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INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción BUnidad 4: Ecuaciones e inecuaciones
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4 Ecuaciones e inecuaciones
INTERNET
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ESQUEMA
En muchas ocasiones el modelo óptimo se consigue
mediante sistemas de ecuaciones.
ACTIVIDAD
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Adivina números
Busca en la web
Gauss
Adivina números
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Esquema de contenidos
Ecuaciones e inecuaciones
Ecuaciones de 1er grado
Ecuaciones bicuadradas
Otras ecuaciones
Con fracciones algebraicasOtras
Inecuaciones
Con una incógnita
Con dos incógnitas
Sistemas
Sistemas de ecuaciones
Clasificación
Resolución
Ecuaciones de 2º grado
Soluciones
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Elementos de una ecuación de primer grado Miembro: en toda ecuación hay dos expresiones separadas por un signo igual. La expresión situada a la derecha es el primer miembro y la de la izquierda es el segundo miembro.
Término: es cada uno de los sumandos de los miembros.
Término independiente: es el miembro formado por un solo número.
Incógnitas: son las letras cuyos valores desconocemos.
Grado: es el mayor de los exponentes con los que figura la incógnita.
Incógnita x
Grado 1
SIGUIENTE
72575
miembro
términos
segundomiembroprimer
xx +=+
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SolucionesSoluciones. Son los valores de la incógnita que hacen que la igualdad sea cierta.
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o les resta el mismo número se obtiene otra ecuación equivalente. Si a los dos miembros de
una ecuación se les multiplica o les divide por el mismo número (distinto de cero) se obtiene otra ecuación equivalente.
SUMAR +
RESTAR -
SUMAR +
RESTAR -
MULTIPLICAR x
DIVIDIR :
Resolver una ecuación es encontrar su solución o sus soluciones.
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Resolución de ecuaciones de primer gradoResolución de ecuaciones sencillas
xx 2534 +=−
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
xxpasa
25343 como
+=−+
Agrupamos los números en el 2º miembro
Resolución de ecuaciones sencillas
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
xxpasa
25343 como
+=−+
32542
++=− xcomopasa
xx
Agrupamos los números en el 2º miembro
Agrupamos las x en el 1er miembro
Resolución de ecuaciones sencillas
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
xxpasa
25343 como
+=−+
32542
++=− xcomopasa
xx
Agrupamos los números en el 2º miembro
Agrupamos las x en el 1er miembro
3524 +=− xx
Resolución de ecuaciones sencillas
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
xxpasa
25343 como
+=−+
32542
++=− xcomopasa
xx
Agrupamos los números en el 2º miembro
Agrupamos las x en el 1er miembro
3524 +=− xx
42
882 ==→= xx
Operamos
Resolución de ecuaciones sencillas
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos los siguientes pasos:
1. Eliminar paréntesis.
xxx +=−⋅+−⋅ 4)2(15)13(10
2. Agrupar las x en un miembro y los números en el otro.
3. Reducir términos semejantes, si los hubiera.
4. Despejar x y hallar la solución.
Resolución de ecuaciones con paréntesis
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
xxx +=−+− 4153010130
Seguimos los siguientes pasos:
1. Eliminar paréntesis.
2. Agrupar las x en un miembro y los números en el otro.
3. Reducir términos semejantes, si los hubiera.
4. Despejar x y hallar la solución.
Resolución de ecuaciones con paréntesis
xxx +=−⋅+−⋅ 4)2(15)13(10
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
xxx +=−+− 4153010130
Seguimos los siguientes pasos:
1. Eliminar paréntesis.
2. Agrupar las x en un miembro y los números en el otro.
3013041510 −−=−−− xxx
3. Reducir términos semejantes, si los hubiera.
4. Despejar x y hallar la solución.
xxx +=−⋅+−⋅ 4)2(15)13(10
Resolución de ecuaciones con paréntesis
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
xxx +=−+− 4153010130
Seguimos los siguientes pasos:
1. Eliminar paréntesis.
2. Agrupar las x en un miembro y los números en el otro.
3013041510 −−=−−− xxx
3. Reducir términos semejantes, si los hubiera.
15626 −=− x
4. Despejar x y hallar la solución.
xxx +=−⋅+−⋅ 4)2(15)13(10
Resolución de ecuaciones con paréntesis
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
xxx +=−+− 4153010130
Seguimos los siguientes pasos:
1. Eliminar paréntesis.
2. Agrupar las x en un miembro y los números en el otro.
3013041510 −−=−−− xxx
3. Reducir términos semejantes, si los hubiera.
15626 −=− x
4. Despejar x y hallar la solución.
626
156 =−−=x
xxx +=−⋅+−⋅ 4)2(15)13(10
Resolución de ecuaciones con paréntesis
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos los siguientes pasos:3
1
5
1
2
2 −++=+ xxxResolución de ecuaciones con denominador
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos los siguientes pasos:
1. Eliminar denominadores.3
1
5
1
2
2 −++=+ xxxResolución de ecuaciones con denominador
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos los siguientes pasos:
1. Eliminar denominadores. m.c.m. (2, 5, 3) = 30 3
1
5
1
2
2 −++=+ xxxResolución de ecuaciones con denominador
)3
1(30)
5
1(30)
2
2(30
−++=+ xxx
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos los siguientes pasos:3
1
5
1
2
2 −++=+ xxxResolución de ecuaciones con denominador
)3
1(30)
5
1(30)
2
2(30
−++=+ xxx)1(10)1(6)2(15 −++=+ xxx
1. Eliminar denominadores. m.c.m. (2, 5, 3) = 30
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos los siguientes pasos:3
1
5
1
2
2 −++=+ xxxResolución de ecuaciones con denominador
2. Eliminar paréntesis.
)3
1(30)
5
1(30)
2
2(30
−++=+ xxx)1(10)1(6)2(15 −++=+ xxx
1. Eliminar denominadores. m.c.m. (2, 5, 3) = 30
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos los siguientes pasos:3
1
5
1
2
2 −++=+ xxxResolución de ecuaciones con denominador
2. Eliminar paréntesis.
)3
1(30)
5
1(30)
2
2(30
−++=+ xxx)1(10)1(6)2(15 −++=+ xxx
1010663015 −++=+ xxx
1. Eliminar denominadores. m.c.m. (2, 5, 3) = 30
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos los siguientes pasos:3
1
5
1
2
2 −++=+ xxx
3. Agrupar las x en un miembro y los números en el otro.
Resolución de ecuaciones con denominador
2. Eliminar paréntesis.
)3
1(30)
5
1(30)
2
2(30
−++=+ xxx)1(10)1(6)2(15 −++=+ xxx
1010663015 −++=+ xxx
1. Eliminar denominadores. m.c.m. (2, 5, 3) = 30
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos los siguientes pasos:3
1
5
1
2
2 −++=+ xxx
3. Agrupar las x en un miembro y los números en el otro.
Resolución de ecuaciones con denominador
2. Eliminar paréntesis.
)3
1(30)
5
1(30)
2
2(30
−++=+ xxx)1(10)1(6)2(15 −++=+ xxx
1010663015 −++=+ xxx
1063010615 −+−=−− xxx
1. Eliminar denominadores. m.c.m. (2, 5, 3) = 30
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos los siguientes pasos:3
1
5
1
2
2 −++=+ xxx
3. Agrupar las x en un miembro y los números en el otro.
4. Reducir términos semejantes, si los hubiera.
Resolución de ecuaciones con denominador
2. Eliminar paréntesis.
)3
1(30)
5
1(30)
2
2(30
−++=+ xxx)1(10)1(6)2(15 −++=+ xxx
1010663015 −++=+ xxx
1063010615 −+−=−− xxx
1. Eliminar denominadores. m.c.m. (2, 5, 3) = 30
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos los siguientes pasos:3
1
5
1
2
2 −++=+ xxx
3. Agrupar las x en un miembro y los números en el otro.
4. Reducir términos semejantes, si los hubiera.
Resolución de ecuaciones con denominador
2. Eliminar paréntesis.
)3
1(30)
5
1(30)
2
2(30
−++=+ xxx)1(10)1(6)2(15 −++=+ xxx
1010663015 −++=+ xxx
1063010615 −+−=−− xxx
341 −=− x
1. Eliminar denominadores. m.c.m. (2, 5, 3) = 30
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos los siguientes pasos:3
1
5
1
2
2 −++=+ xxx
3. Agrupar las x en un miembro y los números en el otro.
4. Reducir términos semejantes, si los hubiera.
5. Despejar x y hallar la solución.
Resolución de ecuaciones con denominador
2. Eliminar paréntesis.
)1(10)1(6)2(15 −++=+ xxx
1010663015 −++=+ xxx
1063010615 −+−=−− xxx
341 −=− x
1. Eliminar denominadores. m.c.m. (2, 5, 3) = 30
SIGUIENTE
30 x22 =30 x1
5 30 x−13
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Seguimos los siguientes pasos:3
1
5
1
2
2 −++=+ xxx
3. Agrupar las x en un miembro y los números en el otro.
4. Reducir términos semejantes, si los hubiera.
5. Despejar x y hallar la solución.
Resolución de ecuaciones con denominador
2. Eliminar paréntesis.
30 x22 =30 x1
5 30 x−13 15 x2 =6 x1 10 x−1
1010663015 −++=+ xxx
1063010615 −+−=−− xxx
341 −=− x
341
34 =−
−=x
1. Eliminar denominadores. m.c.m. (2, 5, 3) = 30
30 x22
=30 x1
5
30x−13
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Ecuaciones de segundo gradoUna ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica con las siguientes características:
• Tiene una única incógnita.
• Alguno de sus términos es de grado 2 y no contiene términos de grado mayor que 2.
02 =++ cbxaxa, b y c son números Reales conocidos y 0≠a
0352 2 =++ xx 3c 5b 2 ===a
Ecuación Coeficientes
0422 =−+− xx 4−c 2b 1 ==−=a
0c 9b 3 ===a093 2 =+ xx
SIGUIENTE
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Ecuaciones de segundo grado
FORMA SOLUCIÓN
COMPLETA
INCOMPLETA
FORMA SOLUCIÓN
02 =++ cbxax 0,, ≠cbaa
acbbx
2
42 −±−=
02 =+ b xa x
02 =+ cax
02 =ax
0b ,0 =≠a
0c ,0 =≠a
0c 0,b ,0 ==≠a
a
cx
−±=
0)(02 =+→=+ baxxbxax
0=x
−=
=
a
bx
xsolucionesDos
2
1 0:
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de segundo grado. CompletasCASO 1: 04b 0 22 >−=∆=++ accbxax
a
acbbx
2
42 −±−=
0652 =++ xxa) 6c 5b 1 ===a
−=−−
−=+−
=±−=±−=
=−±−=⋅
⋅⋅−±−=
32
15
22
15
2
15
2
15
2
24255
12
61455 2
x
Las soluciones son x = −2 y x = −3.
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de segundo gradoCASO 1:
a
acbbx
2
42 −±−=
0962 =+− xxb) 9c 6-b 1 ===a
=−
=+
=±=±=
=−±=⋅
⋅⋅−−±−−=
32
06
32
06
2
06
2
06
2
36366
12
914)6()6( 2
x
La solución es doble: x = 3.
04b 0 22 =−=∆=++ accbxax
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de segundo gradoCASO 1:
a
acbbx
2
42 −±−=
0232 2 =−+− xxc) 2−c 3b 2 ==−=a
No existe ninguna solución.
04b 0 22 <−=∆=++ accbxax
473
41693
)2(2
)2()2(433 2
−−±−=
=−
−±−=−⋅
−⋅−⋅−±−=x
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de segundo grado. IncompletasCASO 2: 02 =+ cax
044 2 =−xa)Despejamos x
44 2 =x
14
42 ==x 12 =x 11 ±=±=x
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de segundo grado. IncompletasCASO 2:
044 2 =−xa)Despejamos x
44 2 =x
14
42 ==x 12 =x 11 ±=±=x
0105 2 =+xb)Despejamos x
105 2 −=x
25
102 −=−=x 22 −=x 2−±=x
No hay solución
02 =+ cax
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de segundo grado. IncompletasCASO 3: 02 =+ bxax
a) 036 2 =− xxFactor común
0)12(3 =−xx
0)12(3 =−xx
==−
==
2
1 x 012
0 x 03
x
x
SIGUIENTE
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Resolución de ecuaciones de segundo grado. IncompletasCASO 3:
a) 036 2 =− xxFactor común
0)12(3 =−xx
0)12(3 =−xx
==−
==
2
1 x 012
0 x 03
x
x
b) 0102 2 =+ xxFactor común
0)5(2 =+xx
0)5(2 =+xx
02 =+ bxax
−==+==
5 x 05
0 x 02
x
x
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Ecuaciones bicuadradasUna ecuación bicuadrada es una ecuación de grado 4 sin términos de grado 3 ni de grado 1.
024 =++ cbxaxa, b y c son números reales y a es distinto de 0.
SIGUIENTE
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Ecuaciones bicuadradasUna ecuación bicuadrada es una ecuación de grado 4 sin términos de grado 3 ni de grado 1.
024 =++ cbxaxa, b y c son números reales y a es distinto de 0.
Ejemplo:
03613 24 =+− xx
z
hacemos
=2 x
cambio el
03613 24 =+− xx 036132 =+− zz
===±=⋅⋅−±= 4
92
5132
361413132
12
zzz
4 y x9 x:tenemos , xComo 222 === z
=−=→±=→= 3
39x92
x2
x1 x
=−=→±=→= 224x4
2
x4
x3x
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Ecuaciones con fracciones algebraicas
122
=+−
xx
x
2
2
2
)2(212
2 −−=
−−+→=+
− x
x
x
xxxx
x
x
2)2(22
2
2
)2(2 −=−+→−−=
−−+
xxxxx
x
x
xxx
02422422)2(2 22 =+−→−=−+→−=−+ xxxxxxxxxx
==
=±=−±=1
1
4
04
4
16164
2
1
x
xx
simplificamos
operamos
Resolvemos la ecuación de 2º grado
2)1 ,2.(.. −=−→ xxmcmHallamos el mcm de los demnominadores
SIGUIENTE
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Ecuaciones del tipo 0...)()( =⋅−⋅− bxax
0)6)(2)(1( 2 =+−−− xxxx
0)1( =−x
0)2( =−x
0)6( 2 =+− xx
11 =x
22 =x
=−=
=±=+±=3
2
2
51
2
2411
4
3
x
xx
3. y x2 x,2 x,1 x 4321 =−===
Igualamos a cero cada factor:
Las soluciones son:
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Dos ecuaciones lineales de las que se busca una solución común:
Sistemas de ecuaciones lineales
Forman un sistema de ecuaciones lineales.
=+=+
''' cybxa
cbyax
Una solución del sistema es todo par de números que verifican las dos ecuaciones
a la vez.
Resolver un sistema es encontrar una solución.
SIGUIENTE
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ANTERIOR SALIR
Los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican, atendiendo a su número de soluciones, en:
Sistemas de ecuaciones lineales
• Compatible determinado: el sistema tiene una solución única.
• Compatible indeterminado: el sistema tiene infinitas soluciones.
• Incompatible: el sistema no tiene solución.
SIGUIENTE
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ANTERIOR SALIR
Para resolver un sistema por el método de sustitución despejamos una incógnita en una de las ecuaciones y sustituimos su valor en la otra.
Métodos de resolución de sistemas
Para resolver un sistema por el método de igualación despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualamos sus valores.
Para resolver un sistema por el método de reducción buscamos otro sistema equivalente, en el que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales o de signo opuesto.
Sustitución
Igualación
Reducción
SIGUIENTE
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ANTERIOR SALIR
Para resolver un sistema por el método de sustitución despejamos una incógnita en una de las ecuaciones y sustituimos su valor en la otra.
Métodos de resolución de sistemas. Sustitución
Despejamos una incógnita en una ecuación
Sustituimos en la otra ecuación
92)3( =++ yy
Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta
3-93y , 923 ==++ yy
23
6y ==
Calculamos la otra incógnita en una de las dos ecuaciones
5 x, 32 ==−x
Solución: x = 5 e y = 2
SIGUIENTE
x− y = 3x2y = 9 } x = 3 y
x2y = 9 }
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ANTERIOR SALIR
Para resolver un sistema por el método de igualación despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualamos sus valores.
Métodos de resolución de sistemas. Igualación
=+=−
92
3
yx
yx Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones
−=+=yx
yx
29
3
Igualamos las incógnitasyy 293 −=+
Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta
23
6 y, 6 3y , 392 ===−=+ yy
Calculamos la otra incógnita en una de las dos ecuaciones5 x, 23 =+=x
Solución: x = 5 e y = 2 SIGUIENTE
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Para resolver un sistema por el método de reducción buscamos otro sistema equivalente, en el que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales o de signo opuesto.
Métodos de resolución de sistemas. Reducción
=+=−
923
3
yx
yxIgualamos los coeficientes de una de las incógnitas
=+=−⋅923
)3(3
yx
yx
=+=−
923
933
yx
yxRestamos o sumamos las ecuaciones para eliminar una incógnita
05y-
923
933
=
=+=−
−yx
yx
Resolvemos
05
0 =−
=yCalculamos la otra incógnita en una de las dos ecuaciones
3 x, 30 ==−x
Solución: x = 3 e y = 0
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Una inecuación es una desigualdad algebraica.
Se compone de dos expresiones algebraicas separadas por los signos:
Inecuaciones
≥≤
SIGUIENTE
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Inecuaciones con una incógnita
1653x-2x −≥+ x
7705322602653x-2x −≥→−+−−≥→−≥+ xxxxx
07-7x ecuación la =resolvemos 1x =
( ) ( ) ( ) -25 206503020x ≥→−≥+−→=
Es solución
( ) ( ) ( ) 103 226523222x ≥→−≥+−→=
No es solución
La solución es: ( ] 1 ,∞−SIGUIENTE
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Inecuaciones con dos incógnitas
532x +≥+ y
y2-2x 532532x ≥→≥−+→+≥+ yxy
( ) 53 503020 y , 0x ≥→+≥+→==
No es solución
No es solución
( ) 57 503220 y , 2x ≥→+≥+→==
La solución es la porción del plano que contiene el punto x = 2, y = 0.
)0,2(P
yx =− 22
x
y
y2-2x ecuación: la =mosRepresenta
SIGUIENTE
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Sistemas de inecuaciones
<−<+
352
23x x
1−<x
4<xLa solución del sistema es:
4x 82x 532x 35−2x−1 x 23
<→<→+<→<<→<+x
Representamos los dos intervalos y elegimos el intervalo que verifica las dos inecuaciones.
( ) 1− ,∞−
SIGUIENTE
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La solución es la porción del plano que contiene el punto x = 0, y = −1.
Sistemas de inecuaciones con dos incógnitas
≥−≤+
0
0yx
yx
−x y 0y x ≤→≤+
Representamos
y x 0y− x ≥→≥
xy =xy −=
01− 0101 y , 0x ≥→≤+→−==
01 0)1(01 y , 0x ≥→≥−−→−==
)1,0( −P
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Enlaces de interés
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Actividad: El cubo del binomio
Dirección: http://www.santillana.cl/mat2/unidad5d.htm
En la sección chilena de la Editorial Santillana, en esta actividad aparece un vídeo donde se muestra cómo se resolvió equivocadamente un sistema de ecuaciones usando cambio de variables.
Para desarrollarla, sigue este enlace.
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