integrales 2
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José María Martínez Mediano
Integral definida 1
PROBLEMAS DE INTEGRALES DEFINIDAS
1. Calcula el valor de la siguiente integral:
3
0 1
11dx
x
xx
Solución:
Descomponiendo la expresión del integrando:
1
11
1
1
1
1
1
11
xx
x
x
x
x
xx
Por tanto:
5243121
11
1
11 3
0
3
0
3
0
xxdxx
dxx
xx
NOTA: La integral dxx 1
1 es inmediata, pues
cxdxx
dxx
12
12
12
1
1
2. Calcula el área encerrada entre las gráficas de la recta y = x + 2 y la parábola 2xy
Solución:
El área encerrada entre ambas curvas es la sombreada en la figura
adjunta.
La parábola y la recta se cortan en las soluciones del sistema
2
2
xy
xy, que son (1, 1) y (2, 4); puntos de abscisas
x = 1 y x = 2.
Por tanto, el área pedida viene dada por la integral
A = 2
9
3
12
2
1
3
842
32
22
2
1
322
1
2
xx
xdxxx
3. Dibuja la función 323)( xxxf . Encuentra el área limitada por la curva y el eje X
entre x = 1 y x = 2.
Solución: 323)( xxxf )2(336)( 2 xxxxxf xxf 66)´´(
La derivada primera se anula en x = 0 o x = 2. Luego:
si x < 0, f ´(x) < 0 f decrece
si 0 < x < 2, f ´(x) > 0 f crece en x = 0 hay un mínimo.
si x > 2, f ´(x) < 0 f decrece en x = 2 hay un máximo.
José María Martínez Mediano
Integral definida 2
La derivada segunda sea anula en x = 1, luego:
si x < 1, f ´´(x) > 0 f es convexa ()
si x > 0, f ´´(x) < 0 f es cóncava () en x
= 1 hay punto de inflexión
La curva corta a los ejes en los puntos (0, 0) y (3, 3). Dando
otros valores,{(1, 4); (1, 2); (2, 4); (4, 16)}, puede trazarse
la gráfica pedida.
El área pedida es la sombreada en la figura. Su valor es:
A = 2
1
32 )3( dxxx =
2
1
43
4
xx =
4
21
4
1148
4. Dibuja la función 327)( xxf , y calcula el área limitada por la curva y el eje X
entre x = 3 y x = 5.
Solución 327)( xxf 23)´( xxf xxf 6)´´(
Como f ´(x) < 0 para todo x, la función es siempre decreciente.
En x = 0 tiene un punto de inflexión, siendo convexa () si x
<0 y cóncava () cuando x > 0.
Cortes con los ejes:
si x = 0, f (0) = 27 punto (0, 27)
si y = 0, 3270 x , x = 3 punto (3, 0)
Dando otros valores: (2, 35); (1, 26); (2, 19); (4, 37), se
obtiene la figura adjunta.
El área pedida es:
A = dxxdxx
5
3
33
3
3 2727 =
=
5
3
43
3
4
427
427
xx
xx = 162 + 82 = 244
5. Halla el área del recinto limitado por las parábolas de ecuaciones respectivas
26 xxy e xxy 22 .
Solución:
El área pedida es la del recinto sombreado en la figura.
Los puntos de corte de ambas parábolas vienen dados por la
solución del sistema
José María Martínez Mediano
Integral definida 3
xxy
xxy
2
62
2
xxxx 26 22 2x(x 4) = 0 x = 0, x = 4.
El área vale:
A = 3
64
3
12864
3
2428)2(6
4
0
324
0
24
0
22
xxdxxxdxxxxx
6. Hallar el área comprendida entre las dos parábolas 2xy e 32 2 xy .
Solución:
La región es la sombreada en la siguiente figura.
Las curvas se cortan en los puntos (1, 1) y (1, 1), que son
las soluciones del sistema
32 2
2
xy
xy
Como 2xy va por debajo de 32 2 xy en el intervalo
(1, 1), el área viene dada por:
4)2(23)33()32(1
1
31
1
21
1
22 xxdxxdxxxA
7. Calcula el valor de la siguiente integral:
e
dxx
x
12
ln
Solución:
Tomamos
dxx
dv
xu
2
1
ln
xv
dxx
du
1
1
Luego, cxx
xxd
xx
xdx
x
x
1ln1lnln22
Por tanto, e
dxx
x
12
ln =
e
e
eexx
xe
21
111ln
1
José María Martínez Mediano
Integral definida 4
8. Calcula el área encerrada por la gráfica de la función 1
)(2
x
xxf y el eje OX, entre
las abscisas 0 y 1.
Solución:
Como la función es positiva para x > 0, el área pedida es viene dada por la integral
A = 2
2ln)1ln(
2
1
1
2
2
1
1
1
0
21
02
1
02
xdxx
xdx
x
x
NOTA: Aunque no sea necesario, es bueno hacer un esbozo de su gráfica. En ella
indicamos, sombreada, la región de la que se pide
9. Halla el área encerrada por la gráfica de la función 254)( 23 xxxxf y las
rectas y = 0, x = 1 y x = 3.
Solución:
Nos interesa saber si la curva está por encima o por debajo del eje OX en el intervalo
que nos afecta. Para ello estudiamos el signo de la función.
Si descomponemos en factores se tiene:
254)( 23 xxxxf = )2()1( 2 xx
Habría que observar que x = 1 es una raíz de la función; dividiendo por Ruffini se
obtiene los otros factores.
Por tanto:
la función corta al eje en x = 1 y en x = 2
si x < 2, f(x) 0
si x > 2, f(x) > 0.
Con esto basta para saber que el recinto entre la recta y = 0, y entre
x = 1 y x = 2, está por debajo del eje OX. Análogamente, el recinto
correspondiente al intervalo (2, 3) está por encima del eje OX.
En consecuencia, el área buscada viene dada por:
3
2
232
1
23 )254()254( dxxxxdxxxxA =
=
3
2
2342
1
234
22
5
3
4
42
2
5
3
4
4
x
xxxx
xxx=
= 2
3
3
2
4
3
12
7
3
2
NOTA. Aunque no es necesario hacer la gráfica es conveniente
hacerla para visualizar mejor el problema.
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