integración por sustitución

Desarrollado por Lic. Oscar Ardila Chaparro

También llamada integral por cambio de variable, tiene una estrecha relación

con el método “regla de la cadena” en la derivada, de aquí que sea aplicable a

la integración de funciones compuestas.

A continuación se presenta un esquema donde se construye una función a

partir de la composición de f en g.

Para introducir la formula y las características de una integral susceptible de

aplicar el método de sustitución, empezamos por recordar la regla de la cadena

para la derivación. En la definición se resalta en verde lo que de ahora en

adelante llamaremos función interna.

Aplicando la integral en ambos lados de la igualdad.

La identificación de la siguiente estructura será el primer paso para la aplicación

del método de integración por sustitución. En rojo se resalta la anti derivada

(integral) de f (x).

Cabe resaltar que esta estructura puede presentarse de forma explicita o

implícita, y en este ultimo caso requeriremos de algunas transformaciones o

arreglos matemáticos para realizar la sustitución.

1- Identificamos la estructura para aplicar la sustitución.

2- Planteamos la sustitución bajo la siguienteconsideración.

De esta manera tenemos para la integral:

3- Realizando la sustitución:

4- Realizamos la nueva integral en términos de u:

5- Y volvemos nuevamente a establecer nuestrarespuesta (en naranja) en términos de la variableoriginal:

1- Identificamos la estructura para aplicar la sustitución.

Dado que la derivada.

No se aprecia explícitamente en la integral realizamos el siguiente despeje:

2- Planteamos la sustitución.

23 da u du

23

dadu

u

3- Dado que la integral posee limites es necesario un cambio delos mismos antes de plantear la nueva integral.

4- De esta manera planteamos la nueva integral:

5- Solucionamos la nueva integral como sigue:

6- Evaluando finalmente la integral:

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