integrales y cálculo de ecuaciones diferenciales

8/18/2019 Integrales y cálculo de Ecuaciones Diferenciales

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TRABAJO DE CÁLCULO INTEGRAL

Presentado por:

YULIZA PAOLA MENDOZA ESCORCIA

Presentado a do!ente:

LIC" I#ÁN BLANCO RAMAL

INSTITUCI$N EDUCATI#A JOS% AGUST&N BLANCO BARROS'ACULTAD DE INGENIER&A

PROGRAMA DE INGENIER&A AMBIENTALII SEMESTRE ( GRUPO ))

BARRAN*UILLA+ ,, de Sept-e./re de 0123"


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TRABAJO DE CÁLCULO INTEGRAL

[email protected]

4" ∫cos4 x cos3 x dx

Recordamos que cos (a )cos ( b )=cos (a+b )+cos (a−b )

2

Sustituyendo ahora en la integral original, obtenemos:

∫cos (4 x ) cos (3 x ) dx=∫cos (4 x+3 x )+cos (4 x−3 x )

2dx

¿∫cos (7 x )+cos ( x )

2 dx

¿∫cos (7 x )

2

dx+∫cos ( x )

2

dx

¿1

2∫

7 ∙cos (7 x )7

dx+1

2∫ cos ( x )dx

¿1

2 [ 17∫cos (7 x ) (7 dx)]+ 12∫cos ( x ) dx

¿1

2 [ 17 sen (7 x )+C 1]+12 sen ( x )+C 2

¿1

2 sen (7 x )+

1

2 sen ( x )+C

donde C =C 1+C 2

mailto:[email protected]:[email protected]


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⇒∫cos4 xcos3 x dx=1

2 sen (7 x )+

1

2 sen ( x )+C

5" ∫ sen (2 x ) cos (4 x ) dx

Recordamos que sen (a ) cos (b )=sen (a+b )+sen ( a−b )

2

Sustituyendo ahora en la integral original, obtenemos:

∫ sen (2 x ) cos (4 x ) dx=∫sen (2 x+4 x )+sen (2 x−4 x )

2dx

¿∫sen (6 x )+sen (−2 x )

2

dx

Y como sen (−a )=−sen (a ) , entonces

∫ sen (2 x ) cos (4 x ) dx=∫sen (6 x )−sen (2 x )

2dx

¿∫sen (6 x )

6 dx−∫

sen (2 x )2

dx

¿1

2∫

6 ∙sen (6 x )6

dx−1

2∫

2 ∙sen (2 x )2

dx


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¿1

2 [ 16∫ sen (6 x ) (6dx )]−12 [12∫ sen (2 x ) (2dx )]

¿ 12 [−

1

6 cos (6 x )+C

1]−1

2 [−1

2 cos (2 x )+C

2]

¿− 1

12cos (6 x )+C

1+1

4 cos (2 x )+C

2

¿ 1

4 cos (2 x )−

1

12cos (6 x )+C

⇒∫ sen (2 x ) cos (4 x ) dx=1

4 cos (2 x )−

1

12cos (6 x )+C

6" ∫ sen (3 y )cos (5 y ) d y

Aplicamos la misma identidad: sen (a ) cos (b )=sen (a+b )+sen ( a−b )

2

Y ahora sustituimos en la integral original:

∫ sen (3 y )cos (5 y ) dy=∫sen (3 y+5 y )+sen (3 y−5 y )

2 d y

¿∫sen (8 y )+sen (−2 y )

2d y

donde C =C 1+C 2


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Y teniendo en cuenta nuevamente que sen (−a )=−sen (a ) , entonces

∫ sen (3 y )cos (5 y ) dy=∫sen (8 y )−sen (2 y )

2d y

¿∫sen (6 y )

2 d y−∫

sen (2 y )2

d y

¿1

2∫

8 ∙sen (8 y )8

d y−1

2∫

2 ∙sen (2 y )2

d y

¿1

2 [ 18∫sen (8 y ) (8d y )]−12 [12∫ sen (2 y ) (2d y )]

¿1

2 [−18 cos (8 y )+C 1]−12 [−12 cos (2 y )+C 2]

¿− 1

16 cos (8 y )+C

1+1

4 cos (2 y )+C

2

¿ 1

4 cos (2 y )−

1

16 cos (8 y )+C

⇒∫ sen (3 y ) cos (5 y ) d y=1

4 cos (2 y )−

1

16 cos (8 y )+C

20" ∫

e xtan

2 (e x) dx

donde C =C 1+C 2


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Hacemos un cambio de variable, tomando: u=e x⇒du=e

xdx

Ahora nuestra integral quedaría de la siguiente forma:

∫e x tan2 (e x) dx=∫ tan2 (u ) du

Dado que sec2 (a)=1+ tan2 (a )⟹ tan2 (a )=sec2 (a )−1 , entonces tenemos que:

∫ tan2 (u )du=∫ [sec 2 (u )−1 ]du

sec2 (u ) du−¿∫ du¿∫¿

(u )−¿u+C ¿ tan¿

Y puesto que u=e x , entonces finalmente tenemos que:

(e x )−¿e x+C ⇒∫e x tan2 (e x ) dx=tan¿

27

" ∫ x cot2

(2 x2

) dx

Hacemos un cambio de variable, tomando: u=2 x2

⇒du=4 x dx


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⇒du

4 = xd x

on lo que la integral original quede ahora de la siguiente forma:

∫ x cot2 (2 x2 ) dx=1

4∫ cot

2 (u ) du

Dado que csc2 (a )=1+cot2 (a )⟹ cot2 (a )=cs c2 (a )−1 , entonces tenemos que:

∫cot2 (u) du=1

4∫ [ cs c2 (u )−1 ] du

csc2 (u ) du−¿ 1

4∫du

¿ 1

4∫ ¿

(u )−¿ 1

4 u+C

¿−1

4 cot ¿

Y puesto que u=2 x2 , entonces tenemos que:

(2 x2 )−¿ 2 x2

4 +C

∫ x cot2 (2 x2 ) dx=−1

4 cot¿

!or lo tanto:

(2 x2 )−¿ x2

2 +C

⇒∫ xcot2 (2 x2 ) dx=−1

4 cot ¿


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28" ∫

cot24 t d t

Sea: u=4 t ⇒du=4d t

⇒du

4 =dt

!or lo cual nuestra integral con el cambio de variable quedaría así:

∫cot24 t dt =1

4∫cot2 (u ) du

Y ya sabemos que:

(u )−¿ 1

4 u+C

1

4∫ cot2 (u )du=−1

4 cot¿

Y puesto que u=4 t , finalmente obtenemos que:

(4 t )−¿ 1

4 (4 t )+C

⇒

∫cot2

4 t dt =

−1

4 cot¿

(4 t )−¿ t +C

⇒=−1

4 cot¿


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28" ∫

cot3

t d t

Reescribimos la integral para simplificar, entonces:

∫cot3 t dt =∫ (cot2 t ) (cot t )dt

Ahora, de acuerdo a las identidades trigonom"tricas podemos ver que:

csc2 x=1+cot

2 x⇒cot

2 x=c sc

2 x−1

!or lo que reducidamente tenemos que:

∫ (cot2t ) (cot t ) dt =∫ (c sc2 t −1 ) (cot t ) dt

¿∫ [ (c sc2 t ) (cot t )−(cot t ) ] dt

¿∫ (c sc2t ) (cot t )dt −∫ (cot t ) dt

¿−∫−( c sc2t ) (cot t ) dt −∫ (cot t ) dt

¿−c ot

2t

2 −ln|sent |+C

!or lo tanto:


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⇒∫cot3 t dt =−cot2

t

2 − ln|sent |+C

28"

∫ tan4 x d x

Reescribimos la integral para simplificar la e#presi$n:

∫ tan4 x d x=∫ ( tan

2 x ) ( tan2 x ) d x

Ahora, de acuerdo a las identidades trigonom"tricas:

sec2 x=1+ tan

2 x⇒ tan

2 x=sec

2 x−1


∫ ( tan2 x ) ( tan2 x ) d x=∫ (sec2 x−1 ) ( tan2 x ) d x

¿∫ [ ( sec2 x ) (tan2 x )−( tan2 x ) ]d x

¿∫ (sec2 x )( tan2 x ) d x−∫ ( tan2 x ) d x

¿[ (tan x )3

3 ]−[− x+tan x ]+C

¿ tan

3 x

3 + x−tan x+C


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!or lo tanto:

⇒∫ tan4 x d x= tan

3

( x)3 − tan ( x)+ x+C


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72"

∫ csc4 x

cot2 x

dx

De acuerdo a las identidades trigonom"tricas podemos darnos cuenta que:

csc4 x

cot2 x=csc

4 x ∙( 1cot2 x )

¿( 1sen4 x )∙ tan2 x

¿( 1

sen4 x )

∙

(sen

2

xcos

2 x )

¿( 1sen2 x ) ∙( 1

cos2 x )

¿csc2 x ∙ sec

2 x


∫ csc4 x

cot2 x

dx=∫ csc2 x ∙ sec2 x dx

Ahora integramos por partes, tomando:

u=csc2 x⟹du=2 (csc x ) (−cscx∙cot x ) dx

¿−2csc2 xcot x dx

dv=sec2 x dx⟹ v=∫sec

2 x dx=tan x

%ntonces:


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∫ csc4 x

cot2 x

dx=( csc2 x ) (tan x )−∫ (−2csc2 x cot x ) ( tan x ) dx

¿ tan x ∙ csc2 x+2∫ (csc2 x )(

1

tan x ) (tan x )dx

¿ tan x ∙csc2 x+2∫csc

2 x dx

¿ tan x ∙csc2 x+2 (−cot x )+C

¿ tan x∙ csc2

x−2cot x+C

!or lo tanto:

⇒∫ csc4 x

cot2 x

dx=tan x csc2 x−2cot x+C


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2" #ERI'ICAR LAS SIGUIENTES IDENTIDADES:

a9 1−cos4 u=(2−sen2u ) sen2u

So!-;n"

Teniendo en cuenta algunas operaciones algebraicas y las principales

identidades básicas, especialmente que sen2u+cos2 u=1 , por lo cualtenemos que:

1−cos4

u ¿ 12−(cos2u )2

¿

(1+cos

2

u ) ∙ (1−cos

2

u )

Y como sen2u+cos2 u=1⇒ sen2u=1−cos2u , entonces:

1−cos4

u ¿ (1+cos2u) ∙ (sen2u )

¿ [1+(1−sen2 u ) ] ∙sen2u

¿ [1+1−sen2u ] ∙sen2u

¿ (2−sen2 u) ∙sen2u

Dado que

a2−b2=(a+b ) (a−b )


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/9 1−2sen2t =2cos2t −1

So!-;n"

Tenemos que:

2cos2

t −1 ¿ 2 (1−sen2t )−1

¿ 2−2sen2

t −1

¿ 2−1−2sen2 t

¿ 1−2sen2

t


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!9 tan2 β−sen2 β=tan2 β ∙ sen2 β

So!-;n"

Para este eemplo, tenemos entonces que:

⇒ tan2

β−sen2

β ¿ tan2 β ∙ sen

2 β

⇒sen

2 β

cos2 β−sen

2 β ¿

⇒

sen2 β

cos2 β −sen

2

β ¿ sen

2 β ∙ sen

2 β

cos2 β

⇒ cos2 β ∙( sen

2 β

cos2 β−sen

2 β) ¿ sen2 β ∙ sen2 β

⇒ ¿ sen4 β

⇒ sen2 β−sen

2 β ∙cos

2 β ¿ sen

4 β

⇒ sen2 β ∙(1−cos2 β ) ¿ sen4 β

Puesto que sen2 β+cos2 β=1 , entonces sen2 β=1−cos2 β , y portanto:

⇒ sen2 β ∙ sen

2 β ¿ sen

4 β

⇒ sen4 β ¿ sen

4 β

Puesto que

tan β=sen β

cos β


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d9 1−cos A

sen A +

sen A

1−cos A=2 ∙ csc A

So!-;n"

Para este eemplo, tenemos entonces que:

1−cos A

sen A +

senA

1−cos A ¿

(1−cos A ) (1−cos A )+ (sen A ) ( sen A )( sen A ) (1−cos A )

¿ (1−cos A )2+sen2 A

sen A (1−cos A )

Pero del producto notable (a−b )2=a2−2ab+b2 , obtenemos que:

(1−cos A )2 ¿ (1 )2−2 (1 ) (cos A )+ (cos A )2

¿ 1−2cos A+cos2 A

!ntonces:

Puesto que

sen2 A+cos

2 A=1

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