introducción a las ecuaciones diferenciales
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Ecuaciones
Diferenciales
Rubén DaríoLara Escobar
Introducción
EcuacionesDiferencialesOrdinarias
EcuacionesDiferencialesParciales
Clasi�cacióndeEcuacionesDiferenciales
EcuacionesDiferencialesLineales
Solución de
Ecuaciones
Diferenciales
SoluciónImplícita
CamposDireccionales
Ecuaciones Diferenciales
Introducción
Rubén Darío Lara Escobar1
1Unidad de Ciencias Básicas
Universidad Católica de Manizales
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 1/32
Ecuaciones
Diferenciales
Rubén DaríoLara Escobar
Introducción
EcuacionesDiferencialesOrdinarias
EcuacionesDiferencialesParciales
Clasi�cacióndeEcuacionesDiferenciales
EcuacionesDiferencialesLineales
Solución de
Ecuaciones
Diferenciales
SoluciónImplícita
CamposDireccionales
Contenidos
1 Introducción
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Ecuaciones Diferenciales Parciales
2 Clasi�cación de Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Lineales
3 Solución de Ecuaciones Diferenciales
Solución Implícita
Campos Direccionales
Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 2/32
Ecuaciones
Diferenciales
Rubén DaríoLara Escobar
Introducción
EcuacionesDiferencialesOrdinarias
EcuacionesDiferencialesParciales
Clasi�cacióndeEcuacionesDiferenciales
EcuacionesDiferencialesLineales
Solución de
Ecuaciones
Diferenciales
SoluciónImplícita
CamposDireccionales
Qué es una Ecuación Diferencial?
Una Ecuación Diferencial es cualquier ecuación que contenga
una o mas derivadas. La ecuación diferencial más simple es el
siguiente problema de integración:
y′ = f(t)
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Introducción
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Clasi�cacióndeEcuacionesDiferenciales
EcuacionesDiferencialesLineales
Solución de
Ecuaciones
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SoluciónImplícita
CamposDireccionales
La solución de esta ecuación es, por supuesto la integral
inde�nida de f(t), es decir, una función de la forma:
y(t) = F (t) + C; donde F (t) es una antiderivada de f(t) y Ces una constante arbitraria.
Este tipo de soluciones se denomina una solución general de
la ecuación diferencial. Más adelante veremos que estas
soluciones son en realidad una familia in�nita de soluciones que
di�eren solamente en la constante arbitraria C.
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Clasi�cacióndeEcuacionesDiferenciales
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Solución de
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SoluciónImplícita
CamposDireccionales
Contenidos
1 Introducción
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Ecuaciones Diferenciales Parciales
2 Clasi�cación de Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Lineales
3 Solución de Ecuaciones Diferenciales
Solución Implícita
Campos Direccionales
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EcuacionesDiferencialesParciales
Clasi�cacióndeEcuacionesDiferenciales
EcuacionesDiferencialesLineales
Solución de
Ecuaciones
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SoluciónImplícita
CamposDireccionales
Una Ecuación Diferencial Ordinaria EDO es una relación
que contiene una variable independiente
x ∈ R = (−∞,∞)
y la variable real dependiente y, y algunas de sus derivadas
y′, y′′, ..., y(n)
El orden de una EDO es el el grado de la mas alta
derivada que se involucra en la Ecuación Diferencial
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Clasi�cacióndeEcuacionesDiferenciales
EcuacionesDiferencialesLineales
Solución de
Ecuaciones
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SoluciónImplícita
CamposDireccionales
Ejemplos
xy′ + 3y = 6x3
(y′)2 − 4y = 0
y′ =−xy
x2y′′ − 3xy′ + 3y = 0
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Solución de
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SoluciónImplícita
CamposDireccionales
Ejemplos
xy′ + 3y = 6x3
(y′)2 − 4y = 0
y′ =−xy
x2y′′ − 3xy′ + 3y = 0
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Solución de
Ecuaciones
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SoluciónImplícita
CamposDireccionales
La forma general de una EDO de n− esimo orden es:
F (y′, y′′, ..., y(n) = 0)
donde F es una función conocida.
Una Solución de una ecuación diferencial, y(x) es unafunción que satisface
F (y′(x), y′′(x), ..., yn(x) = 0)
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Solución de
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SoluciónImplícita
CamposDireccionales
La forma general de una EDO de n− esimo orden es:
F (y′, y′′, ..., y(n) = 0)
donde F es una función conocida.
Una Solución de una ecuación diferencial, y(x) es unafunción que satisface
F (y′(x), y′′(x), ..., yn(x) = 0)
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Solución de
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SoluciónImplícita
CamposDireccionales
Ejemplos II
Por ejemplo:
la función y(x) = x2 + Cex
es una solución de la EDO y′ = y − x2 + 2x
la función f(x) = x2 − x−1 es una solución de la ecuación
diferencial
x2d2y
dx2= 2y
Observemos que en f(x) = x2 − x−1, x 6= 0 y la solución
se da en (0,∞)
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CamposDireccionales
Ejemplos II
Por ejemplo:
la función y(x) = x2 + Cex
es una solución de la EDO y′ = y − x2 + 2x
la función f(x) = x2 − x−1 es una solución de la ecuación
diferencial
x2d2y
dx2= 2y
Observemos que en f(x) = x2 − x−1, x 6= 0 y la solución
se da en (0,∞)
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Ejemplos III
Por ejemplo, es fácil mostrar que y(t) = cos(t) es una solución
de:
Ejemplo
y′′ + y = 0 para todo t.
Para con�rmar esto veamos lo siguiente:
y′(t) = − sin(t)
y
y′′(t) = − cos(t)
De Donde:
y′′(t) + y(t) = 0
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Contenidos
1 Introducción
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2 Clasi�cación de Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Lineales
3 Solución de Ecuaciones Diferenciales
Solución Implícita
Campos Direccionales
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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
una ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP) es
una acuación diferencial con dos o mas variables
independientes, de tal forma que las derivadas que contiene son
derivadas parciales. Por ejemplo una EDP para la función:
u(x1, x2, ..., xn)
tiene la forma
F (x1, ..., xn, u,∂
∂x1u, ...,
∂
∂xnu,
∂2
∂x1∂x1u,
∂2
∂x1∂x2u) = 0
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Ejemplos EDP's
En la ecuación∂u
∂x− ∂u
∂y= x− 2y
x e y son variables independientes, mientras que u es la variable
dependiente.
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Orden
El orden de una ecuación diferencial es igual al orden de la
derivada mas alta que contenga la ecuación diferencial. Por
ejemplo
1 y′ + y5 = t2e−t es EDO de Primer Orden
2 cos(t)y′ − sin(t)y = 3t cos(t) Es EDO de Primer Orden
3 y′′ − 3y′ + 2y = e2t cos(5t) es EDO de Segundo Orden
4 y′′′ − y′′y′ + 2y = 4e7t es EDO de Tercer Orden
y asi sucesivamente, el orden lo da la derivada mas alta.
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CamposDireccionales
Contenidos
1 Introducción
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2 Clasi�cación de Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Lineales
3 Solución de Ecuaciones Diferenciales
Solución Implícita
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EDO's Lineales
Una ecuación diferencial ordinaria de orden n-ésimo se
denomina Lineal tiene la forma:
EDO'S Lineales
y(n) = an−1(t)yn−1 + an−2(t)y
n−2 + ...+ a1(t)y′ + a0(t)y + g(t)
Donde las funciones a′s y g son culaquier función de la variable
independiente, en este caso t; observe que la variable
independiente puede aparecer en cualquier forma en la ecuación,
pero la variable dependiente, y y sus derivadas aparecen solas,
en la primera potencia, no en un denominador o dentro de otra
función. es decir, el lado derecho de la ecuación arriba, debe
serFunción Lineal de la variable dependiente y y sus derivadas.
de otra forma la ecuacion se dice que es No Lineal.
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Ejemplo
(2x− y)dx+ 4xdy = 0
Ejemplo
y′′ − 3y′ + 2y = 0
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Ejemplo
y′′ − 3y′ + 2y = e2t cos(5y)Es lineal esta ecuación?
Qué orden tiene la ecuación?
Explique sus respuestas.
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CamposDireccionales
En general se dice que una función G(x, y) = 0 es una solución
implícita de la ecuación diferencial general sí de�ne una o más
soluciones generales.
Ejemplo
Muestre que xy2 − x3y = 8 es una solución implícita de
dy
dx=
3x2y − y2
2xy − x3
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solución
al despejar y(x) se obtiene
y =x3 ±
√x6 + 32x
2x
Es muy tedioso hallar las derivadas de y(x) y luego reemplazar
en la ED. Sí usamos la derivación implícita con respecto a x la
ecuación
xy2 − x3 = 8
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solución cont.
Al derivar y(x) se obtiene
y2 + 2xydy
dx− 3x2y − x3
dy
dx= 0
Al despejar dydx se obtiene.
dy
dx=
3x2y − y2
2xy − x3
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Campos Direccionales
Un Campo Direccional es una herramienta de visualización que
se utiliza para estudiar el comportamiento aproximado de las
soluciones de una ecuación diferencial de primer orden
y′ = f(x, y), sin tener que resolver la ecuación diferencial
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Cómo Calcular un Campo Direccional
Primero dibuje un plano cartesiano x− y con todos los
puntos (suele ser su�ciente con los puntos donde x = y).
Para cada punto (x0, y0) en el plano, calcule el valor de
f(x0, y0), el cual representa la pendiente de la solución en
el punto
dibuje una pequeña �echa (o linea) para cada punto
orientada con la dirección de la pendiente calculada para el
punto en el paso anterior
Una vez se han dibujado todos los puntos se observa el
comportamiento de las Curvas Integrales que son
tangentes a los vectores del campo.
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Cómo Calcular un Campo Direccional
Primero dibuje un plano cartesiano x− y con todos los
puntos (suele ser su�ciente con los puntos donde x = y).
Para cada punto (x0, y0) en el plano, calcule el valor de
f(x0, y0), el cual representa la pendiente de la solución en
el punto
dibuje una pequeña �echa (o linea) para cada punto
orientada con la dirección de la pendiente calculada para el
punto en el paso anterior
Una vez se han dibujado todos los puntos se observa el
comportamiento de las Curvas Integrales que son
tangentes a los vectores del campo.
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Cómo Calcular un Campo Direccional
Primero dibuje un plano cartesiano x− y con todos los
puntos (suele ser su�ciente con los puntos donde x = y).
Para cada punto (x0, y0) en el plano, calcule el valor de
f(x0, y0), el cual representa la pendiente de la solución en
el punto
dibuje una pequeña �echa (o linea) para cada punto
orientada con la dirección de la pendiente calculada para el
punto en el paso anterior
Una vez se han dibujado todos los puntos se observa el
comportamiento de las Curvas Integrales que son
tangentes a los vectores del campo.
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Cómo Calcular un Campo Direccional
Primero dibuje un plano cartesiano x− y con todos los
puntos (suele ser su�ciente con los puntos donde x = y).
Para cada punto (x0, y0) en el plano, calcule el valor de
f(x0, y0), el cual representa la pendiente de la solución en
el punto
dibuje una pequeña �echa (o linea) para cada punto
orientada con la dirección de la pendiente calculada para el
punto en el paso anterior
Una vez se han dibujado todos los puntos se observa el
comportamiento de las Curvas Integrales que son
tangentes a los vectores del campo.
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Ejemplo
Halle el Campo Direccional de la ED y′ = −xy
Figura : Campo Direccional para la ED y′ = −xy
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Ejemplo
Hallar el Campo Direccional de la ED y′ = x− y2
Figura : Campo Direccional para la ED y′ = x− y2
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En general el método permite construir una aproximación
grá�ca de las funciones que satisfacen la ED, aproximando la
solución por medio del comportamiento local de la funcion en
un punto f(x0, y0) usando una linearización de la tangente.
Luego aproximamos la curva mediante el campo direccional,
teniendo en cuenta que la curva integral que representa la
solución es tangente al campo direccional.
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Ejemplo
Hallar el campo direccional de la ED y′ = 1 + x− y
Figura : Campo Direccional para la ED y′ = 1 + x− y
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Las posibles soluciones de la ED y′ = 1 + x− yse comportan de la forma
Haga click sobre la �gura para ver las soluciones tangentes al
Campo Direccional
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Solución de
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Ejercicios
Dibuje el campo direccional de cada una de las siguietes
ecuaciones diferenciales. De acuerdo a la grá�ca describa como
es el comportamiento de la función y(x) cuando x→∞1 y′ = 3− 2y
2 y′ = 2y − 3
3 y′ = y2
4 y′ = y(y − 2)2
5 y′ = −(2x+y)2y
6 y′ = xe−2x − 2y
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Apéndice
Lecturas Re-comendadas
Lecturas Recomendadas I
Mesa, F.; Martínez, A.; González,J.(2012).
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
Ed. ECOE EDICIONES
Boyce, W.; Diprima, R.(2009).
Elementary Di�erential Equations and Boundary Value
Problems.
John Wiley and sons, Inc. Ninth edition.
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