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INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4.º ESO opción BUnidad 9: Funciones
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9 Funciones
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ESQUEMA
Las funciones no tienen una forma única de expresión, y sin embargo, de todas ellas podemos extraer propiedades.
ACTIVIDAD
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G. W. Leibniz
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Enlace a la biografía de
Leibniz
Trabajando por separado y con métodos distintos, Newton antes y sin
dar publicidad a sus resultados, y Leibniz unos años después, pero
publicándolos antes, van a crear la herramienta más potente y universal de la historia de las Matemáticas y de
todas las ciencias: el Cálculo.
El calculo
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Esquema de contenidosFunciones
Coordenadas cartesianas
Concepto de función
Estudio de una función
Continuidad
Puntos de corte
Crecimiento y decrecimiento
Simetrías
Periodicidad
Representación gráfica
Tablas
Dominio y recorrido
Funciones definidas a trozos
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Coordenadas cartesianas
Las coordenadas de un punto P en el plano vienen determinadas por un par ordenado de números, x e y, llamados coordenadas cartesianas del punto, y se
escribe:
P (x , y)
SIGUIENTE
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Concepto de función
Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.
SIGUIENTE
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Concepto de función
Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.
No es función
Sí es función
SIGUIENTE
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Concepto de función
Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.
La variable x es la variable independiente, y es un valor prefijado.
Y la variable y es la variable dependiente, y su valor depende del valor de x.
No es función
Sí es función
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Función expresada mediante tabla de valores
Representar gráficamente los siguientes datos que relacionan las horas transcurridas desde la apertura de una exposición con el número de personas que asisten.
H
Nº
pers
onas
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 100 150 50 150 250 100 200 50
SIGUIENTE
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Dominio y recorrido
Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de la variable independiente que tienen
imagen.
Dom f(x)
El recorrido o la imagen de una función f(x) es todos los valores de la variable dependiente que son imagen de algún valor de la variable independiente.
Im f(x)
SIGUIENTE
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Dominio y recorrido
Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de la variable independiente que tienen
imagen.
Dom f(x)
El recorrido o la imagen de una función f(x) es todos los valores de la variable dependiente que son imagen de algún valor de la variable independiente.
Im f(x)
Dom f x =−∞ ,0 ]∪[2,5 ]∪[ 6,∞
I m f x =[0,∞∪{−1 } SIGUIENTE
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Funciones definidas a trozos
En ocasiones, no podemos dar la expresión algebraica de la función de forma global, pero sus valores responden a distintas expresiones dependiendo del intervalo en el que estamos.
Cuando definimos una función con expresiones parciales y se
especifica el dominio de cada una de ellas, estamos definiendo una
función a trozos.
SIGUIENTE
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Funciones definidas a trozos
En ocasiones, no podemos dar la expresión algebraica de la función de forma global, pero sus valores responden a distintas expresiones dependiendo del intervalo en el que estamos.
Cuando definimos una función con expresiones parciales y se
especifica el dominio de cada una de ellas, estamos definiendo una
función a trozos.
La función definida es:
+∞<≤+−<<−
−≤<∞=
x4 52
4 x 2− 2
2− 2
)(
x
x
x
xf
SIGUIENTE
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Propiedades de funciones
Continuidad
Puntos de corte
Crecimiento y decrecimiento
Simetrías
Periodicidad SIGUIENTE
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Función continua
Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo.
Es discontinua si su gráfica no se puede dibujar de un solo trazo.
Los puntos donde se corta el trazo de la función se llaman puntos de discontinuidad de la función.
SIGUIENTE
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Función continua
Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo.
Es discontinua si su gráfica no se puede dibujar de un solo trazo.
Los puntos donde se corta el trazo de la función se llaman puntos de discontinuidad de la función.
discontinua
continua
continua
discontinua
SIGUIENTE
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Puntos de corte
Los puntos de corte con los ejes coordenados de una función son los puntos de intersección de su gráfica con los ejes coordenados.
EJE X, y = 0
Son de la forma (a, 0).
Se hallan calculando los valores de la variable x, cuando la variable y toma el valor 0.
EJE Y, x = 0
Son de la forma (0, b).
Se hallan calculando los valores de la variable y cuando la variable x toma el valor 0.
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Puntos de corte
Los puntos de corte con los ejes coordenados de una función son los puntos de intersección de su gráfica con los ejes coordenados.
EJE X, y = 0
Son de la forma (a, 0).
Se hallan calculando los valores de la variable x, cuando la variable y toma el valor 0.
EJE Y, x = 0
Son de la forma (0, b).
Se hallan calculando los valores de la variable y cuando la variable x toma el valor 0.
(0, 2) corte con eje Y
(-3, 0) corte con eje X
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Crecimiento y decrecimientoUna función es creciente en un tramo si, al aumentar el valor de x, también aumenta el valor de y.
Una función es decreciente en un tramo si, al aumentar el valor de x, disminuye el valor de y.
SIGUIENTE
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Crecimiento y decrecimiento
Decreciente en (-∞, -5)
Decreciente en
(4, + ∞)
Creciente en (5, 4)
Una función es creciente en un tramo si, al aumentar el valor de x, también aumenta el valor de y.
Una función es decreciente en un tramo si, al aumentar el valor de x, disminuye el valor de y.
SIGUIENTE
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Máximos y mínimos
Mínimo en x = -5Máximo en x = 4
En los puntos donde la gráfica pasa de ser
creciente a decreciente
se dice que la función alcanza un máximo.
En los puntos donde la gráfica pasa de ser
decreciente a creciente
se dice que la función alcanza un mínimo.
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Simetrías
Simetría respecto del eje de ordenadas (eje Y)
o simetría par
Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando
f x = f −x
Simetría respecto del origen
o simetría impar
Una función es simétrica respecto del origen cuando
f −x =− f x
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Simetrías
f x =x2−4
f x =x35x
f x=x35x
f −x = [−x 35−x ]=[−x3−5x ]=−[ x35x ]=− f x
)()( par xfxfSimetría −=
)()( impar xfxfSimetría −−=
SIGUIENTE
f x=x2−4f −x=−x 2−4=x2−4
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Periodicidad
Una función es periódica si su gráfica, o las imágenes de los valores de x, se repiten cada cierto intervalo. A la longitud del intervalo, T, se le llama periodo.
periodo T =2
Conocido el valor de la función en un intervalo de amplitud T, se puede construir el resto de la
gráfica trasladándola a la derecha e izquierda por
todo el dominio.
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Estudio de una función IDominio:
Recorrido:
Puntos de corte:
P(0,0) 0 x
P(-5,0) -5 x: X==Eje
P(0,0) 0 y: Y =Eje
Continuidad:
Crecimiento y decrecimiento:
Máximos y mínimos:
Simetría
Pperiodicidad.
) (0, ,-3)(- creciente
(-3,0) ∞+∪∞
edecrecient
,0)0( en mínimo
(-3,3) en áximom
Dom f x =−∞ ,∞ℝtodos los números reales
Im f x =−∞ ,∞ℝtodos los números reales
la función es continua.
No
No
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Estudio de una función IIDominio:
Recorrido:
Puntos de corte:
Continuidad:
Crecimiento y decrecimiento:
Máximos y mínimos:
Simetría.
Periodicidad
Im f x =−∞ ,12 ]
La función NO es continua.en todos los puntos. En el intervalo (-4,-2) no está definida
Dom f x =ℝ−−4 ,−2
P.C. eje X : x=−4 ; x=−2 ; x=2 ; x=10P.C. ejeY : y=−4
f en −∞ ,−4∪0,4f en −2,0∪4,∞
Máximo relativo en x=4Mínimo relativo en x=0
No
No
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Enlaces de interés
DivulgaMat
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Diccionario matemático
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Actividad: La función lineal y la función afín
En la sección chilena de la Editorial Santillana, se propone una actividad en la que se podrá realizar la gráfica de la función f (x)= ax + b y g (x)= mx + n para distintos valores de la variable x y los parámetros m, n, a y b.
Para conocerlo, sigue este enlace.
Dirección:
http://www.santillana.cl/mat2/unidad3b.htm
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