José María Martínez Mediano

Integral definida 1

PROBLEMAS DE INTEGRALES DEFINIDAS

1. Calcula el valor de la siguiente integral:

3

0 1

11dx

x

xx

Solución:

Descomponiendo la expresión del integrando:

1

11

1

1

1

1

1

11

xx

x

x

x

x

xx

Por tanto:

5243121

11

1

11 3

0

3

0

3

0

xxdxx

dxx

xx

NOTA: La integral dxx 1

1 es inmediata, pues

cxdxx

dxx

12

12

12

1

1

2. Calcula el área encerrada entre las gráficas de la recta y = x + 2 y la parábola 2xy

Solución:

El área encerrada entre ambas curvas es la sombreada en la figura

adjunta.

La parábola y la recta se cortan en las soluciones del sistema

2

2

xy

xy, que son (1, 1) y (2, 4); puntos de abscisas

x = 1 y x = 2.

Por tanto, el área pedida viene dada por la integral

A = 2

9

3

12

2

1

3

842

32

22

2

1

322

1

2

xx

xdxxx

3. Dibuja la función 323)( xxxf . Encuentra el área limitada por la curva y el eje X

entre x = 1 y x = 2.

Solución: 323)( xxxf )2(336)( 2 xxxxxf xxf 66)´´(

La derivada primera se anula en x = 0 o x = 2. Luego:

si x < 0, f ´(x) < 0 f decrece

si 0 < x < 2, f ´(x) > 0 f crece en x = 0 hay un mínimo.

si x > 2, f ´(x) < 0 f decrece en x = 2 hay un máximo.

José María Martínez Mediano

Integral definida 2

La derivada segunda sea anula en x = 1, luego:

si x < 1, f ´´(x) > 0 f es convexa ()

si x > 0, f ´´(x) < 0 f es cóncava () en x

= 1 hay punto de inflexión

La curva corta a los ejes en los puntos (0, 0) y (3, 3). Dando

otros valores,{(1, 4); (1, 2); (2, 4); (4, 16)}, puede trazarse

la gráfica pedida.

El área pedida es la sombreada en la figura. Su valor es:

A = 2

1

32 )3( dxxx =

2

1

43

4

xx =

4

21

4

1148

4. Dibuja la función 327)( xxf , y calcula el área limitada por la curva y el eje X

entre x = 3 y x = 5.

Solución 327)( xxf 23)´( xxf xxf 6)´´(

Como f ´(x) < 0 para todo x, la función es siempre decreciente.

En x = 0 tiene un punto de inflexión, siendo convexa () si x

<0 y cóncava () cuando x > 0.

Cortes con los ejes:

si x = 0, f (0) = 27 punto (0, 27)

si y = 0, 3270 x , x = 3 punto (3, 0)

Dando otros valores: (2, 35); (1, 26); (2, 19); (4, 37), se

obtiene la figura adjunta.

El área pedida es:

A = dxxdxx

5

3

33

3

3 2727 =

=

5

3

43

3

4

427

427

xx

xx = 162 + 82 = 244

5. Halla el área del recinto limitado por las parábolas de ecuaciones respectivas

26 xxy e xxy 22 .

Solución:

El área pedida es la del recinto sombreado en la figura.

Los puntos de corte de ambas parábolas vienen dados por la

solución del sistema

José María Martínez Mediano

Integral definida 3

xxy

xxy

2

62

2

xxxx 26 22 2x(x 4) = 0 x = 0, x = 4.

El área vale:

A = 3

64

3

12864

3

2428)2(6

4

0

324

0

24

0

22

xxdxxxdxxxxx

6. Hallar el área comprendida entre las dos parábolas 2xy e 32 2 xy .

Solución:

La región es la sombreada en la siguiente figura.

Las curvas se cortan en los puntos (1, 1) y (1, 1), que son

las soluciones del sistema

32 2

2

xy

xy

Como 2xy va por debajo de 32 2 xy en el intervalo

(1, 1), el área viene dada por:

4)2(23)33()32(1

1

31

1

21

1

22 xxdxxdxxxA

7. Calcula el valor de la siguiente integral:

e

dxx

x

12

ln

Solución:

Tomamos

dxx

dv

xu

2

1

ln

xv

dxx

du

1

1

Luego, cxx

xxd

xx

xdx

x

x

1ln1lnln22

Por tanto, e

dxx

x

12

ln =

e

e

eexx

xe

21

111ln

1

José María Martínez Mediano

Integral definida 4

8. Calcula el área encerrada por la gráfica de la función 1

)(2

x

xxf y el eje OX, entre

las abscisas 0 y 1.

Solución:

Como la función es positiva para x > 0, el área pedida es viene dada por la integral

A = 2

2ln)1ln(

2

1

1

2

2

1

1

1

0

21

02

1

02

xdxx

xdx

x

x

NOTA: Aunque no sea necesario, es bueno hacer un esbozo de su gráfica. En ella

indicamos, sombreada, la región de la que se pide

9. Halla el área encerrada por la gráfica de la función 254)( 23 xxxxf y las

rectas y = 0, x = 1 y x = 3.

Solución:

Nos interesa saber si la curva está por encima o por debajo del eje OX en el intervalo

que nos afecta. Para ello estudiamos el signo de la función.

Si descomponemos en factores se tiene:

254)( 23 xxxxf = )2()1( 2 xx

Habría que observar que x = 1 es una raíz de la función; dividiendo por Ruffini se

obtiene los otros factores.

Por tanto:

la función corta al eje en x = 1 y en x = 2

si x < 2, f(x) 0

si x > 2, f(x) > 0.

Con esto basta para saber que el recinto entre la recta y = 0, y entre

x = 1 y x = 2, está por debajo del eje OX. Análogamente, el recinto

correspondiente al intervalo (2, 3) está por encima del eje OX.

En consecuencia, el área buscada viene dada por:

3

2

232

1

23 )254()254( dxxxxdxxxxA =

=

3

2

2342

1

234

22

5

3

4

42

2

5

3

4

4

x

xxxx

xxx=

= 2

3

3

2

4

3

12

7

3

2

NOTA. Aunque no es necesario hacer la gráfica es conveniente

hacerla para visualizar mejor el problema.