investigación pid a01014639
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INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS
SUPERIORES MONTERREY
CAMPUS SANTA FE
CSF.MR3011.2.1311.30089: Laboratorio de control
automático
Puesta a punto de controladores PID
31 de marzo de 2013
Andrés Osorio Salazar A01014639
Profesor: Juan Pablo Angulo
Contenidos
Introducción ............................................................................................................................ 3
Puesta a Punto ......................................................................................................................... 4
Estabilidad .......................................................................................................................... 4
Comportamiento Óptimo .................................................................................................... 5
Métodos de Estabilización .................................................................................................. 5
1. Ziegler-Nichols (ZN): .............................................................................................. 8
2. Integral del error de tiempo al cuadrado ponderado (ISTE): ................................... 9
3. Integral Pessen del Error Absoluto (PIAE) .............................................................. 9
4. Kessler Landau Voda (KLV): .................................................................................. 9
5. Regla de algún sobretiro (SO-OV): ......................................................................... 9
6. Regla de no sobretiro (NO-OV):.............................................................................. 9
7. Mantz-Tacconi Ziegler-Nichols (MT-ZN) .............................................................. 9
8. Ziegler-Nichols refinado (R-ZN) ............................................................................. 9
Método de Ziegler-Nichols ............................................................................................... 10
Windup ................................................................................................................................. 12
Métodos Anti Windup ...................................................................................................... 13
1. Integración Condicional ......................................................................................... 13
2. Seguimiento ........................................................................................................... 13
3. Otros ....................................................................................................................... 15
Fuentes de Información: ....................................................................................................... 15
Introducción
Un controlador PID es un simple controlador de tres términos muy ampliamente utilizado
en la industria, debido a su simpleza y facilidad de puesta a punto, llegando incluso a lograr
estabilidad sin que los operadores tengan conocimientos extensos en ingeniería de control y
sin conocimientos teóricos del sistema. De acuerdo con Astrom, “el 95% de los procesos
industriales a lazo cerrado, utilizan un controlador PID, e incluso son puestos a punto sobre
la marcha.” (1991)
Los tres términos que componen un controlador PID son lógicamente P (proporcional), I
(integral) y D (derivativo). La función transferencia que utiliza un controlador PID es la
siguiente:
( )
Donde cada una de las K’s es la ganancia correspondiente a los términos del controlador
PID.
El sistema controlado por un PID se ilustraría en álgebra de bloques de la siguiente
manera:
En la respuesta de un sistema a una entrada escalón a lazo cerrado se pueden encontrar las
siguientes características:
Tiempo de Subida: Es el tiempo que le toma al sistema para subir al 90% del valor
deseado en la primera vez.
Sobretiro: Indica que tan grande es el valor pico, comparado con el valor
estacionario y normalizado con respecto al valor estacionario.
Tiempo de Estabilidad: Tiempo que le toma al sistema para converger en su valor
estacionario. (Generalmente se utiliza como regla general el 98%)
Error de Estado Estable: La diferencia entre la salida de estado estacionario y el
valor deseado.
Puesta a Punto
La puesta a punto de un controlador puede ser definida como el ajuste de los parámetros de
control que lo gobiernen a los valores óptimos para la respuesta deseada. En el caso de un
controlador, estos parámetros a configurar son:
Proporcional: Banda y Ganancia.
Integral: Ganancia y Reset.
Derivativo: Ganancia y Velocidad.
Generalmente se considera la estabilidad como un requerimiento básico, pero en los
sistemas con diferente aplicación, así como comportamiento deseado, pueden hacer que la
puesta a punto se realice de distinta manera. De esta forma, un sistema estabilizado que
trabaja perfecto con carga máxima, puede ser inestable en vacío y viceversa. Para evitar
estas situaciones puede ser utilizado un controlador con ganancias variables con respecto al
tiempo o a rangos de operación. Es muy importante considerar los objetivos del controlador
y minimizar las contradicciones entre ellos.
Estabilidad
En caso de que los parámetros hayan sido escogidos incorrectamente, el proceso a controlar
puede llegar a ser inestable (su salida puede divergir con o sin oscilación), que es causada
por ganancia excesiva. Generalmente, se requiere que la respuesta sea estable y que el
proceso no oscile para ciertas combinaciones de condiciones de proceso aunque también es
necesario mencionar que a veces es deseada o aceptada una condición llamada estabilidad
marginal, que se refiere a oscilaciones con límites.
Comportamiento Óptimo
De nuevo, el comportamiento óptimo varía de acuerdo a la aplicación, pero en general se
requieren dos situaciones:
Regulación: Que las perturbaciones no afecten la estabilidad del sistema (que se
mantenga en el setpoint)
Seguimiento de órdenes: Que sea posible el uso de cambios de setpoint.
Así, en aplicaciones se pueden encontrar procesos que no permitan sobretiro de la variable
de proceso por encima de un setpoint, que podría significar condiciones inseguras.
Métodos de Estabilización
Existe una cantidad interminable de métodos de puesta a punto para un controlador PID, y
estos se dividen en diversos grupos que están definidos de acuerdo al autor, por ejemplo
Moradi los divide en tres grupos principales: Métodos libres de modelo, Métodos de
modelo no paramétrico, Métodos de modelo paramétrico. Estos a su vez se dividen en
subcategorías ilustradas a continuación:
Ilustración 1: Métodos de puesta a punto de controladores PID según Morardi
Sin embargo Yun Li los divide en cuatro categorías básicas:
Métodos Heurísticos: Evolucionaron de la puesta a punto empírica.
Métodos de Respuesta a la Frecuencia.
Métodos Analíticos.
Métodos de Optimización Numérica.
Generalmente los métodos más efectivos implican el desarrollo de un modelo de proceso,
para luego seleccionar las ganancias basadas en los parámetros dinámicos del modelo. Los
métodos manuales suelen ser muy ineficientes, sobre todo si se consideran tiempos de
respuesta en el orden de los minutos o superior.
Muchos de estos métodos consideran la posibilidad de poner el controlador offline (para
luego someterlo a un escalón de entrada y medir la salida en función del tiempo), de hecho
es uno de los criterios para selección de método (si es posible poner al sistema en ese
estado), junto con el tiempo de respuesta del sistema.
A continuación se presenta una tabla comparativa entre los métodos de puesta a punto más
comunes para los controladores PID.
Método Ventajas Desventajas
Puesta a punto
Manual No requiere de cálculos, online
Requiere operadores
experimentados.
Ziegler–Nichols Método Probado, online Puesta a Punto Agresiva, Prueba
y Error.
Herramientas de
Software
Puesta a punto consistente, online u
offline, acepta simulación, puede
soportar puesta a punto sin estado
estable.
Costo y Capacitación
Cohen–Coon Buenos modelos de Proceso
Algo de cálculo, offline,
funciona bien únicamente para
sistemas de primer orden.
De acuerdo con el Dr. Yun Li, el efecto de incrementar cada uno de los parámetros del
controlador (Kp, Ki, Kd) se puede simplificar en la siguiente tabla:
Parámetro a
Incrementar
Tiempo de
subida Sobretiro
Tiempo de
estabilidad
Error de
estado estable Estabilidad
Kp
Ki
Kd
Leyenda: Cambio Menor, Cambio, Cambio Mayor. La dirección de la flecha indica: Abajo – Decremento /
Degradación, Arriba - Incremento / Mejora, Ambas – dependiente del sistema.
Los métodos más utilizados por su facilidad de implementación son los basados en reglas, y
se pueden dividir en los que están en el dominio del tiempo y de la frecuencia. A
continuación se muestra una tabla comparativa entre los principales métodos heurísticos en
el dominio de la frecuencia.
Ku es la ganancia última (ganancia a la cual la salda del control oscila con amplitud
constante) y Tu es el periodo crítico (periodo de oscilación a dicha ganancia). k es la
ganancia normalizada.
Debido a que el controlador utilizado se parametriza de forma paralela, de forma que sea
posible obtener ganancias proporcionales, integrales y diferenciales puras (poniendo a 0 las
demás ganancias), los valores de Ti (tiempo de integración) y Td (horizonte de predicción),
se sustituyen por lo siguiente:
Donde k es la ganancia proporcional y K es la ganancia total del sistema.
Obtenemos la siguiente tabla:
Método Kp Ki Kd
ZN (P) Ku/2 - -
ZN (PI) Ku/2.2 1.2Ku/Tu -
ZN 0.6Ku 2Kp/Tu KpTu/8
PIAE 0.7Ku 2.5Kp/Tu 0.15KpTu
SO-OV 0.33Ku 2Kp/Tu KpTu/3
NO-OV 0.2Ku 2Kp/Tu KpTu/3
A continuación se dará una breve explicación de los acrónimos usados para los nombres de
las reglas de puesta a punto en el dominio de la frecuencia y el método que representan.
1. Ziegler-Nichols (ZN):
Esta fórmula para controladores de un solo grado de libertad de fue diseñado inicialmente
para dar una respuesta de un cuarto de decaimiento en relación a perturbaciones en la
carga. Se requiere conocimiento de la ganancia crítica, y el período crítico, es decir, la
inversa de la ganancia del sistema y la frecuencia a la cual la fase es 180. Puesto que esta
fórmula está destinada a disminuir perturbaciones de carga, se espera respuestas oscilatorias
transitorias como respuesta a cambios de setpoint.
2. Integral del error de tiempo al cuadrado ponderado (ISTE):
A raíz del trabajo realizado en el diseño óptimo de Controladores PID para los modelos de
función de transferencia, Zhuang y Atherton propusieron fórmulas de ajuste que son
óptimos ISTE (Integral of Squared Time Weighted Error) para modelos FOPDT (first order
plus dead time). Al usar su formulación, es posible sintonizar tanto el setpoint como las
perturbaciones de carga.
3. Integral Pessen del Error Absoluto (PIAE)
4. Kessler Landau Voda (KLV):
Esta regla intenta alcanzar el nivel "óptimo simétrico", originalmente propuesto por
Kessler. El objetivo del diseño es hacer que la frecuencia de cruce del sistema compensado
sea igual a ∑ rad/s, donde ∑ es la suma de los parásitos, y que el PID dé una
pendiente con magnitud de -20 dB/dec, dos octavas a la izquierda del crossover y una
octava a la derecha del crossover.
5. Regla de algún sobretiro (SO-OV):
Esta fórmula es una simple modificación de la regla de sintonización ZN, a fin de lograr
sobretiros reducidos a cambios de setpoint.
6. Regla de no sobretiro (NO-OV):
Similar a la SO-OV, con la intención de dar ningún sobretiro de la respuesta
a cambios de setpoint. La ganancia proporcional de la regla ZN se reduce en un factor de
tres, con el tiempo derivativo aumentando en casi el mismo factor.
7. Mantz-Tacconi Ziegler-Nichols (MT-ZN)
8. Ziegler-Nichols refinado (R-ZN)
Método de Ziegler-Nichols
El método de Ziegler-Nichols forma parte de los métodos heurísticos. Fue desarrollado por
John G. Ziegler y Nathaniel B. Nichols en 1942 y presentaron dos métodos: el método en el
dominio del tiempo y en la frecuencia. Los métodos están basados en la determinación de la
dinámica del proceso en términos de solo dos parámetros: la ganancia y el tiempo. Después
los parámetros del controlador son expresados en términos de estos dos parámetros
mediante simples fórmulas. En ambos métodos, se usó la especificación de un cuarto de
decaimiento de la relación de amplitud. Esta relación de decaimiento es la relación entre
dos máximos consecutivos del error del controlador después de un cambio en el setpoint o
la carga.
El método en el dominio del tiempo, se basa en el registro de la respuesta a lazo abierto del
sistema a un escalón. Los parámetros del controlador están dados directamente en términos
de a y L, ilustrados a continuación:
Cabe recalcar que la línea que se observa se obtiene de dibujar una tangente al punto de
inflexión de la curva de respuesta del sistema, para luego sustituir dichos valores obtenidos
en la siguiente tabla:
El segundo método propuesto por Ziegler y Nichols está basado en la respuesta en
frecuencia del sistema. Ellos dieron simples fórmulas para los parámetros del controlador
en términos de la ganancia última Ku y el periodo último Tu. Para determinar dichos
parámetros, se sigue el siguiente procedimiento:
Conectar el controlador al proceso.
Colocar los parámetros del controlador de tal forma que el control sea proporcional
puro, o sea que Ti=∞ y Td=0 (en el caso de una representación en paralelo, Kp=cte.,
Ki=0, Kd=0)
Incrementar la ganancia lentamente hasta que el proceso empiece a oscilar. La
ganancia cuando esto suceda será Ku y el periodo de oscilación Tu.
Sustituir los valores obtenidos en la siguiente tabla para encontrar los valores de K,
Ti, Td
En el caso de una representación en paralelo, aplicar las siguientes fórmulas para
obtener las ganancias Kp, Ki y Kd de los valores obtenidos anteriormente.
El método de Ziegler-Nichols no da un control satisfactorio, por lo que se han realizado
modificaciones al método original. La razón es que se obtienen sistemas a lazo cerrado con
un amortiguamiento muy malo. El criterio de diseño de un cuarto de relación de
decaimiento de amplitud corresponde a un amortiguamiento de ζ ≈ 0.2 el cual es muy
pequeño para la mayoría de las aplicaciones. La máxima sensibilidad en muy grande
también, lo que significa que los sistemas a lazo cerrado obtenidos son muy sensibles a las
variaciones de parámetros.
Estos métodos, sin embargo, tienen la ventaja de ser muy fáciles de utilizar. Las mejoras
realizadas buscan obtener la misma simplicidad de estos métodos con una mayor robustez.
Windup
Todos los actuadores tienen limitaciones físicas, como por ejemplo la velocidad máxima de
un motor o la apertura de una válvula. Estas limitaciones pueden tener graves efectos sobre
un controlador. La acción integral en un controlador PID es un modo inestable. Cuando el
lazo está cerrado, esto no provoca dificultades. Sin embargo cuando un actuador se satura,
se rompe el lazo de control porque la salida de dicho actuador no será influenciada por su
entrada. El modo inestable en el controlador puede entonces derivar en valores muy
grandes. Cuando el actuador se desature, puede pasar gran cantidad de tiempo antes de que
el sistema encuentre estabilidad de nuevo.
En la imagen anterior se puede apreciar el Windup en la parte integral, que muestra la
simulación de un sistema en el que la dinámica del sistema es una saturación para valores
de ±0.1, seguido por un sistema lineal con la función transferencia:
( )
( )
La entrada es un escalón unitario. Se puede apreciar que debido a la saturación en el
actuador, la señal de control se satura también inmediatamente después de que se aplica el
escalón. La señal de control se mantiene en niveles de saturación y el lazo de control se
rompe. La parte integradora continua incrementando porque el error es positivo y empieza a
decrementar cuando la salida es igual a la entrada, pero la salida se mantiene saturada
debido a la gran parte integradora. La salida finalmente decrementa en t=14 cuando la parte
integradora baja lo suficiente.
El problema de todo esto es que se presenta un sobretiro muy grande. Este fenómeno es
conocido como “Windup del integrador”. Para evitar que suceda dicho fenómeno, se han
desarrollado diversos métodos,
Métodos Anti Windup
1. Integración Condicional
El Windup del Integrador puede evitarse utilizando la parte integradora del controlador sólo
cuando se cumplen determinadas condiciones. La parte integral es así desconectada o
desactivada cuando el actuador se satura, y se conecta o activa de nuevo cuando se
desatura. Este método es fácil de implementar, pero provoca controladores con
discontinuidades. También es necesario ser cuidadoso en formulación de la lógica de
conmutación de modo que el sistema no llegue a un estado en el que acción integral nunca
se utilice.
2. Seguimiento
El seguimiento es otra manera de evitar Windup. La idea es hacer que la parte integradora
se mantenga en un valor adecuado cuando el actuador se satura de modo que el controlador
esté listo para reanudar la acción inmediatamente que el error de control cambie.
En la figura anterior se muestra un ejemplo de un controlador que evita el Windup
mediante seguimiento. Se mide la salida del actuador y se genera la señal et, que es la
diferencia entre la entrada v y la salida u del actuador. Dicha señal (et) es diferente de cero
cuando el actuador se satura. La señal de et se alimenta entonces de nuevo a la parte
integradora. Esta realimentación no tiene ningún efecto cuando el actuador no está en
saturación porque la señal de et en ese caso es cero. Cuando el actuador de satura, la
retroalimentación impulsa a la salida del integrador a un valor tal que el error et es cero.
La figura anterior ilustra el efecto del sistema de seguimiento anti Windup para el sistema
mostrado anteriormente y las curvas están comparadas para apreciar su efecto. Se puede
observar el efecto dramático que tiene sobre el comportamiento del sistema. La señal de
control comienza a descender antes de que la salida alcance el setpoint. Incluso la parte
integral del controlador desciende al inicio a valores negativos.
Esta configuración de entrada de seguimiento es muy útil en muchos contextos. Es posible
introducir señales de control manual a la entrada de seguimiento. También es posible
construir sistemas complejos combinando muchos controladores.
3. Otros
También es posible utilizar otros métodos anti Windup, por ejemplo:
Inicializando la parte integral con un valor deseado.
Incrementar el setpoint con una rampa.
Desactivar la parte integradora hasta que el sistema entre a una región controlable.
Evitando que la parte integradora se acumule por encima o debajo de límites
predeterminados.
El problema del Windup era mayor con los controladores análogos. Con los Sistemas
Distribuidos de Control (DCS) y los Controladores Lógicos Programables (PLC), es mucho
más fácil evitar el Windup mediante la limitación de la salida del controlador o mediante el
uso de una realimentación de reset externo.
Fuentes de Información:
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01/04/2013. Disponible en: http://saba.kntu.ac.ir/eecd/pcl/download/PIDtutorial.pdf
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Levine, W. S. (2010). Control Handbook, Second Edition (three volume set). S.l.:
[s.n.].
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