introducción a las funciones prof. evelyn dávila

Introducción a las Funciones

Prof. Evelyn Dávila

Temas prerrequisitos  Ecuaciones lineales en una variable Inecuaciones lineales en una variable Operaciones con polinomios Factorización de polinomios Conjunto de los números reales, valor absoluto, notación de

intervalos Plano cartesiano Ecuaciones lineales en dos variables: conjunto solución, gráficas ,

pendiente Forma pendiente-intercepto - Tipos de líneas Hallar la ecuación de una línea Líneas paralelas y perpendiculares Fórmula de distancia y punto medio

bmxy

1i

Números Naturales N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .... }

  Números Cardinales W = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .... }

("Whole Numbers") Enteros Z = { .... -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, .... }

Números Racionales Q = { p/q | p, q son enteros y q 0 }

Números Irracionales Q'= {Todo numero real que no es racional}

{ Números cuya representación decimal no termina y no son decimales repetitivos }

Números Reales R = { Todo número racional o irracional }

= { Q Q'}

Definición de función Dominio Recorrido Notación Evaluar una función Cociente diferencial

Una función es una relación entre

dos conjuntos de tal manera que para

cada elemento del primer conjunto

corresponde un solo elemento del

segundo conjunto.

Ejemplos reales de relaciones que envuelven funciones: Un individuo y su seguro social Un vehículo de motor y su tablilla.

Por lo contrario, no es una función la relación de madre e hijos. Explica por qué.

Al primer conjunto, de donde tomamos los

elementos para la regla, se le llama Dominio y al segundo conjunto se le llama Recorrido o

Campo de Valores.

a b

c

avión carro

barco

DOMINIORECORRIDO

Ejemplo 1

¿Cómo describes esta relación? ¿Cómo se relacionan los dos conjuntos?

a b

c

avióncasa

barco

Observa que la relación anterior produce un conjunto cuyos elementos son pares ordenados, éstos son:

{ ( a, avión) , (b, barco) , ( c , carro ) }

¿Cuál es el Dominio en esta relación?

¿Cuál es el Recorrido ?

RESPUESTAS Ejemplo 1

DOMINO { a, b, c }

Recorrido {avión, barco, carro}

Ejemplos reales (cotidianos)

Seguro social Número ID Tablilla vehículo

Ejemplo 2

1 2 3 4

6 2 8 4

a. ¿Cuál es el Dominio en esta relación?

b. ¿Cuál es el Recorrido ?

Ejemplo 2

1 2 3 4

6 2 8 4

a. ¿Cuál es el Dominio en esta relación?

{ 1, 2, 3, 4 } Dominio

b. ¿Cuál es el Recorrido ?

{ 2, 4, 6, 8 } Recorrido

Continuamos - Ejemplo 2

Indica cuáles son los elementos de esta relación.

1 2 3 4

6 2 8 4

Continuamos - Ejemplo 2

Indica cuáles son los elementos de esta relación.

{ ( 1,2) , ( 2,4) , ( 3,6 ) , ( 4,8) }

1 2 3 4

6 2 8 4

RESPUESTAS- Ejemplo 2

c. { ( 1,2) , ( 2,4) , ( 3,6 ) , ( 4,8) }

Observa que los elementos de este conjunto son pares ordenados donde el primer elemento corresponde a un elemento del DOMINIO y el segundo elemento corresponde a uno del RECORRIDO.

Continuamos - Ejemplo 2

¿Cómo describirías esta relación? ¿Qué regla la describe?

1 2

3 4

6 2

8 4

RESPUESTAS- Ejemplo 2

Observamos que en esta relación multiplicamos cada elemento del Dominio por dos.

2 x 1 = 2

2 x 2 = 4

2 x 3 = 6

2 x 4 = 8

Si representamos a los elementos

del DOMINIO con una x , y a los

elementos del RECORRIDO con una

y , entonces podemos representar la

relación dada de la siguiente forma:

y = 2x

Decimos que y = 2x , es la regla que describe la relación dada en el Ejemplo 2 .

Observa, que esta ecuación nos indica que de acuerdo al valor que se le asigne a la variable x , será el valor que se obtiene para y.

PrácticaSegún la definición de función, cuáles de los siguientes dibujos representan a una función.

abc

123

abc

III

III

123

RESPUESTAS

SI SI

NO

abc

123

abc

III

III

123

RESPUESTA

Observa que para el elemento I en el DOMINIO corresponden dos elementos distintos en el RECORRIDO, por lo tanto no responde a la definición de funciones.

III

123

NO

Práctica

¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? Indica su Dominio y su Recorrido.

a. { (2,6), (4,12), (6,18) , (8,24) } ___________________

b. { (1,1), (2,2), (3,3) } ___________________

c. { (3,6), ( 5, 8), (7,10), (3,9)} ____________________

d. { (4, 1) , (1,4), ( 2, 5) , (5, 3) , (1, 4) }_______________

Respuestas a la Práctica

¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? Indica su

Dominio y su Recorrido.

a) { (2,6), (4,12), (6,18) , (8,24) } SI

Dominio { 2,4,6,8} Recorrido { 6,12,18,24 }

b) { (1,1), (2,2), (3,3) } SI

Dominio {1,2,3} Recorrido {1,2,3}

c) { (3,6), ( 5, 8), (7,10), (3,9)} NO

Observa que el 3 tiene dos elementos distintos en el RECORRIDO

d) { (4, 1) , (1,4), ( 2, 5) , (5, 3) , (1, 4) SI

Dominio { 4, 1, 2, 5 } Recorrido {1,4,5,3}

Identificar funciones mediante la observación de tabla de valores

Identifica cuáles de las siguientes tablas de valores representa a una función. En las siguientes tablas la primera columna representa a la variable independiente y la segunda columna a la variable dependiente.

a b

-5 10

0 0

5 -10

4 0

c d

-1 1

0 0

1 1

2 4

e f

4 8

2 1

1 2

2 4

Notación de Funciones f X ------> Y

Dominio Recorrido

y = f(x)

f es el nombre que se le asignó a la función, se

lee "y es función f de x” , las variables son x y y.

Ejemplos

x

xxg

x

xy

xxxhxxy

xxfxy

2

1)(

2

1

13)(13

83)(8322

Importante

Observa: El valor de y , depende del valor que

se le asigne a x, en la regla correspondiente.

Llamamos a y ,la variable dependiente y a x la variable independiente.

Aplicación

Identifica para cada situación la variable dependiente y la variable independiente.

Se investiga la relación entre el diametro del tronco de un árbol y la edad de éste en términos de años de vida.

CONTINUACION -Aplicación

Se desea conocer cómo se reproducen los mosquitos durante los doce meses del año.

La relación entre la estatura de las mujeres y el tamaño de sus pies.

La cantidad de horas que dedican los estudiantes a estudiar para un examen y la puntuación que obtienen en éste.

EVALUAR UNA FUNCIÓN

Evaluar una función consiste en seleccionar un valor del Dominio de esa función y sustituírlo en la regla de la función.

Ejemplo 1

Sea f(x) = 2x +1 , una función cuyo Dominio es { 1, 3, 5, 7 }.

Hallar f(3) consiste en evaluar la función f en x = 3, sustituimos este valor en la regla de la siguiente forma

f(3) = 2 ( 3 ) + 1 = 7.

Luego de evaluar la función decimos que f(3)=7.

Cada vez que evaluamos una función obtenemos dos valores, uno para la variable independiente y el valor correspondiente para la variable dependiente.

Por tanto, obtenemos un par ordenado de la forma

( x, y) .

Para el Ejemplo 1, tenemos que f(3) =7 , por tanto el par ordenado es ( 3, 7).

Sea f(x) = 2x +1 , una función cuyo Dominio es { 1, 3, 5, 7 }.

Evalúa la función f , en los valores indicados’

f(5) = 2 ( 5 ) + 1 = 11 par ordenado ( 5 , 11)

Práctica

f(1) = ______

f(7) = ______

f(4) = ______

Continuamos con el Ejemplo 1

Respuesta

f(1) = 3 ( 1, 3 )

f(7) = 15 ( 7, 15 )

f(4) = No existe El 4 no pertenece al Dominio de esta función.

¿Cuáles son los elementos de esta relación ?

¿Cuál es el RECORRIDO ?

Sea f(x) = 2x +1 una función cuyo Dominio es { 1 , 3 , 5 , 7 }.

¿Cuáles son los elementos que describen a la función f ? { ( 1,3) , (3,7) , (5,11) , (7,15) }

¿Cuál es el RECORRIDO ? { 3, 7, 11, 15 }

Ejemplo 2

Sea h(x) = x2 + 2 y su Dominio dado por {1,2,3}

a) ¿Es el par ordenado ( 2, 4 ) elemento de esta

relación?

b) Indica cuáles son los elementos de esta relación.

c) Indica el Recorrido

Ejemplo 2

Sea h(x) = x2 + 2 y su Dominio dado por {1,2,3}

a) ¿Es el par ordenado ( 2, 4 ) elemento de esta relación?

NO es elemento de esa función porque h(2) = 6.

b) Indica cuáles son los elementos de esta relación.

{ (1,3), (2,6) , (3,11) }

c) Indica el Recorrido

{ 3, 6, 11 }

PrácticaSean f(x) = 5x , g(x) = x - 3 , h(x) =x2 + 2x , q(x) = -x ; funciones cuyo Dominio es dado por el conjunto que incluye a todo número real que produzca numeros reales en el Recorrido.

Evalúa en los valores indicados:

a) f(-3) = f(0) =

b) g(15) = g(-5)=

c) h( 3) = h( -2) =

d) q(4) = q(-7) =

Respuestas - Práctica

f(x) = 5x , g(x) = x - 3 , h(x) =x2 + 2x , q(x) = -x

a. f(-3) = -15 f(0) = 0

b. g(15) = 12 g(-5)=-8

c. h( 3) = 15 h( -2) = 0

d.. q(4) = -4 q(-7) = 7

Cuando no se especifica cuál es el

Dominio de la función entonces es

implícito que consiste en el conjunto de todo número real para el cual esté definida la función en los números reales.

Al evaluar una función el resultado para la variable dependiente y , debe ser un número real.

Ejemplo en el que se debe tener

cuidado:

g(1) = 1 g(16) = 4 g(-4) = 2i

El resultado NO es un número real por lo tanto -4 no puede ser parte del DOMINIO.

xxg )(

Cociente Diferencial

Llamamos a la expresión dada por

el cociente diferencial de f(x).

El cociente diferencial es equivalente a la fórmula de la pendiente de la línea que pasa por los puntos

h

xfhxf )()(

))(,())(,( hxfhxyxfx

Halla el cociente diferencial de la función

Primer paso:

Evaluar f(x+h)

Segundo paso:

Sustituir en la fórmula

Tercer paso:

Simplificar

52x f(x)

22

]52[]522[

522

5)(2)(

h

hh

xhx

hx

hxhxf

Halla el cociente diferencial de la función

Primer paso:

Evaluar f(x+h)

Repasar

23x h(x)

2222)(

2222)(

hxhxhx

bababa

Halla el cociente diferencial de la función

Primer paso:

Evaluar f(x+h)

Segundo paso:

Sustituir en la fórmula

Tercer paso:

Simplificar

23x f(x)

hx

hxh

hxhhhxh

hxhxhx

hxhx

hxhx

hxhxf

36

)2(3

)2(3236

]23[]23623[

23623

)222(3

2)(3)(

Prueba de la línea verticalFunción uno a uno: prueba de la línea horizontalComportamiento y características de la función dada su gráficaFunción con Dominio Restringido

PRUEBA DE LA LINEA VERTICAL

Dada una gráfica, si para toda línea vertical

que pase por cada uno de los valores del Dominio de la relación ésta toca (cruza)

sólo un punto de la gráfica, entonces

corresponde a una función.

x

y

Para cada gráfica indica si ésta es una función

FUNCIONES BASICAS

FUNCION IDENTIDAD

x

y

y = x

yRECORRIDO

xDOMINIO

FUNCION CON VALOR ABSOLUTO

x

y

0yRECORRIDO

xDOMINIO

xy

0yRECORRIDO

xDOMINIO

FUNCION CUADRATICA

x

y2xy

y

yRECORRIDO

xDOMINIO

FUNCION CUBICA

3xy

x

xy

0

0

yRECORRIDO

xDOMINIO

FUNCIONES QUE ENVUELVEN RADICALES

}0{Re

}0{min

yyRycorrido

xyRxioDo

FUNCION RACIONAL

xxf

1)(

1x

y

1

x

y

FUNCION EXPONENCIAL

0yRECORRIDO

xDOMINIO

CASO b>1 CASO 0<b<1

10 bybdondeby x

1

FUNCION LOGARITMICA

yRECORRIDO

xDOMINIO 0

10,log bybdondexy b

Funciones con DOMINIO restringido

Son funciones que por su naturaleza no pueden tener como su DOMINIO al conjunto de los números reales.

En estos casos tenemos que determinar cuál

es el conjunto que representa a su DOMINIO y éste será un subconjunto de los números reales.

Se requiere conocimiento previo de los siguientes temas:

 Radicales Expresiones racionales Inecuaciones lineales

Dos tipos de funciones que como regla general tendrán DOMINIO restringido son: las funciones con radicales y las funciones racionales.

FUNCIONES QUE ENVUELVEN RAÍCES CUADRADAS (Índices pares en general)

Procedimiento para determinar el Dominio de una función con raíz cuadrada.A la expresión del radicando se le aplica la propiedad de radicales correspondiente y se despeja para la variable. El resultado de esta inecuación es el Dominio de la función.

Una función con DOMINIO restringido es aquella en la que su regla no permite operar en el conjunto de los números reales para algunos valores particulares. Es decir, existen valores reales que si los utilizas para evaluar la función el resultado que obtendrás no está definido en los números reales.

Ejemplos

1)1 x

12)2 x

4)3 2 x

Práctica

35)1 x

x4)2

9)3 2 x

FUNCIONES RACIONALESDEFINICION Un número racional es un número que se

puede representar en la forma

{ p/q | p, q son enteros y q 0 }

Para determinar el DOMINIO de una función racional debemos identificar los valores de x que hacen al denominador cero y excluirlos del Dominio de la función.

Procedimiento

Halla las raíces del denominador, es decir, igualas la expresión del denominador a cero y resuelves.

Los valores encontrados los excluyes del DOMINIO

Ejemplos

3

1)1

x

xy

a) ¿Cuál es el Dominio?

b) Evalúa la función en x = 5

34

12)2

x

xy

a) ¿Cuál es el Dominio?

b) Evalúa la función en x = - 3

Ejemplos

54

2)3

2

xx

xy

a) ¿Cuál es el Dominio?

1

1)4

2

x

xy

a) ¿Cuál es el Dominio?

b) Evalúa la función en x = -1

16

4)4

2

x

xy

a) ¿Cuál es el Dominio?

b) Evalúa la función en x = 0

Práctica: Indica el Dominio de cada función

)4()

min)

3

1)()1

fb

ioDoa

x

xxf

)4()

min)

23

2)()2

2

fb

ioDoa

xx

xxg

FUNCION UNO A UNO

Definición Una función uno a uno es una función en la que

para cada elemento de su recorrido ( campo de valores) existe un sólo elemento correspondiente en el DOMINIO.

FUNCION UNO A UNO

51015

1 2

3

DOMINIO RECORRIDO

RELACIóN {(1,5) , (2,10) , (3,15) }

Indica cuáles de las siguientes relaciones representan una función UNO a UNO.

abc

1

3

Dominio Recorrido

12

1020

40

Dominio Recorrido

¿Esta relación es una función?

¿Esta relación es una función uno a uno?

Contesta para cada relación:

Para determinar si una gráfica dada corresponde a una función uno a uno utilizamos la prueba de la línea horizontal.

x

y

¿Existe alguna línea horizontal que toque dos puntos de esta gráfica a la misma vez?

Identifica cuáles de las siguientes funciones son uno a uno.

Características de la gráfica de una función

Dominio y Recorrido Interceptos en x Intercepto en y Comportamiento

Constante Creciente Decreciente

Intervalo donde la función es positiva Intervalo donde la función es negativa

Repasar Notación de Intervalo Se incluyen ambos extremos [a,b]

Intervalo cerrado No se incluyen ninguno de los extremos (a, b)

Intervalo abierto Se incluye uno de los dos extremos

[a,b) se incluye a , (a,b] se incluye b

Características de la gráfica de una función Dominio

Se observa la gráfica horizontalmente de izquierda a derecha.

Se toman los valores extremos en x de la gráfica. Recorrido

Se observa la gráfica verticalmente de abajo a arriba. Se toman los valores extremos en y de la gráfica.

Interceptos en x : puntos donde y=0 Intercepto en y: punto donde x=0

Características de la gráfica de una función Comportamiento

Constante: el valor de y no cambia Creciente: a medida que me desplazo a la derecha el valor

de y aumenta Decreciente: a medida que me desplazo a la derecha el valor

de y disminuye

Características de la gráfica de una función Intervalo donde la función es positiva: y > 0 Intervalo donde la función es negativa: y < 0

Hojas sueltas

Ejemplos

Práctica