històries i matemàtiques sobre el temps, els calendaris i...

La mesura del temps

Històries i matemàtiques sobre el temps, els calendaris i els rellotges

Jordi Deulofeu

Universitat Autònoma de Barcelona

Barcelona, 31 de gener 2014

Guió de la sessió

• 1. Mesura del temps “gran”: calendaris • Els primers calendaris

• El calendari julià

• El calendari gregorià

• Altres calendaris

• 2. Mesura del temps “petit”: rellotges • Les unitats de temps: hores, minuts, segons…

• Rellotges de Sol: història i tipus

• Altres rellotges: Clepsidres i rellotges de sorra

• Dels primers rellotges mecànics fins avui

Sobre el concepte de temps

• El temps és un concepte físic que tots experimentem quotidianament, però que resulta difícil de definir formalment.

• Podem dir que és una magnitud física amb la qual mesurem la durada o separació d'esdeveniments subjectes a canvi. Partim de la idea que els esdeveniments físics tenen lloc un darrere l'altre, i que el temps és l'escala en què aquests esdeveniments tenen lloc.

• A més del concepte físic, podem parlar de la idea filosòfica o de la percepció psicològica del temps.

L’origen de la mesura del temps

• Per mesurar cal determinar unitats, i per mesurar el temps cal la

repetició d’una unitat perceptible (cicles dels moviments dels astres).

• El cicle dia - nit és el primer observable, però no és estable. Si que

ho és el dia complet (temps entre dues posicions iguals del Sol o

d’un astre).

• Cal distingir entre dia solar i dia sideri. Aquest és 3 minuts 56 segons

més curt que el dia solar: en un any hi ha 365 dies solars i 366 dies

sideris.

• El moviment al voltant del Sol no és uniforme: quan un planeta gira al

voltant del Sol ho fa més lent quan més lluny és d’aquest (lleis de

Kepler)

La definició de “mes”

Un altre cicle perceptible:

El temps que triga la Lluna en fer una òrbita a la Terra

(cicle lunar, o mes) varia entre 29 dies i 6 hores i 29 dies

i 20 hores.

Mitjana: 29.53055 dies, o bé,

29 dies 12h 44 m

Per això, els mesos d’origen lunar són de 29 o de 30

dies.

Els primers calendaris

• Els calendaris són sistemes de còmput del temps i es basen en les unitats: dia (setmana), mes i any.

• El nom ve del grec kalendas (inici d’un cicle)

• Els més antics eren lunars i, posteriorment, tracten d’encaixar els mesos amb els anys (mesura solar).

• Funció principalment religiosa; també agrícola i, posteriorment, d’ordenació de la vida civil.

• Per numerar els anys cal determinar un origen (inici de l’era corresponent)

El calendari a babilònia

• Grans astrònoms en l’observació i el còmput.

• Inicialment any de 12 mesos de 30 i 29 dies (cada dos mesos equivalen a dues llunes).

• Any de 354 dies. Primer, cada cert temps s’intercala un mes (any de 13 mesos). Al s. V a. C., es fixa afegir 7 mesos cada 19 anys (cicle de Metó: 19 anys solars = 235 mesos lunars).

• Setmanes de 7 dies.

• Determinació precisa de les efemèrides (Lluna, Sol, estrelles i planetes). Divisió de la volta celeste en 12 parts (signes del zodíac).

• Astronomia i astrologia romanen juntes (importància de la predicció: qui és capaç de predir posseeix el poder)

El calendari egipci

Inicialment 12 mesos de 30 dies.

Tres setmanes al mes (de 10 dies).

Una reforma (sembla que del 2782 a.C.) afegeix 5 dies

al final de l’any.

És l’únic calendari antic de tipus solar

Bona aproximació per preveure les crescudes del Nil.

Observació de les posicions de l’estel Sírius (el més

brillant) i de les posicions del Sol (solsticis i equinoccis)

Detall d’un calendari egipci

El Calendari hebreu D’influència babilònica. Caràcter

religiós. Calendari lunar (inici de

l’any a la tardor)

Importància (religiosa) del 7:

• setmana de 7 dies (el 7è dia

descansaràs)

• 7 setmanes (Festa del dia 50,

Pentecostès)

• 6 anys sembraràs i el 7è deixaràs

descansar la terra.

És el calendari més antic encara

vigent: Ara són a l’any 5775. La

seva era s’inicià el 3761 a. C.

Des del s. IV a. C. usen el cicle

de Metó, dels babilonis.

L’antic calendari Llatí

Calendari lunar de 10 mesos (inici març), amb mesos de 29, 30 i 31 dies, i amb una “estació morta” (hivern inactiu) que donà lloc als mesos de gener (deu Janus) i de febrer (mes de les “purgacions” – neteges).

Any de 355 dies, al qual s’afegia un mes (Mercedonius / variable / 22 dies), entre el 23 i el 24 de febrer, de tant en tant (amb això es tenia un any de 377 dies).

Un calendari “dolent” (que ajusta malament) però que ens ha llegat gran part de l’estructura i els noms actuals.

El calendari julià (Roma, 40 a.C.)

• Al segle I a.C. a Roma hi havia un gran desordre en el calendari i

s’afegien dies discrecionalment.

• Juli Cèsar va cridar l’astrònom Sosígenes d’Alexandria per posar

ordre, reformar el calendari i ajustar-lo als moviments estel·lars.

• Es va decidir establir un calendari solar amb inici l’any 708 de la

creació de Roma (46 a. C.)

• Any de 365 dies (cada 4 anys un més – bisext -)

• L’any comença al gener, i el dia de mes dels anys bisextos, o de

traspàs, s’afegeix entre el 23 i 24 de febrer (bisextus significa sisè

bis, sis dies abans de l’1 de març).

Etimologies del nostre calendari

• Dies de la setmana: els set astres errants (Sol, Lluna i els 5 planetes visibles)

• El dia de Saturn i el del Sol es canvien pel Sabath

i el Domenicus (en anglès es conserven)

• Els noms dels mesos: • Martius, Aprilis, Maius, Iunius noms de deus

romans.

• Julius i Augustus noms d’emperadors.

• Un record a l’emperador Trajà, gràcies al qual encara tenim els noms de: setembre (7), octubre (8), novembre (9) i desembre (10) que recorden el lloc que ocupaven quan l‘inici de l’any era al març.

Determinació de la Pasqua

• El diumenge de Pasqua és el primer diumenge després de la

primera Lluna plena de primavera. (Data variable)

• Per exemple, l’any 2014 serà:

– Equinocci de primavera: 21 de març

– 1ª Lluna plena de primavera: dimarts, 15 d’abril. – Data de la Pasqua: diumenge 20 d’abril.

• Per setmana santa sempre hi ha un dia en què és lluna plena.

• La data de la Pasqua pot variar entre el 21 de març i el 25 d’abril.

El calendari gregorià (1582)

A finals del s. XVI el calendari julià estava desfasat mes de 10 dies, i la pasqua podia caure lluny de la primavera.

El papa Gregori XIII va decidir emprendre una reforma per ajustar millor el calendari, i va encarregar-la al jesuïta alemany Clavius.

L’any 1582 es van suprimir 10 dies (del 4 es va passar al 15 d’octubre) als països catòlics. En altres països la reforma es va fer molt més tard.

Els anys de traspàs seguien essent els múltiples de 4, però cada 400 anys calia eliminar-ne 3, els acabats en 00 i tals que la resta del nombre no fos múltiple de 4: 1700, 1800, 1900, 2100,…

Coexistència dels calendaris julià i gregorià

• El calendari gregorià s’accepta d’entrada només

als països de religió catòlica - romana. • Santa Teresa va morir el 4 d’octubre de 1582 i fou enterrada

el dia següent, que va ser el 15 d’octubre.

• Alemanya l’accepta el 1700 i Anglaterra el 1752 • Shakespeare i Cervantes van morir tots dos el 23 d’abril de

1616 però no era el mateix dia!!!

• Rússia no l’accepta fins entrat el segle XX • La revolució dita d’octubre (1917) va ser al novembre.

Nivell d’ajust dels calendaris

solars a l’any tròpic

• Calendari egipci (any de 365 dies)

– Error per defecte de: 0.2422 dies per any que equival a 0.9688 dies cada

quatre anys.

• Calendari julià (any de 365 / 366 dies)

– Error per excés de: 0.0078 dies per any que equival a 1 dia cada

128 anys i 3.12 dies cada quatre-cents anys.

• Calendari gregorià (any de 365 / 366 dies)

– Error per excés de 0,000303 dies per any que equival a un dia cada 3300 anys (aproximadament).

Calendari universal i

perpetu que conté

la concordança

entre els calendaris:

julià, gregorià,

copte, àrab, turc i

persa

Calendari musulmà

És lunar amb 12 mesos on

s’alternen 30 i 29 dies

(354 dies/any).

Per ajustar-se amb la lluna,

de cada 30 anys n’hi ha 11

que tenen un dia més (355).

34 anys musulmans són

33 anys julians (aprox.)

L’era s’inicià el dia 17

de juliol de l’any 622 d. C.

El Ramadà és el 9è mes

de l’any i té 30 dies.

Algunes dates curioses de l’any 2012

El calendari té dates que són curioses pels

nombres que les constitueixen:

Repetició de nombres: 12 – 12 – 12

20 – 12 – 2012

Nombres seguits: 10 – 11 – 12

20 – 11 – 2012

Dates capicua: 21 – 11 – 12

21 – 02 - 2012

Dates capicues espectaculars (I)

• Ara fa poc més de 10 anys, el 20 de febrer

de 2002, un rellotge - calendari marcava:

20 : 02 / 20 – 02 – 2002

un magnífic capicua de 12 xifres format

per tres capicues iguals de 4 xifres.

Quantes vegades es pot donar aquesta

coincidència tan especial?

Dates capicues espectaculars (II)

• Aquesta coincidència només es dona quatre

vegades (tres de les quals ja han passat):

10 : 01 / 10 – 01 / 1001

11 : 11 / 11 – 11 / 1111

20 : 02 / 20 – 02 / 2002

21 : 12 / 21 – 12 / 2112

Hi ha coincidències que són freqüents i

altres no tant

A la xarxa el desembre del 2012 es comentà que el mes de desembre d’aquell any era molt especial perquè tenia 5 dissabtes, 5 diumenges i 5 dilluns. També es deia que això només passa cada 800 anys, cosa completament falsa, ja que això passa sovint (n’hi ha prou en consultar un calendari perpetu per constatar-ho).

En el nostre calendari tots els mesos de 31 dies tenen tres dies seguits repetits 5 vegades. Si el dia 1 és dissabte, sempre hi haurà 5 dissabtes, 5 diumenges i 5 dilluns. Així, n’hi ha prou en buscar mesos de 31 dies que comencin en dissabte. Per exemple, octubre de 2016, juliol de 2017, desembre de 2018, agost de 2020 i gener de 2022, són mesos de 31 dies que tenen 5 dissabtes, 5 diumenges i 5 dilluns.

El que ja no és tant freqüent és que hi hagi 3 anys esfènics seguits:

2013 = 3 · 11 · 61

2014 = 2 · 19 · 53

2015 = 5 · 13 · 31

Quan comença una dècada, un segle i un mil·lenni?

Una vella polèmica va tornar a aparèixer l’any 2000.

Quina va ser la data d’inici del tercer mil·lenni?

El dia 1 de gener de 2000 o bé l’1 de gener de 2001?

Què celebrem: que ha transcorregut un mil·lenni, o

que el nombre amb que s’escriu el nou any canvia

totes les xifres?

Cal tenir en compte que el primer any fou l’any 1 (i no

el zero) i que per passar una dècada (segle o

mil·lenni) han de transcórrer 10 (100 o 1000) anys

complets.

2. Mesura del

temps “petit”:

rellotges

Rellotges de Sol:

història i tipus

Altres rellotges:

Clepsidres

Rellotges de sorra

Dels primers rellotges

mecànics fins avui.

Les unitats de temps:

hores, minuts, segons…

Tipus de rellotges L’instrument per mesurar el temps “petit” és el

rellotge. N’hi ha de molts tipus:

- Basats en les posicions dels astres:

de Sol (ombra), d’estels

- Basats en el temps regular que triga en

passar alguna cosa: Buidar o omplir un

recipient (amb aigua, clepsidres) o amb

sorra (rellotge de sorra). Usen la gravetat

- Mecànics: basats en el moviment d’un resort

- Atòmics: basats en l'oscil·lació de partícules

Segons com assenyalen el temps:

- Analògics

- Digitals

Mesura de temps “petits”

La divisió del dia en parts:

– A Egipte, apareixen els primers rellotges de

Sol (gnoms / obeliscs) i les primeres

clepsidres (3000 a. C. forma troncocònica).

– El dia sencer té 24 hores però si es

reparteixen 12 de nit i 12 de dia, llavors les

hores són variables (estiu - hivern).

– A Babilònia també usen el gnom i la clepsidra

i a més el polos (semiesfera) que és el més

precís dels instruments antics.

Stonehenge, Sud d’Anglaterra (1900 a.C.)

Es creu que aquest gran monument format per quatre

grans cercles de pedres gegants tenia funcions

religioses (possiblement de culte al Sol) i era un

quadrant solar per establir el calendari.

Certes alineacions de les pedres assenyalen la sortida

i la posta del Sol en els solsticis. També altres

alineacions assenyalen posicions especials de la Lluna

Els rellotges de Sol

Són els rellotges

més antics. N’hi

ha de molts tipus:

Horitzontals

Verticals

Equatorials

Esfèrics

De butxaca

Royal Observatory

(Greenwich, UK)

Obelisc (temple de Luxor)

A Egipte ja es coneixien els rellotges de Sol.

Els obeliscs són grans rellotges horitzontals

Rellotge de Sol horitzontal (analemàtic)

Al s. VIII a.C., els egipcis idearen un rellotge de

Sol que dividia el període lluminós en 10 parts

(després n’afegiren dues per l’alba i el crepuscle)

Al matí s’orientava a l’Est i a la tarda a l’Oest.

L’astrònom Berosus de Babilònia

(s. III a.C.) va construir un rellotge

de sol hemisfèric

Els grecs foren els

primers en construir

rellotges solars

formats per un pla

vertical, horitzontal o

inclinat on es projecta

l’ombra d’una vareta.

Rellotge de Sol

de la Bretanya

(França)

Rellotge solar equatorial

Ombres i còniques

• Per construir quadrants solars cal conèixer els

principis bàsics de la geometria projectiva

• L’extrem de l’ombra durant un dia descriu una

Cònica (habitualment una hipèrbola), que varia

al llarg de l’any.

• Apol·loni (s.III a.C.) va estudiar les còniques,

corbes que s’obtenen al tallar un con per un pla:

circumferència, el·lipse, paràbola i hipèrbola.

• Les còniques apareixen a l’espai, a les ombres i

a moltes aplicacions quotidianes i tecnològiques

Rellotges de Sol

N’hi ha de molts tipus. No només assenyalen l’hora;

també assenyalen les estacions (solsticis/equinoccis)

Rellotge de

Sol de Sant

Pere del Bertí.

Construït

l’any 2000

per Carles

Lladó

Rellotge de Sol en una plaça de Madrid

Travessera de Dalt (Barcelona)

Quadrant solar

en un college de

la universitat de

Cambridge

Carcassonne (França)

Mora de Rubielos (Terol)

Sevilla (catedral)

Rellotge solar

equatorial

Ciutat prohibida de Pequín (Beijing)

La gnòmica (o gnomònica)

• Ciència que tracta sobre la construcció dels rellotges de Sol.

• És una ciència molt antiga (Egipte) que ha viscut èpoques de gran importància.

• Quina hora és? Què marca l’ombra?

• A Nuremberg, al s. XVII, cada carrer tenia el seu rellotge de Sol.

• Actualment a Catalunya hi ha la Societat Catalana de gnomònics (www.gnomonica.cat)

Societat Catalana de gnomònica

Actualment a Catalunya hi ha la Societat

Catalana de gnomònica, fundada el 1988

(www.gnomonica.cat)

A l’adreça:

http://www.gnomonica.cat/index.php/itinerari

s/onze-rellotges-de-sol-de-barcelona

es pot trobar un itinerari per diversos

rellotges de Sol de la ciutat de Barcelona Casa de les punxes Plaça del Sol Esglesia Lesseps

També

hi ha

Rellotges

de Sol

portàtils

Rellotges de sol portàtils

Les clepsidres (rellotges d’aigua)

• Klepsidra (lladre d’aigua)

• Coneguts a Egipte i a

Babilònia.

Alguns portaven fins i

tot engranatges, per

assenyalar l’hora

Rellotge d’aigua xinès (s. XI)

Rellotges de sorra

• El libro del reloj de arena (Ernst Jünger,1985)

• Origen incert: Existeixen segur a l’Edat Mitjana

• Rellotges d’aigua hivernal (evitar la congelació)

• Van coexistir molt temps amb els mecànics.

L’època d’esplendor fou entre els segles XIV i XVIII

• Ticho Brahe (s.XVI) els preferia als mecànics

• Molt usats a la navegació (de 8, 4, 2, 1 hora)

• Associats en moltes representacions a la mort.

Rellotges de sorra antics (60, 45, 30, 15 i 5 m)

Els primers rellotges mecànics

Es construïren per marcar les hores de les

oracions als monestir medievals.

Gerbet d’Aurillach (nat el 945), fou el papa

Silvestre II del 999 al 1003. Personatge

misteriós que va estar uns anys a Ripoll.

Wilhem von Hirsau (+1091), benedictí de

la Selva Negra, sembla que fou el creador

del primer rellotge mecànic.

Antic rellotge mecànic

Una sola busca

Esfera amb les

24 hores

Representació

Del zodiac

Rellotge mecànic (s.XIII)

Primer rellotge astronòmic

fabricat por Giovani Dondi

a Itàlia el 1364.

A més de marcar l’hora,

mostrava el temps

dels moviments del Sol,

de la Lluna i dels cinc

Planetes visibles.

Quan els rellotges mesuren segons

• El primer gran avenç en els rellotges mecànics es produí en el segle XVII, quan l’holandès Christian Huygens (1629-1695) inventà, el 1657, el rellotge de pèndol, que funciona mogut per la gravetat.

• Foren els primers rellotges (cronòmetres) que podien comptar els segons.

• Galileo Galilei havia tingut la idea el 1636, però llavors ja era vell i cec i no va poder construir-ne cap.

Un rellotge del British Museum (Londres)

La determinació de la longitud

• Per situar un punt sobre la Terra cal conèixer

dues coordenades: latitud i longitud.

• La latitud és troba fàcilment: alçada de la polar.

• Entre els segles XVI i XVIII, el problema més

important de la navegació va ser la determinació

de la longitud.

• El 1761, l’anglès Harrison va construir el primer

cronòmetre nàutic. Fou provat en un llarg viatge

i en 6 mesos es desvià només 1.5 minuts.

• Va guanyar el premi de 10000 lliures instituït per

Newton i atorgat per la Royal Society ja que va

resoldre el problema de la longitud.

Segle XVIII .

Simples i amb minuts (S. XIX)

L’hora local i els fusos horaris

• Si l’hora es determina pel Sol, a cada lloc de la

Terra serà una hora diferent (excepte si els dos

llocs estan sobre un mateix semiarc de meridià).

• Per evitar confusions es va decidir (1884):

– Establir el concepte de temps universal (U.T.)

donat per l’hora del meridià de Greenwich.

– Dividir la Terra en 24 fusos de 15 cadascun i

acordar que l’hora és la del meridià central

del fus. Cada fus difereix en una hora amb els

fusos veïns (una hora més quan més a l’est

de Greenwich, una menys quan més a l’oest).

Guanyi temps al temps (I)

- El Concorde (avui ja desaparegut) sortia de París a les 10 del matí i arribava a Nova York a les 7 del matí del mateix dia.

A la tornada, però, sortia de Nova York a les 10 del matí i arribava a París a les 7 de la tarda.

Si trigava igual a l’anada que a la tornada, quin era el temps real de vol i quina la diferència horària?

Guanyi temps al temps (II)

• Anada:

Temps de vol (T) - diferència horària (D) = - 3

• Tornada:

Temps de vol (T) + diferència horària (D) = 9

Si sumem els dos viatges tindrem:

2 · T = 6 ; T = 3 h

A més: T + D = 9; per tant: D = 6 h

• Resposta: Triga 3 hores i la diferència horària és

de 6 hores.

Algunes bromes sobre el temps (I)

• Són les 12h de la nit i està plovent molt. És pot saber

si al cap de 24 hores farà Sol o no?

• Quin rellotge marca millor l’hora: un que està parat o

un que atrassa 1 minut al dia?

• Un avió triga 1h 20 m per anar de Barcelona a Sevilla

i només 80 minuts per tornar. Per què?

• Diu en Marc: Abans d’ahir tenia 39 anys i l’any vinent

en faré 42. Com pot ser?

Algunes bromes sobre el temps (II)

• Tenim 2 rellotges de sorra, un de 4 m i l’altre de

7 m. Volem bullir un ou durant un temps de 10m.

Com mesurarem aquest temps amb els dos

rellotges?

• Un rellotge - calendari digital marcava:

15 43 26 07 98

hora minut dia mes any

Què té d’especial. A partir d’avui, quan tornarà a

passar aquesta coincidència? Pot passar que

tots els nombres siguin iguals?

Les solucions

• Girem els dos rellotges i quan es buidi el de 4m

posem l’ou a bullir. Quan es buidi el de 7m el

girem i quan torni a buidar-se l’ou estarà (10m).

• Tornarà a passar per primera vegada des d’ara,

l’any 2034: 18 59 27 06 34

hora minut dia mes any

Fa molt poc, tots els nombres van ser iguals:

L’any 2011: 11 11 11 11 11, igualtat

que només es pot donar si totes les xifres són 1,

és a dir, una vegada cada 100 anys.

Alguns llibres de divulgació matemàtica

GUEDJ, D. La mesura del món. Barcelona: Edicions 62, 1998

El imperio de la cifras y los números Edicio. B, 1998

El teorema del lloro. Barcelona: Empuries, 2000

SOBEL, D. Longitud. Madrid: Debate

DOXIADIS, A. El tio Petros y la conjetura de Goldbach. BCN:

ediciones B, 2000

PLA, J. Damunt les espatlles dels gegants. La Magrana,1998

JAY GOULD, S. Mil·leni. Barcelona: Empuries, 1998

JUNGER, E. El libro del reloj de arena. Barcelona: Argos, 1985

DEULOFEU, J. Una recreación matemática. BCN: Planeta, 2000

Gimnasia mental 2. Madrid: Martinez Roca, 2003

ALSINA, C. Estimar les matemàtiques. BCN: Columna, 2000

Centro Virtual de divulgación de las matemáticas (RSME)

http://www. Divulgamat.net