integrales y cálculo de ecuaciones diferenciales
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8/18/2019 Integrales y cálculo de Ecuaciones Diferenciales
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TRABAJO DE CÁLCULO INTEGRAL
Presentado por:
YULIZA PAOLA MENDOZA ESCORCIA
Presentado a do!ente:
LIC" I#ÁN BLANCO RAMAL
INSTITUCI$N EDUCATI#A JOS% AGUST&N BLANCO BARROS'ACULTAD DE INGENIER&A
PROGRAMA DE INGENIER&A AMBIENTALII SEMESTRE ( GRUPO ))
BARRAN*UILLA+ ,, de Sept-e./re de 0123"
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8/18/2019 Integrales y cálculo de Ecuaciones Diferenciales
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TRABAJO DE CÁLCULO INTEGRAL
yulimendoza29@gmail.com
4" ∫cos4 x cos3 x dx
Recordamos que cos (a )cos ( b )=cos (a+b )+cos (a−b )
2
Sustituyendo ahora en la integral original, obtenemos:
∫cos (4 x ) cos (3 x ) dx=∫cos (4 x+3 x )+cos (4 x−3 x )
2dx
¿∫cos (7 x )+cos ( x )
2 dx
¿∫cos (7 x )
2
dx+∫cos ( x )
2
dx
¿1
2∫
7 ∙cos (7 x )7
dx+1
2∫ cos ( x )dx
¿1
2 [ 17∫cos (7 x ) (7 dx)]+ 12∫cos ( x ) dx
¿1
2 [ 17 sen (7 x )+C 1]+12 sen ( x )+C 2
¿1
2 sen (7 x )+
1
2 sen ( x )+C
donde C =C 1+C 2
mailto:Yulimendoza29@gmail.commailto:Yulimendoza29@gmail.com
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⇒∫cos4 xcos3 x dx=1
2 sen (7 x )+
1
2 sen ( x )+C
5" ∫ sen (2 x ) cos (4 x ) dx
Recordamos que sen (a ) cos (b )=sen (a+b )+sen ( a−b )
2
Sustituyendo ahora en la integral original, obtenemos:
∫ sen (2 x ) cos (4 x ) dx=∫sen (2 x+4 x )+sen (2 x−4 x )
2dx
¿∫sen (6 x )+sen (−2 x )
2
dx
Y como sen (−a )=−sen (a ) , entonces
∫ sen (2 x ) cos (4 x ) dx=∫sen (6 x )−sen (2 x )
2dx
¿∫sen (6 x )
6 dx−∫
sen (2 x )2
dx
¿1
2∫
6 ∙sen (6 x )6
dx−1
2∫
2 ∙sen (2 x )2
dx
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¿1
2 [ 16∫ sen (6 x ) (6dx )]−12 [12∫ sen (2 x ) (2dx )]
¿ 12 [−
1
6 cos (6 x )+C
1]−1
2 [−1
2 cos (2 x )+C
2]
¿− 1
12cos (6 x )+C
1+1
4 cos (2 x )+C
2
¿ 1
4 cos (2 x )−
1
12cos (6 x )+C
⇒∫ sen (2 x ) cos (4 x ) dx=1
4 cos (2 x )−
1
12cos (6 x )+C
6" ∫ sen (3 y )cos (5 y ) d y
Aplicamos la misma identidad: sen (a ) cos (b )=sen (a+b )+sen ( a−b )
2
Y ahora sustituimos en la integral original:
∫ sen (3 y )cos (5 y ) dy=∫sen (3 y+5 y )+sen (3 y−5 y )
2 d y
¿∫sen (8 y )+sen (−2 y )
2d y
donde C =C 1+C 2
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Y teniendo en cuenta nuevamente que sen (−a )=−sen (a ) , entonces
∫ sen (3 y )cos (5 y ) dy=∫sen (8 y )−sen (2 y )
2d y
¿∫sen (6 y )
2 d y−∫
sen (2 y )2
d y
¿1
2∫
8 ∙sen (8 y )8
d y−1
2∫
2 ∙sen (2 y )2
d y
¿1
2 [ 18∫sen (8 y ) (8d y )]−12 [12∫ sen (2 y ) (2d y )]
¿1
2 [−18 cos (8 y )+C 1]−12 [−12 cos (2 y )+C 2]
¿− 1
16 cos (8 y )+C
1+1
4 cos (2 y )+C
2
¿ 1
4 cos (2 y )−
1
16 cos (8 y )+C
⇒∫ sen (3 y ) cos (5 y ) d y=1
4 cos (2 y )−
1
16 cos (8 y )+C
20" ∫
e xtan
2 (e x) dx
donde C =C 1+C 2
-
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Hacemos un cambio de variable, tomando: u=e x⇒du=e
xdx
Ahora nuestra integral quedaría de la siguiente forma:
∫e x tan2 (e x) dx=∫ tan2 (u ) du
Dado que sec2 (a)=1+ tan2 (a )⟹ tan2 (a )=sec2 (a )−1 , entonces tenemos que:
∫ tan2 (u )du=∫ [sec 2 (u )−1 ]du
sec2 (u ) du−¿∫ du¿∫¿
(u )−¿u+C ¿ tan¿
Y puesto que u=e x , entonces finalmente tenemos que:
(e x )−¿e x+C ⇒∫e x tan2 (e x ) dx=tan¿
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" ∫ x cot2
(2 x2
) dx
Hacemos un cambio de variable, tomando: u=2 x2
⇒du=4 x dx
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⇒du
4 = xd x
on lo que la integral original quede ahora de la siguiente forma:
∫ x cot2 (2 x2 ) dx=1
4∫ cot
2 (u ) du
Dado que csc2 (a )=1+cot2 (a )⟹ cot2 (a )=cs c2 (a )−1 , entonces tenemos que:
∫cot2 (u) du=1
4∫ [ cs c2 (u )−1 ] du
csc2 (u ) du−¿ 1
4∫du
¿ 1
4∫ ¿
(u )−¿ 1
4 u+C
¿−1
4 cot ¿
Y puesto que u=2 x2 , entonces tenemos que:
(2 x2 )−¿ 2 x2
4 +C
∫ x cot2 (2 x2 ) dx=−1
4 cot¿
!or lo tanto:
(2 x2 )−¿ x2
2 +C
⇒∫ xcot2 (2 x2 ) dx=−1
4 cot ¿
-
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28" ∫
cot24 t d t
Sea: u=4 t ⇒du=4d t
⇒du
4 =dt
!or lo cual nuestra integral con el cambio de variable quedaría así:
∫cot24 t dt =1
4∫cot2 (u ) du
Y ya sabemos que:
(u )−¿ 1
4 u+C
1
4∫ cot2 (u )du=−1
4 cot¿
Y puesto que u=4 t , finalmente obtenemos que:
(4 t )−¿ 1
4 (4 t )+C
⇒
∫cot2
4 t dt =
−1
4 cot¿
(4 t )−¿ t +C
⇒=−1
4 cot¿
-
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28" ∫
cot3
t d t
Reescribimos la integral para simplificar, entonces:
∫cot3 t dt =∫ (cot2 t ) (cot t )dt
Ahora, de acuerdo a las identidades trigonom"tricas podemos ver que:
csc2 x=1+cot
2 x⇒cot
2 x=c sc
2 x−1
!or lo que reducidamente tenemos que:
∫ (cot2t ) (cot t ) dt =∫ (c sc2 t −1 ) (cot t ) dt
¿∫ [ (c sc2 t ) (cot t )−(cot t ) ] dt
¿∫ (c sc2t ) (cot t )dt −∫ (cot t ) dt
¿−∫−( c sc2t ) (cot t ) dt −∫ (cot t ) dt
¿−c ot
2t
2 −ln|sent |+C
!or lo tanto:
-
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⇒∫cot3 t dt =−cot2
t
2 − ln|sent |+C
28"
∫ tan4 x d x
Reescribimos la integral para simplificar la e#presi$n:
∫ tan4 x d x=∫ ( tan
2 x ) ( tan2 x ) d x
Ahora, de acuerdo a las identidades trigonom"tricas:
sec2 x=1+ tan
2 x⇒ tan
2 x=sec
2 x−1
!or lo que reducidamente tenemos que:
∫ ( tan2 x ) ( tan2 x ) d x=∫ (sec2 x−1 ) ( tan2 x ) d x
¿∫ [ ( sec2 x ) (tan2 x )−( tan2 x ) ]d x
¿∫ (sec2 x )( tan2 x ) d x−∫ ( tan2 x ) d x
¿[ (tan x )3
3 ]−[− x+tan x ]+C
¿ tan
3 x
3 + x−tan x+C
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!or lo tanto:
⇒∫ tan4 x d x= tan
3
( x)3 − tan ( x)+ x+C
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72"
∫ csc4 x
cot2 x
dx
De acuerdo a las identidades trigonom"tricas podemos darnos cuenta que:
csc4 x
cot2 x=csc
4 x ∙( 1cot2 x )
¿( 1sen4 x )∙ tan2 x
¿( 1
sen4 x )
∙
(sen
2
xcos
2 x )
¿( 1sen2 x ) ∙( 1
cos2 x )
¿csc2 x ∙ sec
2 x
!or lo que reducidamente tenemos que:
∫ csc4 x
cot2 x
dx=∫ csc2 x ∙ sec2 x dx
Ahora integramos por partes, tomando:
u=csc2 x⟹du=2 (csc x ) (−cscx∙cot x ) dx
¿−2csc2 xcot x dx
dv=sec2 x dx⟹ v=∫sec
2 x dx=tan x
%ntonces:
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∫ csc4 x
cot2 x
dx=( csc2 x ) (tan x )−∫ (−2csc2 x cot x ) ( tan x ) dx
¿ tan x ∙ csc2 x+2∫ (csc2 x )(
1
tan x ) (tan x )dx
¿ tan x ∙csc2 x+2∫csc
2 x dx
¿ tan x ∙csc2 x+2 (−cot x )+C
¿ tan x∙ csc2
x−2cot x+C
!or lo tanto:
⇒∫ csc4 x
cot2 x
dx=tan x csc2 x−2cot x+C
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2" #ERI'ICAR LAS SIGUIENTES IDENTIDADES:
a9 1−cos4 u=(2−sen2u ) sen2u
So!-;n"
Teniendo en cuenta algunas operaciones algebraicas y las principales
identidades básicas, especialmente que sen2u+cos2 u=1 , por lo cualtenemos que:
1−cos4
u ¿ 12−(cos2u )2
¿
(1+cos
2
u ) ∙ (1−cos
2
u )
Y como sen2u+cos2 u=1⇒ sen2u=1−cos2u , entonces:
1−cos4
u ¿ (1+cos2u) ∙ (sen2u )
¿ [1+(1−sen2 u ) ] ∙sen2u
¿ [1+1−sen2u ] ∙sen2u
¿ (2−sen2 u) ∙sen2u
Dado que
a2−b2=(a+b ) (a−b )
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/9 1−2sen2t =2cos2t −1
So!-;n"
Tenemos que:
2cos2
t −1 ¿ 2 (1−sen2t )−1
¿ 2−2sen2
t −1
¿ 2−1−2sen2 t
¿ 1−2sen2
t
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!9 tan2 β−sen2 β=tan2 β ∙ sen2 β
So!-;n"
Para este eemplo, tenemos entonces que:
⇒ tan2
β−sen2
β ¿ tan2 β ∙ sen
2 β
⇒sen
2 β
cos2 β−sen
2 β ¿
⇒
sen2 β
cos2 β −sen
2
β ¿ sen
2 β ∙ sen
2 β
cos2 β
⇒ cos2 β ∙( sen
2 β
cos2 β−sen
2 β) ¿ sen2 β ∙ sen2 β
⇒ ¿ sen4 β
⇒ sen2 β−sen
2 β ∙cos
2 β ¿ sen
4 β
⇒ sen2 β ∙(1−cos2 β ) ¿ sen4 β
Puesto que sen2 β+cos2 β=1 , entonces sen2 β=1−cos2 β , y portanto:
⇒ sen2 β ∙ sen
2 β ¿ sen
4 β
⇒ sen4 β ¿ sen
4 β
Puesto que
tan β=sen β
cos β
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d9 1−cos A
sen A +
sen A
1−cos A=2 ∙ csc A
So!-;n"
Para este eemplo, tenemos entonces que:
1−cos A
sen A +
senA
1−cos A ¿
(1−cos A ) (1−cos A )+ (sen A ) ( sen A )( sen A ) (1−cos A )
¿ (1−cos A )2+sen2 A
sen A (1−cos A )
Pero del producto notable (a−b )2=a2−2ab+b2 , obtenemos que:
(1−cos A )2 ¿ (1 )2−2 (1 ) (cos A )+ (cos A )2
¿ 1−2cos A+cos2 A
!ntonces:
Puesto que
sen2 A+cos
2 A=1
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