ingeniería de control m.c adrián garcía mederez capítulo 2 sesión 6 #1 capÍtulo 2 modelaciÓn...

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Capítulo 2

Sesión 6

#1

CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2

MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA

INGENIERÍA DE CONTROLINGENIERÍA DE CONTROL

Sesión 6Sesión 6

Objetivo:Objetivo: El objetivo de este apartado es dotar a los alumnos de El objetivo de este apartado es dotar a los alumnos de los conocimientos y de las habilidades necesarias para la los conocimientos y de las habilidades necesarias para la representación matemática del comportamiento de representación matemática del comportamiento de componentes de sistemas de control analógico lineal y sistemas componentes de sistemas de control analógico lineal y sistemas completos, para que adquiera lacompletos, para que adquiera la CompetenciaCompetencia de Modelación de Modelación Matemática y algunas representaciones gráficas.Matemática y algunas representaciones gráficas.

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#2

Ejemplo de construcción delDiagrama o Gráfica de Flujo de Señal

CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA

Del circuito eléctrico de la Figura se pueden deducir las Ecuaciones

)( 2132 iiRv

243 iRv

2111 viRv

3222 viRv

Construya un diagrama de flujo de señal para el circuito eléctrico dado en la siguiente Figura:

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#3

CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA

Haciendo el análisis por corrientes, tenemos las ecuaciones:

)( 2132 iiRv

243 iRv

2111 viRv

3222 viRv

21

11

1

11v

Rv

Ri

23132 iRiRv

32

22

2

11v

Rv

Ri

243 iRv

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#4

CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA

Gráficas de Flujo de Señales individuales:

21

11

1

11v

Rv

Ri

23132 iRiRv

32

22

2

11v

Rv

Ri

243 iRv

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#5

CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA

Construyendo la Gráfica de Flujo de Señal completa:

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#6

Gráficas de Flujo de Señal individuales:

Construcción del Diagrama o Gráfica de Flujo de Señal para ecuaciones Construcción del Diagrama o Gráfica de Flujo de Señal para ecuaciones simultáneas.simultáneas.

3432424

3332321313

3231212

xAxAx

xAxAxAx

xAxAx

CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA

Ecuación 1.-

Ecuación 2.-

Ecuación 3.-

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#7

x1 A 21 A 32 A 43

A 23

A 42

A 31

x2

x 3 x4

A 33

Construyendo el Diagrama o Gráfica de Flujo de Señal completo:Construyendo el Diagrama o Gráfica de Flujo de Señal completo:

CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA

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#8

Otra forma de construcción del Diagrama o Gráfica de Flujo de Señal Otra forma de construcción del Diagrama o Gráfica de Flujo de Señal para ecuaciones simultáneas.para ecuaciones simultáneas.

En la Figura tenemos el mismo Diagrama de Flujo de Señal de la Figura anterior pero reacomodado para mejorar la comprensión del mismo.

CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA

x 1

A 21

A 31

A 33

A 32 A 23

A 42

A 43

x 2

x 3

x 4

3432424

3332321313

3231212

xAxAx

xAxAxAx

xAxAx

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#9

Utilizar la Fórmula de Mason para obtener la F.T. del Utilizar la Fórmula de Mason para obtener la F.T. del circuito eléctrico resistivo anterior.circuito eléctrico resistivo anterior.

En la Figura se muestra el Diagrama de Flujo de Señal del circuito eléctrico del Ejemplo anterior, apliquemos la Fórmula de Mason a este diagrama de flujo de señal y determinemos la ganancia (F.T.) .

v 1 1 /R 1 1 /R 2

- 1 /R 2- 1 /R 1

i1 R 3 R 4 1

- R 3

v 2 i2 v 3 v 3

CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA

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#10

1.- Trayecto(s) Directo(s) y sus ganancias: Hay una sola trayectoria directa, en el diagrama de la Figura, de la cual su ganancia se muestra enseguida:

v 1 1 /R 1 1 /R 2i1 R 3 R 4 1v 2 i2 v 3 v 3

21

434

23

1

322111

11RRRR

RR

RR

vivivPK

CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA

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#11

2.- Lazos distintos y sus ganancias: En el diagrama hay tres lazos que se muestran en la Figura siguiente y que tienen como ganancia la representada por las Ecuaciones

2

4

242323

2

33

2

2222

1

3

131211

1L

1L

1L

RR

RRivi

RR

RR

viv

RR

RRivi

CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA

- 1 /R 1

R 3

- 1 /R 2

R 41 /R 2

- R 3

i1 v2 v2 i2 i2 v3

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#12

3.- Lazos disjuntos: Como los lazos 1 y 3 no se tocan entonces tenemos:

3y1 LL

CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA

4.- Determinante del Gráfico: Como no hay tres lazos que no se toquen entonces tenemos el como:

21

4341313221

21

4314132321

21

43

2

4

2

3

1

3

2

4

1

3

2

4

2

3

1

331321

1

1L*LLLL1

RRRRRRRRRRRR

RRRRRRRRRRRR

RRRR

RR

RR

RR

RR

RR

RR

RR

RR

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Capítulo 2

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#13

5.- Cofactores: Ya que todos los lazos tocan a la única trayectoria entonces tenemos:

4341313221

43

1

3

21

4341313221

21

43

11

1

3

: tenemosmedios,por medios entre extremospor extremos Haciendo

P

RRRRRRRRRR

RR

v

v

RR

RRRRRRRRRR

RR

RR

v

v KK

CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA

1P 1K1K

6.- Salida/Entrada: Finalmente tenemos la F.T. de circuito eléctrico: