INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS

SUPERIORES MONTERREY

CAMPUS SANTA FE

CSF.MR3011.2.1311.30089: Laboratorio de control

automático

Puesta a punto de controladores PID

31 de marzo de 2013

Andrés Osorio Salazar A01014639

Profesor: Juan Pablo Angulo

Contenidos

Introducción ............................................................................................................................ 3

Puesta a Punto ......................................................................................................................... 4

Estabilidad .......................................................................................................................... 4

Comportamiento Óptimo .................................................................................................... 5

Métodos de Estabilización .................................................................................................. 5

1. Ziegler-Nichols (ZN): .............................................................................................. 8

2. Integral del error de tiempo al cuadrado ponderado (ISTE): ................................... 9

3. Integral Pessen del Error Absoluto (PIAE) .............................................................. 9

4. Kessler Landau Voda (KLV): .................................................................................. 9

5. Regla de algún sobretiro (SO-OV): ......................................................................... 9

6. Regla de no sobretiro (NO-OV):.............................................................................. 9

7. Mantz-Tacconi Ziegler-Nichols (MT-ZN) .............................................................. 9

8. Ziegler-Nichols refinado (R-ZN) ............................................................................. 9

Método de Ziegler-Nichols ............................................................................................... 10

Windup ................................................................................................................................. 12

Métodos Anti Windup ...................................................................................................... 13

1. Integración Condicional ......................................................................................... 13

2. Seguimiento ........................................................................................................... 13

3. Otros ....................................................................................................................... 15

Fuentes de Información: ....................................................................................................... 15

Introducción

Un controlador PID es un simple controlador de tres términos muy ampliamente utilizado

en la industria, debido a su simpleza y facilidad de puesta a punto, llegando incluso a lograr

estabilidad sin que los operadores tengan conocimientos extensos en ingeniería de control y

sin conocimientos teóricos del sistema. De acuerdo con Astrom, “el 95% de los procesos

industriales a lazo cerrado, utilizan un controlador PID, e incluso son puestos a punto sobre

la marcha.” (1991)

Los tres términos que componen un controlador PID son lógicamente P (proporcional), I

(integral) y D (derivativo). La función transferencia que utiliza un controlador PID es la

siguiente:

( )

Donde cada una de las K’s es la ganancia correspondiente a los términos del controlador

PID.

El sistema controlado por un PID se ilustraría en álgebra de bloques de la siguiente

manera:

En la respuesta de un sistema a una entrada escalón a lazo cerrado se pueden encontrar las

siguientes características:

Tiempo de Subida: Es el tiempo que le toma al sistema para subir al 90% del valor

deseado en la primera vez.

Sobretiro: Indica que tan grande es el valor pico, comparado con el valor

estacionario y normalizado con respecto al valor estacionario.

Tiempo de Estabilidad: Tiempo que le toma al sistema para converger en su valor

estacionario. (Generalmente se utiliza como regla general el 98%)

Error de Estado Estable: La diferencia entre la salida de estado estacionario y el

valor deseado.

Puesta a Punto

La puesta a punto de un controlador puede ser definida como el ajuste de los parámetros de

control que lo gobiernen a los valores óptimos para la respuesta deseada. En el caso de un

controlador, estos parámetros a configurar son:

Proporcional: Banda y Ganancia.

Integral: Ganancia y Reset.

Derivativo: Ganancia y Velocidad.

Generalmente se considera la estabilidad como un requerimiento básico, pero en los

sistemas con diferente aplicación, así como comportamiento deseado, pueden hacer que la

puesta a punto se realice de distinta manera. De esta forma, un sistema estabilizado que

trabaja perfecto con carga máxima, puede ser inestable en vacío y viceversa. Para evitar

estas situaciones puede ser utilizado un controlador con ganancias variables con respecto al

tiempo o a rangos de operación. Es muy importante considerar los objetivos del controlador

y minimizar las contradicciones entre ellos.

Estabilidad

En caso de que los parámetros hayan sido escogidos incorrectamente, el proceso a controlar

puede llegar a ser inestable (su salida puede divergir con o sin oscilación), que es causada

por ganancia excesiva. Generalmente, se requiere que la respuesta sea estable y que el

proceso no oscile para ciertas combinaciones de condiciones de proceso aunque también es

necesario mencionar que a veces es deseada o aceptada una condición llamada estabilidad

marginal, que se refiere a oscilaciones con límites.

Comportamiento Óptimo

De nuevo, el comportamiento óptimo varía de acuerdo a la aplicación, pero en general se

requieren dos situaciones:

Regulación: Que las perturbaciones no afecten la estabilidad del sistema (que se

mantenga en el setpoint)

Seguimiento de órdenes: Que sea posible el uso de cambios de setpoint.

Así, en aplicaciones se pueden encontrar procesos que no permitan sobretiro de la variable

de proceso por encima de un setpoint, que podría significar condiciones inseguras.

Métodos de Estabilización

Existe una cantidad interminable de métodos de puesta a punto para un controlador PID, y

estos se dividen en diversos grupos que están definidos de acuerdo al autor, por ejemplo

Moradi los divide en tres grupos principales: Métodos libres de modelo, Métodos de

modelo no paramétrico, Métodos de modelo paramétrico. Estos a su vez se dividen en

subcategorías ilustradas a continuación:

Ilustración 1: Métodos de puesta a punto de controladores PID según Morardi

Sin embargo Yun Li los divide en cuatro categorías básicas:

Métodos Heurísticos: Evolucionaron de la puesta a punto empírica.

Métodos de Respuesta a la Frecuencia.

Métodos Analíticos.

Métodos de Optimización Numérica.

Generalmente los métodos más efectivos implican el desarrollo de un modelo de proceso,

para luego seleccionar las ganancias basadas en los parámetros dinámicos del modelo. Los

métodos manuales suelen ser muy ineficientes, sobre todo si se consideran tiempos de

respuesta en el orden de los minutos o superior.

Muchos de estos métodos consideran la posibilidad de poner el controlador offline (para

luego someterlo a un escalón de entrada y medir la salida en función del tiempo), de hecho

es uno de los criterios para selección de método (si es posible poner al sistema en ese

estado), junto con el tiempo de respuesta del sistema.

A continuación se presenta una tabla comparativa entre los métodos de puesta a punto más

comunes para los controladores PID.

Método Ventajas Desventajas

Puesta a punto

Manual No requiere de cálculos, online

Requiere operadores

experimentados.

Ziegler–Nichols Método Probado, online Puesta a Punto Agresiva, Prueba

y Error.

Herramientas de

Software

Puesta a punto consistente, online u

offline, acepta simulación, puede

soportar puesta a punto sin estado

estable.

Costo y Capacitación

Cohen–Coon Buenos modelos de Proceso

Algo de cálculo, offline,

funciona bien únicamente para

sistemas de primer orden.

De acuerdo con el Dr. Yun Li, el efecto de incrementar cada uno de los parámetros del

controlador (Kp, Ki, Kd) se puede simplificar en la siguiente tabla:

Parámetro a

Incrementar

Tiempo de

subida Sobretiro

Tiempo de

estabilidad

Error de

estado estable Estabilidad

Kp

Ki

Kd

Leyenda: Cambio Menor, Cambio, Cambio Mayor. La dirección de la flecha indica: Abajo – Decremento /

Degradación, Arriba - Incremento / Mejora, Ambas – dependiente del sistema.

Los métodos más utilizados por su facilidad de implementación son los basados en reglas, y

se pueden dividir en los que están en el dominio del tiempo y de la frecuencia. A

continuación se muestra una tabla comparativa entre los principales métodos heurísticos en

el dominio de la frecuencia.

Ku es la ganancia última (ganancia a la cual la salda del control oscila con amplitud

constante) y Tu es el periodo crítico (periodo de oscilación a dicha ganancia). k es la

ganancia normalizada.

Debido a que el controlador utilizado se parametriza de forma paralela, de forma que sea

posible obtener ganancias proporcionales, integrales y diferenciales puras (poniendo a 0 las

demás ganancias), los valores de Ti (tiempo de integración) y Td (horizonte de predicción),

se sustituyen por lo siguiente:

Donde k es la ganancia proporcional y K es la ganancia total del sistema.

Obtenemos la siguiente tabla:

Método Kp Ki Kd

ZN (P) Ku/2 - -

ZN (PI) Ku/2.2 1.2Ku/Tu -

ZN 0.6Ku 2Kp/Tu KpTu/8

PIAE 0.7Ku 2.5Kp/Tu 0.15KpTu

SO-OV 0.33Ku 2Kp/Tu KpTu/3

NO-OV 0.2Ku 2Kp/Tu KpTu/3

A continuación se dará una breve explicación de los acrónimos usados para los nombres de

las reglas de puesta a punto en el dominio de la frecuencia y el método que representan.

1. Ziegler-Nichols (ZN):

Esta fórmula para controladores de un solo grado de libertad de fue diseñado inicialmente

para dar una respuesta de un cuarto de decaimiento en relación a perturbaciones en la

carga. Se requiere conocimiento de la ganancia crítica, y el período crítico, es decir, la

inversa de la ganancia del sistema y la frecuencia a la cual la fase es 180. Puesto que esta

fórmula está destinada a disminuir perturbaciones de carga, se espera respuestas oscilatorias

transitorias como respuesta a cambios de setpoint.

2. Integral del error de tiempo al cuadrado ponderado (ISTE):

A raíz del trabajo realizado en el diseño óptimo de Controladores PID para los modelos de

función de transferencia, Zhuang y Atherton propusieron fórmulas de ajuste que son

óptimos ISTE (Integral of Squared Time Weighted Error) para modelos FOPDT (first order

plus dead time). Al usar su formulación, es posible sintonizar tanto el setpoint como las

perturbaciones de carga.

3. Integral Pessen del Error Absoluto (PIAE)

4. Kessler Landau Voda (KLV):

Esta regla intenta alcanzar el nivel "óptimo simétrico", originalmente propuesto por

Kessler. El objetivo del diseño es hacer que la frecuencia de cruce del sistema compensado

sea igual a ∑ rad/s, donde ∑ es la suma de los parásitos, y que el PID dé una

pendiente con magnitud de -20 dB/dec, dos octavas a la izquierda del crossover y una

octava a la derecha del crossover.

5. Regla de algún sobretiro (SO-OV):

Esta fórmula es una simple modificación de la regla de sintonización ZN, a fin de lograr

sobretiros reducidos a cambios de setpoint.

6. Regla de no sobretiro (NO-OV):

Similar a la SO-OV, con la intención de dar ningún sobretiro de la respuesta

a cambios de setpoint. La ganancia proporcional de la regla ZN se reduce en un factor de

tres, con el tiempo derivativo aumentando en casi el mismo factor.

7. Mantz-Tacconi Ziegler-Nichols (MT-ZN)

8. Ziegler-Nichols refinado (R-ZN)

Método de Ziegler-Nichols

El método de Ziegler-Nichols forma parte de los métodos heurísticos. Fue desarrollado por

John G. Ziegler y Nathaniel B. Nichols en 1942 y presentaron dos métodos: el método en el

dominio del tiempo y en la frecuencia. Los métodos están basados en la determinación de la

dinámica del proceso en términos de solo dos parámetros: la ganancia y el tiempo. Después

los parámetros del controlador son expresados en términos de estos dos parámetros

mediante simples fórmulas. En ambos métodos, se usó la especificación de un cuarto de

decaimiento de la relación de amplitud. Esta relación de decaimiento es la relación entre

dos máximos consecutivos del error del controlador después de un cambio en el setpoint o

la carga.

El método en el dominio del tiempo, se basa en el registro de la respuesta a lazo abierto del

sistema a un escalón. Los parámetros del controlador están dados directamente en términos

de a y L, ilustrados a continuación:

Cabe recalcar que la línea que se observa se obtiene de dibujar una tangente al punto de

inflexión de la curva de respuesta del sistema, para luego sustituir dichos valores obtenidos

en la siguiente tabla:

El segundo método propuesto por Ziegler y Nichols está basado en la respuesta en

frecuencia del sistema. Ellos dieron simples fórmulas para los parámetros del controlador

en términos de la ganancia última Ku y el periodo último Tu. Para determinar dichos

parámetros, se sigue el siguiente procedimiento:

Conectar el controlador al proceso.

Colocar los parámetros del controlador de tal forma que el control sea proporcional

puro, o sea que Ti=∞ y Td=0 (en el caso de una representación en paralelo, Kp=cte.,

Ki=0, Kd=0)

Incrementar la ganancia lentamente hasta que el proceso empiece a oscilar. La

ganancia cuando esto suceda será Ku y el periodo de oscilación Tu.

Sustituir los valores obtenidos en la siguiente tabla para encontrar los valores de K,

Ti, Td

En el caso de una representación en paralelo, aplicar las siguientes fórmulas para

obtener las ganancias Kp, Ki y Kd de los valores obtenidos anteriormente.

El método de Ziegler-Nichols no da un control satisfactorio, por lo que se han realizado

modificaciones al método original. La razón es que se obtienen sistemas a lazo cerrado con

un amortiguamiento muy malo. El criterio de diseño de un cuarto de relación de

decaimiento de amplitud corresponde a un amortiguamiento de ζ ≈ 0.2 el cual es muy

pequeño para la mayoría de las aplicaciones. La máxima sensibilidad en muy grande

también, lo que significa que los sistemas a lazo cerrado obtenidos son muy sensibles a las

variaciones de parámetros.

Estos métodos, sin embargo, tienen la ventaja de ser muy fáciles de utilizar. Las mejoras

realizadas buscan obtener la misma simplicidad de estos métodos con una mayor robustez.

Windup

Todos los actuadores tienen limitaciones físicas, como por ejemplo la velocidad máxima de

un motor o la apertura de una válvula. Estas limitaciones pueden tener graves efectos sobre

un controlador. La acción integral en un controlador PID es un modo inestable. Cuando el

lazo está cerrado, esto no provoca dificultades. Sin embargo cuando un actuador se satura,

se rompe el lazo de control porque la salida de dicho actuador no será influenciada por su

entrada. El modo inestable en el controlador puede entonces derivar en valores muy

grandes. Cuando el actuador se desature, puede pasar gran cantidad de tiempo antes de que

el sistema encuentre estabilidad de nuevo.

En la imagen anterior se puede apreciar el Windup en la parte integral, que muestra la

simulación de un sistema en el que la dinámica del sistema es una saturación para valores

de ±0.1, seguido por un sistema lineal con la función transferencia:

( )

( )

La entrada es un escalón unitario. Se puede apreciar que debido a la saturación en el

actuador, la señal de control se satura también inmediatamente después de que se aplica el

escalón. La señal de control se mantiene en niveles de saturación y el lazo de control se

rompe. La parte integradora continua incrementando porque el error es positivo y empieza a

decrementar cuando la salida es igual a la entrada, pero la salida se mantiene saturada

debido a la gran parte integradora. La salida finalmente decrementa en t=14 cuando la parte

integradora baja lo suficiente.

El problema de todo esto es que se presenta un sobretiro muy grande. Este fenómeno es

conocido como “Windup del integrador”. Para evitar que suceda dicho fenómeno, se han

desarrollado diversos métodos,

Métodos Anti Windup

1. Integración Condicional

El Windup del Integrador puede evitarse utilizando la parte integradora del controlador sólo

cuando se cumplen determinadas condiciones. La parte integral es así desconectada o

desactivada cuando el actuador se satura, y se conecta o activa de nuevo cuando se

desatura. Este método es fácil de implementar, pero provoca controladores con

discontinuidades. También es necesario ser cuidadoso en formulación de la lógica de

conmutación de modo que el sistema no llegue a un estado en el que acción integral nunca

se utilice.

2. Seguimiento

El seguimiento es otra manera de evitar Windup. La idea es hacer que la parte integradora

se mantenga en un valor adecuado cuando el actuador se satura de modo que el controlador

esté listo para reanudar la acción inmediatamente que el error de control cambie.

En la figura anterior se muestra un ejemplo de un controlador que evita el Windup

mediante seguimiento. Se mide la salida del actuador y se genera la señal et, que es la

diferencia entre la entrada v y la salida u del actuador. Dicha señal (et) es diferente de cero

cuando el actuador se satura. La señal de et se alimenta entonces de nuevo a la parte

integradora. Esta realimentación no tiene ningún efecto cuando el actuador no está en

saturación porque la señal de et en ese caso es cero. Cuando el actuador de satura, la

retroalimentación impulsa a la salida del integrador a un valor tal que el error et es cero.

La figura anterior ilustra el efecto del sistema de seguimiento anti Windup para el sistema

mostrado anteriormente y las curvas están comparadas para apreciar su efecto. Se puede

observar el efecto dramático que tiene sobre el comportamiento del sistema. La señal de

control comienza a descender antes de que la salida alcance el setpoint. Incluso la parte

integral del controlador desciende al inicio a valores negativos.

Esta configuración de entrada de seguimiento es muy útil en muchos contextos. Es posible

introducir señales de control manual a la entrada de seguimiento. También es posible

construir sistemas complejos combinando muchos controladores.

3. Otros

También es posible utilizar otros métodos anti Windup, por ejemplo:

Inicializando la parte integral con un valor deseado.

Incrementar el setpoint con una rampa.

Desactivar la parte integradora hasta que el sistema entre a una región controlable.

Evitando que la parte integradora se acumule por encima o debajo de límites

predeterminados.

El problema del Windup era mayor con los controladores análogos. Con los Sistemas

Distribuidos de Control (DCS) y los Controladores Lógicos Programables (PLC), es mucho

más fácil evitar el Windup mediante la limitación de la salida del controlador o mediante el

uso de una realimentación de reset externo.

Fuentes de Información:

Zhong, Jinghua PID Controller Tuning: A Short Tutorial. Consultado el:

01/04/2013. Disponible en: http://saba.kntu.ac.ir/eecd/pcl/download/PIDtutorial.pdf

Li, Y., Ang, K.H., and Chong, G.C.Y. (2006) PID control system analysis and

design. IEEE Control Systems Magazine, 26 (1). pp. 32-41. ISSN 0272-1708

(doi:10.1109/MCS.2006.1580152) Consultado el: 01/04/2013. Disponible en:

http://dx.doi.org/10.1109/MCS.2006.1580152

Meshram, P. M.; Kanojiya, R.G., "Tuning of PID controller using Ziegler-Nichols

method for speed control of DC motor," Advances in Engineering, Science and

Management (ICAESM), 2012 International Conference on , vol., no., pp.117,122,

30-31 March 2012 Consultado el: 01/04/2013. Disponible en: http://0-

ieeexplore.ieee.org.millenium.itesm.mx/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=6216102

&isnumber=6215562

Astrom, K.J.; Ho, W. K., "Refinements of the Ziegler-Nichols tuning formula,"

Control Theory and Applications, IEE Proceedings D , vol.138, no.2, pp.111,118,

Mar 1991. Consultado el: 01/04/2013. Disponible en: http://0-

ieeexplore.ieee.org.millenium.itesm.mx/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=67610&is

number=2399

Gude, J.J.; Kahoraho, E., "Modified Ziegler-Nichols method for fractional PI

controllers," Emerging Technologies and Factory Automation (ETFA), 2010 IEEE

Conference on, vol., no., pp.1,5, 13-16 Sept. 2010 doi:

10.1109/ETFA.2010.5641074 Consultado el: 01/04/2013. Disponible en: http://0-

ieeexplore.ieee.org.millenium.itesm.mx/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=5641074

&isnumber=5640954

Ziegler, J.G and Nichols, N. B. (1942). Optimum settings for automatic controllers.

Transactions of the ASME 64. pp. 759–768. Consultado el: 01/04/2013. Disponible

en: http://www2.eie.ucr.ac.cr/~valfaro/docs/Ziegler%26Nichols.pdf

Ziegler-Nichols Tuning Rules for PID, Microstar Laboratories. Consultado el:

01/04/2013. Disponible en: http://www.mstarlabs.com/control/znrule.html

Astrom K. J. and Hagglund T. H., “New tuning methods for PID controllers”,

Proceedings of the 3rd European Control Conference, 1995“Automatic Tuning of

PID Controllers” Karl J. Åström & Tore Hägglund, Chapter 9.5, The Control

Handbook, IEEE/CRC Press, 1995, William S. Levine ed.

"Rule-Based Autotuning Based on Frequency Domain Identification," Anthony S.

McCormack and Keith R. Godfrey, IEEE Transactions on Control Systems

Technology, vol 6 no 1, January 1998.

Levine, W. S. (2010). Control Handbook, Second Edition (three volume set). S.l.:

[s.n.].