. C
12. C
13. D
14. B
Practiquemos
8 Intelectum 5.°
Nivel 1
Comunicación matemática
1. Indica la relación correcta:
A) 3° = 3g = 3 rad
B) 1° < 1g < 1 rad
C) 2 rad > 2° > 2g
D) 1 rad < 50°
E) 1 rad > 80°
2. De la figura, analiza y calcula el valor de y.
A) 1140°
-60°
y
O A
BC
B) 1110°
C) 1120°
D) 1080°
E) 1000°
Razonamiento y demostración
3. Si x es la treintava parte de 4° e y es la
treintaiseisava parte de 2g.
Calcula: Mx y
x y
5 4
3 4=
-
+
A) 1/7 B) 5/7 C) 5/7
D) 3/7 E) 9/7
4. Halla el error cometido, en radianes, si se
escribe 36g en lugar de escribir 36°.
A) 10
p B) 5
2p C) 50
p
D) 3p E)
32p
5. Reduce: R
C S R
200
20p p+ + ; si S, C y R son
los sistemas de medidas para un mismo
ángulo.
A) 1 B) 2 C) 4
D) 6 E) 3
6. Si S, C y R son los sistemas de medidas
para un mismo ángulo. Calcula la medida
de dicho ángulo en radianes, si además:
SCR = 162
p
A) 180
p B) 90
p C) 30
p
D) 15
p E) 8p
7. Calcula la medida de un ángulo que
cumple: C2 - S2 = 76.Si S y C son los sistemas de medidas para
un mismo ángulo.
A) rad5
p B) rad10p C) rad
36
p
D) rad20
p E) rad9
p
8. Calcula la medida de un ángulo en
radianes, si se cumple:
15S C
91
101- + =c cm m
Si S y C son los sistemas de medidas para
un mismo ángulo.
A) p rad B) rad3
p C) rad5
p
D) rad6
p E) rad10p
9. Expresa 30,5g en grados, minutos y
segundos sexagesimales.
A) 27° 40' B) 28° 27' C) 27° 27'
D) 25° 25' E) 24° 20'
Resolución de problemas
10. Sea un ángulo a, cuya suma del n.° de
minutos sexagesimales y n.° de minutos
centesimales de a es igual a 1540, calcula
a en radianes.
A) 12p rad B)
18
p rad C) 20
p rad
D) 10
p rad E) 15
p rad
11. Un ángulo mide 130g y su suplemento
mide (8n – 1)°
Expresa ng en radianes.
A) rad16
p B) rad24
p
C) rad48
p D) rad50
p
E) rad25
p
NIVEL 2
Comunicación matemática
12. Se tienen los ángulos a = 786,75' y
b = 4217,09m; al expresarlos en grados,
minutos y segundos tenemos:
a = a° b' c" y b = xg ym zs
Indica verdadero (V) o falso (F) según
corresponda.
I. a y b son equivalentes.
II. b y z están en razón de 2 a 3.
III. c es menor que z.
A) VFF B) VFV C) FVV
D) VVV E) FVF
13. En la figura expresa el suplemento de x en
términos de a y b
α°
β°
x°
A) a° + b° B) a° - b°
C) 180° + a° - b° D) 180° + b° - a°
E) 180g + ag + b°
Razonamiento y demostración
14. Sabiendo que: 40° = aag aam aas; calcula:
2a y demuestra que:
40° . aag aam aas
A) 45 B) 30 C) 90
D) 60 E) 8
15. Si S, C y R son los sistemas de medidas
para un mismo ángulo.
C + S + C + S + ... C + S = 3800Rp
n términos
Calcula 2n° en radianes.
A) 9p
rad B) 18
p rad C)
16
p rad
D) 20
p rad E)
2p
rad
16. Sean A y B dos nuevos sistemas de
medición angular. Si 160A equivale a la
tercera parte de una vuelta y 27B equivale
a un ángulo recto. ¿A cuántos grados B
equivale 120A?
A) 120B B) 160B C) 27B
D) 10B E) 90B
Resolución de problemas
17. Se tienen tres ángulos tal que la suma
del primero con el segundo es 20°; del
segundo con el tercero es 40g y del
primero con el tercero es 5p/9 rad. Halla
el mayor de dichos ángulos.
A) 42° B) 9
140 gc m C) 240g
D) 90
29p rad E) 190°
9TRIGONOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
Cla
ve
s
Nivel 1
1.
C
2.
B
3.
E
4.
C
5.
B
6.
A
7.
B
8.
C
9.
C
10. C
11. E
Nivel 2
12. E
13. B
14. E
15. A
16. C
17. D
18. A
19. D
20. C
21. D
22. B
Nivel 3
23. E
24. D
25. C
26. B
27. A
28. C
29. C
30. B
31. E
18. En un cierto ángulo se cumple que el
número de segundos sexagesimales
menos tres veces el número de minutos
centesimales es igual a 29 400.
Calcula la medida del ángulo, en radianes.
A) 20
p B) 5p C)
10
p
D) 30
p E) 15
p
19. Los ángulos de un triángulo isósceles
miden 5xg y (4x + 5)°. Halla la medida
del tercer ángulo desigual en el sistema
internacional.
A) rad4
p B) rad3
p C) rad5
p
D) rad2
p E) rad5
2p
20. En el triángulo mostrado, halla el valor
de x.
54°
xCA
B
A) 30g B) 45g C) 70g
D) 55g E) 60g
21. Si: rad13
3p = ° ' ''a b c4 3 1 .
Calcula: J = (a + b)c
A) 16 B) 18 C) 20
D) 24 E) 32
22. Si x e y representan los números de
minutos centesimales y sexagesimales
respectivamente de un ángulo, además
se cumple que x - y = 368. ¿Cuál es la
medida del ángulo en radianes?
A) 25
p rad B)
25
2p rad C)
50
p rad
D) 30
p rad E)
16
p rad
NIVEL 3
Comunicación matemática
23. Sean S, C y R los números que
representan la medida del ángulo en el
sistema sexagesimal, centesimal y radial
respectivamente. Indica la expresión
incorrecta.
A) S C
9
9
10
10-=
-
B) S C R
19
20
p+
=
C) C R C S
200 20p--
=-
D) S CR
81
22
p=
E) SC R
90
4002p
=
24. Se tiene un nuevo sistema de medida
angular V. Si el número de grados en el
nuevo sistema y el número de grados
sexagesimales están en razón de 7 a 6.
Encuentra la expresión incorrecta.
A) V = 210
pR
B) C = 21
20 V
C) m+1 vuelta = 420V
D) 36V = 42°
E) 7V = 360'
Razonamiento y demostración
25. Si S y C representan la medida de un
mismo ángulo en el sistema sexagesimal
y centesimal respectivamente, calcula:
EC S
C S
C S
C S2=
-
++
+
--
A) 23 B) 2 17 C) 6
D) 3 14 E) 3 15
26. Reduce la siguiente expresión:
......M
rad rad rad rad2 4 6 14011 22 33 770 400g g g g
p=+ + + +
+ + + +; E
A) 10 B) 11 C) 15
D) 22 E) 7
27. Calcula (a + b), sabiendo que:
a
a a
b
b b a bm
g m g
m
g m mg m=c cm m
Si: a > b
A) 103 B) 202 C) 101
D) 142 E) 200
28. Se idea dos nuevos sistemas de medidas
angulares W y V. Sabiendo que la unidad
de medida de W (1W) es la quinta parte
de la unidad de medida en el sistema
sexagesimal; y que 20 grados V (20v) es
10g. Halla la relación entre los sistemas.
A) 1W = 2v B) 1v = 2W
C) 1v = 2,25W D) 1W = 1v
E) 1
1v
W
= 2
29. Calcula:
°
°M
x rad x x
x x rad x
92 50 15
2053 80
g
g
p
p=
+ +
+ +
^c
hm
A) 1 B) 3 C) 2
D) 4 E) 8
Resolución de problemas
30. Del gráfico, calcula:
Eba
2
75=
am-b'
A) 5/6 B) 25/3 C) -25/3
D) -5/6 E) 1
31. Sabiendo que S, C y R son el número de
grados sexagesimales, centesimales y
radianes de un mismo ángulo, halla:
E SCR6 3 23
= -^ h
Además:
3S C R
180 2003 3 3 p+ + =
A) 10 B) 30 C) 50
D) 80 E) 60
Aplicamos lo aprendido
10 Intelectum 5.°
tema 2: Sector circular
1 Halla el área de la región sombreada.
π/5 3π
B
CD
A
O
4π
A) 2
35 p B) 2
25 p C) 16p
D) 7
18 p E) 37 p
2 Halla el número de vueltas que dará cada rueda de la bicicleta
cuando el ciclista haya dado 20 vueltas en la circunferencia.
20r
3r r
A) 3
400 y 400 B) 5
300 y 200
C) 3
500 y 100 D) 7
400 y 400
E) 3
250 y 150
3 Si se cumple que: 2S2 = 3S1
Calcula: OD
OA
θ
BD
O
A
C
r
S1 S2
A) 2
5 B) 5
2 C) 2
3
D) 2 5 E)3
2 3
4 La figura muestra dos engranajes. Si la rueda mayor gira 18°,
¿qué ángulo gira la rueda menor?
A
B
2 m4 m
A) 45° B) 40° C) 38°
D) 36° E) 37°
5 Halla el área del sector sombreado.
8
O 14
6
A) 45 B) 32 C) 28
D) 72 E) 27
6 Halla el área de la región sombreada.
1 radO 6 m A 8 m
A) 12 m2 B) 16 m2 C) 14 m2
D) 17 m2 E) 15 m2
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