històries i matemàtiques sobre el temps, els calendaris i...
TRANSCRIPT
La mesura del temps
Històries i matemàtiques sobre el temps, els calendaris i els rellotges
Jordi Deulofeu
Universitat Autònoma de Barcelona
Barcelona, 31 de gener 2014
Guió de la sessió
• 1. Mesura del temps “gran”: calendaris • Els primers calendaris
• El calendari julià
• El calendari gregorià
• Altres calendaris
• 2. Mesura del temps “petit”: rellotges • Les unitats de temps: hores, minuts, segons…
• Rellotges de Sol: història i tipus
• Altres rellotges: Clepsidres i rellotges de sorra
• Dels primers rellotges mecànics fins avui
Sobre el concepte de temps
• El temps és un concepte físic que tots experimentem quotidianament, però que resulta difícil de definir formalment.
• Podem dir que és una magnitud física amb la qual mesurem la durada o separació d'esdeveniments subjectes a canvi. Partim de la idea que els esdeveniments físics tenen lloc un darrere l'altre, i que el temps és l'escala en què aquests esdeveniments tenen lloc.
• A més del concepte físic, podem parlar de la idea filosòfica o de la percepció psicològica del temps.
L’origen de la mesura del temps
• Per mesurar cal determinar unitats, i per mesurar el temps cal la
repetició d’una unitat perceptible (cicles dels moviments dels astres).
• El cicle dia - nit és el primer observable, però no és estable. Si que
ho és el dia complet (temps entre dues posicions iguals del Sol o
d’un astre).
• Cal distingir entre dia solar i dia sideri. Aquest és 3 minuts 56 segons
més curt que el dia solar: en un any hi ha 365 dies solars i 366 dies
sideris.
• El moviment al voltant del Sol no és uniforme: quan un planeta gira al
voltant del Sol ho fa més lent quan més lluny és d’aquest (lleis de
Kepler)
La definició de “mes”
Un altre cicle perceptible:
El temps que triga la Lluna en fer una òrbita a la Terra
(cicle lunar, o mes) varia entre 29 dies i 6 hores i 29 dies
i 20 hores.
Mitjana: 29.53055 dies, o bé,
29 dies 12h 44 m
Per això, els mesos d’origen lunar són de 29 o de 30
dies.
Els primers calendaris
• Els calendaris són sistemes de còmput del temps i es basen en les unitats: dia (setmana), mes i any.
• El nom ve del grec kalendas (inici d’un cicle)
• Els més antics eren lunars i, posteriorment, tracten d’encaixar els mesos amb els anys (mesura solar).
• Funció principalment religiosa; també agrícola i, posteriorment, d’ordenació de la vida civil.
• Per numerar els anys cal determinar un origen (inici de l’era corresponent)
El calendari a babilònia
• Grans astrònoms en l’observació i el còmput.
• Inicialment any de 12 mesos de 30 i 29 dies (cada dos mesos equivalen a dues llunes).
• Any de 354 dies. Primer, cada cert temps s’intercala un mes (any de 13 mesos). Al s. V a. C., es fixa afegir 7 mesos cada 19 anys (cicle de Metó: 19 anys solars = 235 mesos lunars).
• Setmanes de 7 dies.
• Determinació precisa de les efemèrides (Lluna, Sol, estrelles i planetes). Divisió de la volta celeste en 12 parts (signes del zodíac).
• Astronomia i astrologia romanen juntes (importància de la predicció: qui és capaç de predir posseeix el poder)
El calendari egipci
Inicialment 12 mesos de 30 dies.
Tres setmanes al mes (de 10 dies).
Una reforma (sembla que del 2782 a.C.) afegeix 5 dies
al final de l’any.
És l’únic calendari antic de tipus solar
Bona aproximació per preveure les crescudes del Nil.
Observació de les posicions de l’estel Sírius (el més
brillant) i de les posicions del Sol (solsticis i equinoccis)
Detall d’un calendari egipci
El Calendari hebreu D’influència babilònica. Caràcter
religiós. Calendari lunar (inici de
l’any a la tardor)
Importància (religiosa) del 7:
• setmana de 7 dies (el 7è dia
descansaràs)
• 7 setmanes (Festa del dia 50,
Pentecostès)
• 6 anys sembraràs i el 7è deixaràs
descansar la terra.
És el calendari més antic encara
vigent: Ara són a l’any 5775. La
seva era s’inicià el 3761 a. C.
Des del s. IV a. C. usen el cicle
de Metó, dels babilonis.
L’antic calendari Llatí
Calendari lunar de 10 mesos (inici març), amb mesos de 29, 30 i 31 dies, i amb una “estació morta” (hivern inactiu) que donà lloc als mesos de gener (deu Janus) i de febrer (mes de les “purgacions” – neteges).
Any de 355 dies, al qual s’afegia un mes (Mercedonius / variable / 22 dies), entre el 23 i el 24 de febrer, de tant en tant (amb això es tenia un any de 377 dies).
Un calendari “dolent” (que ajusta malament) però que ens ha llegat gran part de l’estructura i els noms actuals.
El calendari julià (Roma, 40 a.C.)
• Al segle I a.C. a Roma hi havia un gran desordre en el calendari i
s’afegien dies discrecionalment.
• Juli Cèsar va cridar l’astrònom Sosígenes d’Alexandria per posar
ordre, reformar el calendari i ajustar-lo als moviments estel·lars.
• Es va decidir establir un calendari solar amb inici l’any 708 de la
creació de Roma (46 a. C.)
• Any de 365 dies (cada 4 anys un més – bisext -)
• L’any comença al gener, i el dia de mes dels anys bisextos, o de
traspàs, s’afegeix entre el 23 i 24 de febrer (bisextus significa sisè
bis, sis dies abans de l’1 de març).
Etimologies del nostre calendari
• Dies de la setmana: els set astres errants (Sol, Lluna i els 5 planetes visibles)
• El dia de Saturn i el del Sol es canvien pel Sabath
i el Domenicus (en anglès es conserven)
• Els noms dels mesos: • Martius, Aprilis, Maius, Iunius noms de deus
romans.
• Julius i Augustus noms d’emperadors.
• Un record a l’emperador Trajà, gràcies al qual encara tenim els noms de: setembre (7), octubre (8), novembre (9) i desembre (10) que recorden el lloc que ocupaven quan l‘inici de l’any era al març.
Determinació de la Pasqua
• El diumenge de Pasqua és el primer diumenge després de la
primera Lluna plena de primavera. (Data variable)
• Per exemple, l’any 2014 serà:
– Equinocci de primavera: 21 de març
– 1ª Lluna plena de primavera: dimarts, 15 d’abril. – Data de la Pasqua: diumenge 20 d’abril.
• Per setmana santa sempre hi ha un dia en què és lluna plena.
• La data de la Pasqua pot variar entre el 21 de març i el 25 d’abril.
El calendari gregorià (1582)
A finals del s. XVI el calendari julià estava desfasat mes de 10 dies, i la pasqua podia caure lluny de la primavera.
El papa Gregori XIII va decidir emprendre una reforma per ajustar millor el calendari, i va encarregar-la al jesuïta alemany Clavius.
L’any 1582 es van suprimir 10 dies (del 4 es va passar al 15 d’octubre) als països catòlics. En altres països la reforma es va fer molt més tard.
Els anys de traspàs seguien essent els múltiples de 4, però cada 400 anys calia eliminar-ne 3, els acabats en 00 i tals que la resta del nombre no fos múltiple de 4: 1700, 1800, 1900, 2100,…
Coexistència dels calendaris julià i gregorià
• El calendari gregorià s’accepta d’entrada només
als països de religió catòlica - romana. • Santa Teresa va morir el 4 d’octubre de 1582 i fou enterrada
el dia següent, que va ser el 15 d’octubre.
• Alemanya l’accepta el 1700 i Anglaterra el 1752 • Shakespeare i Cervantes van morir tots dos el 23 d’abril de
1616 però no era el mateix dia!!!
• Rússia no l’accepta fins entrat el segle XX • La revolució dita d’octubre (1917) va ser al novembre.
Nivell d’ajust dels calendaris
solars a l’any tròpic
• Calendari egipci (any de 365 dies)
– Error per defecte de: 0.2422 dies per any que equival a 0.9688 dies cada
quatre anys.
• Calendari julià (any de 365 / 366 dies)
– Error per excés de: 0.0078 dies per any que equival a 1 dia cada
128 anys i 3.12 dies cada quatre-cents anys.
• Calendari gregorià (any de 365 / 366 dies)
– Error per excés de 0,000303 dies per any que equival a un dia cada 3300 anys (aproximadament).
Calendari universal i
perpetu que conté
la concordança
entre els calendaris:
julià, gregorià,
copte, àrab, turc i
persa
Calendari musulmà
És lunar amb 12 mesos on
s’alternen 30 i 29 dies
(354 dies/any).
Per ajustar-se amb la lluna,
de cada 30 anys n’hi ha 11
que tenen un dia més (355).
34 anys musulmans són
33 anys julians (aprox.)
L’era s’inicià el dia 17
de juliol de l’any 622 d. C.
El Ramadà és el 9è mes
de l’any i té 30 dies.
Algunes dates curioses de l’any 2012
El calendari té dates que són curioses pels
nombres que les constitueixen:
Repetició de nombres: 12 – 12 – 12
20 – 12 – 2012
Nombres seguits: 10 – 11 – 12
20 – 11 – 2012
Dates capicua: 21 – 11 – 12
21 – 02 - 2012
Dates capicues espectaculars (I)
• Ara fa poc més de 10 anys, el 20 de febrer
de 2002, un rellotge - calendari marcava:
20 : 02 / 20 – 02 – 2002
un magnífic capicua de 12 xifres format
per tres capicues iguals de 4 xifres.
Quantes vegades es pot donar aquesta
coincidència tan especial?
Dates capicues espectaculars (II)
• Aquesta coincidència només es dona quatre
vegades (tres de les quals ja han passat):
10 : 01 / 10 – 01 / 1001
11 : 11 / 11 – 11 / 1111
20 : 02 / 20 – 02 / 2002
21 : 12 / 21 – 12 / 2112
Hi ha coincidències que són freqüents i
altres no tant
A la xarxa el desembre del 2012 es comentà que el mes de desembre d’aquell any era molt especial perquè tenia 5 dissabtes, 5 diumenges i 5 dilluns. També es deia que això només passa cada 800 anys, cosa completament falsa, ja que això passa sovint (n’hi ha prou en consultar un calendari perpetu per constatar-ho).
En el nostre calendari tots els mesos de 31 dies tenen tres dies seguits repetits 5 vegades. Si el dia 1 és dissabte, sempre hi haurà 5 dissabtes, 5 diumenges i 5 dilluns. Així, n’hi ha prou en buscar mesos de 31 dies que comencin en dissabte. Per exemple, octubre de 2016, juliol de 2017, desembre de 2018, agost de 2020 i gener de 2022, són mesos de 31 dies que tenen 5 dissabtes, 5 diumenges i 5 dilluns.
El que ja no és tant freqüent és que hi hagi 3 anys esfènics seguits:
2013 = 3 · 11 · 61
2014 = 2 · 19 · 53
2015 = 5 · 13 · 31
Quan comença una dècada, un segle i un mil·lenni?
Una vella polèmica va tornar a aparèixer l’any 2000.
Quina va ser la data d’inici del tercer mil·lenni?
El dia 1 de gener de 2000 o bé l’1 de gener de 2001?
Què celebrem: que ha transcorregut un mil·lenni, o
que el nombre amb que s’escriu el nou any canvia
totes les xifres?
Cal tenir en compte que el primer any fou l’any 1 (i no
el zero) i que per passar una dècada (segle o
mil·lenni) han de transcórrer 10 (100 o 1000) anys
complets.
2. Mesura del
temps “petit”:
rellotges
Rellotges de Sol:
història i tipus
Altres rellotges:
Clepsidres
Rellotges de sorra
Dels primers rellotges
mecànics fins avui.
Les unitats de temps:
hores, minuts, segons…
Tipus de rellotges L’instrument per mesurar el temps “petit” és el
rellotge. N’hi ha de molts tipus:
- Basats en les posicions dels astres:
de Sol (ombra), d’estels
- Basats en el temps regular que triga en
passar alguna cosa: Buidar o omplir un
recipient (amb aigua, clepsidres) o amb
sorra (rellotge de sorra). Usen la gravetat
- Mecànics: basats en el moviment d’un resort
- Atòmics: basats en l'oscil·lació de partícules
Segons com assenyalen el temps:
- Analògics
- Digitals
Mesura de temps “petits”
La divisió del dia en parts:
– A Egipte, apareixen els primers rellotges de
Sol (gnoms / obeliscs) i les primeres
clepsidres (3000 a. C. forma troncocònica).
– El dia sencer té 24 hores però si es
reparteixen 12 de nit i 12 de dia, llavors les
hores són variables (estiu - hivern).
– A Babilònia també usen el gnom i la clepsidra
i a més el polos (semiesfera) que és el més
precís dels instruments antics.
Stonehenge, Sud d’Anglaterra (1900 a.C.)
Es creu que aquest gran monument format per quatre
grans cercles de pedres gegants tenia funcions
religioses (possiblement de culte al Sol) i era un
quadrant solar per establir el calendari.
Certes alineacions de les pedres assenyalen la sortida
i la posta del Sol en els solsticis. També altres
alineacions assenyalen posicions especials de la Lluna
Els rellotges de Sol
Són els rellotges
més antics. N’hi
ha de molts tipus:
Horitzontals
Verticals
Equatorials
Esfèrics
De butxaca
Royal Observatory
(Greenwich, UK)
Obelisc (temple de Luxor)
A Egipte ja es coneixien els rellotges de Sol.
Els obeliscs són grans rellotges horitzontals
Rellotge de Sol horitzontal (analemàtic)
Al s. VIII a.C., els egipcis idearen un rellotge de
Sol que dividia el període lluminós en 10 parts
(després n’afegiren dues per l’alba i el crepuscle)
Al matí s’orientava a l’Est i a la tarda a l’Oest.
L’astrònom Berosus de Babilònia
(s. III a.C.) va construir un rellotge
de sol hemisfèric
Els grecs foren els
primers en construir
rellotges solars
formats per un pla
vertical, horitzontal o
inclinat on es projecta
l’ombra d’una vareta.
Rellotge de Sol
de la Bretanya
(França)
Ombres i còniques
• Per construir quadrants solars cal conèixer els
principis bàsics de la geometria projectiva
• L’extrem de l’ombra durant un dia descriu una
Cònica (habitualment una hipèrbola), que varia
al llarg de l’any.
• Apol·loni (s.III a.C.) va estudiar les còniques,
corbes que s’obtenen al tallar un con per un pla:
circumferència, el·lipse, paràbola i hipèrbola.
• Les còniques apareixen a l’espai, a les ombres i
a moltes aplicacions quotidianes i tecnològiques
Rellotges de Sol
N’hi ha de molts tipus. No només assenyalen l’hora;
també assenyalen les estacions (solsticis/equinoccis)
Rellotge de
Sol de Sant
Pere del Bertí.
Construït
l’any 2000
per Carles
Lladó
Rellotge de Sol en una plaça de Madrid
Travessera de Dalt (Barcelona)
Quadrant solar
en un college de
la universitat de
Cambridge
Carcassonne (França)
Mora de Rubielos (Terol)
Sevilla (catedral)
Rellotge solar
equatorial
Ciutat prohibida de Pequín (Beijing)
La gnòmica (o gnomònica)
• Ciència que tracta sobre la construcció dels rellotges de Sol.
• És una ciència molt antiga (Egipte) que ha viscut èpoques de gran importància.
• Quina hora és? Què marca l’ombra?
• A Nuremberg, al s. XVII, cada carrer tenia el seu rellotge de Sol.
• Actualment a Catalunya hi ha la Societat Catalana de gnomònics (www.gnomonica.cat)
Societat Catalana de gnomònica
Actualment a Catalunya hi ha la Societat
Catalana de gnomònica, fundada el 1988
(www.gnomonica.cat)
A l’adreça:
http://www.gnomonica.cat/index.php/itinerari
s/onze-rellotges-de-sol-de-barcelona
es pot trobar un itinerari per diversos
rellotges de Sol de la ciutat de Barcelona Casa de les punxes Plaça del Sol Esglesia Lesseps
També
hi ha
Rellotges
de Sol
portàtils
Les clepsidres (rellotges d’aigua)
• Klepsidra (lladre d’aigua)
• Coneguts a Egipte i a
Babilònia.
Alguns portaven fins i
tot engranatges, per
assenyalar l’hora
Rellotge d’aigua xinès (s. XI)
Rellotges de sorra
• El libro del reloj de arena (Ernst Jünger,1985)
• Origen incert: Existeixen segur a l’Edat Mitjana
• Rellotges d’aigua hivernal (evitar la congelació)
• Van coexistir molt temps amb els mecànics.
L’època d’esplendor fou entre els segles XIV i XVIII
• Ticho Brahe (s.XVI) els preferia als mecànics
• Molt usats a la navegació (de 8, 4, 2, 1 hora)
• Associats en moltes representacions a la mort.
Rellotges de sorra antics (60, 45, 30, 15 i 5 m)
Els primers rellotges mecànics
Es construïren per marcar les hores de les
oracions als monestir medievals.
Gerbet d’Aurillach (nat el 945), fou el papa
Silvestre II del 999 al 1003. Personatge
misteriós que va estar uns anys a Ripoll.
Wilhem von Hirsau (+1091), benedictí de
la Selva Negra, sembla que fou el creador
del primer rellotge mecànic.
Antic rellotge mecànic
Una sola busca
Esfera amb les
24 hores
Representació
Del zodiac
Rellotge mecànic (s.XIII)
Primer rellotge astronòmic
fabricat por Giovani Dondi
a Itàlia el 1364.
A més de marcar l’hora,
mostrava el temps
dels moviments del Sol,
de la Lluna i dels cinc
Planetes visibles.
Quan els rellotges mesuren segons
• El primer gran avenç en els rellotges mecànics es produí en el segle XVII, quan l’holandès Christian Huygens (1629-1695) inventà, el 1657, el rellotge de pèndol, que funciona mogut per la gravetat.
• Foren els primers rellotges (cronòmetres) que podien comptar els segons.
• Galileo Galilei havia tingut la idea el 1636, però llavors ja era vell i cec i no va poder construir-ne cap.
Un rellotge del British Museum (Londres)
La determinació de la longitud
• Per situar un punt sobre la Terra cal conèixer
dues coordenades: latitud i longitud.
• La latitud és troba fàcilment: alçada de la polar.
• Entre els segles XVI i XVIII, el problema més
important de la navegació va ser la determinació
de la longitud.
• El 1761, l’anglès Harrison va construir el primer
cronòmetre nàutic. Fou provat en un llarg viatge
i en 6 mesos es desvià només 1.5 minuts.
• Va guanyar el premi de 10000 lliures instituït per
Newton i atorgat per la Royal Society ja que va
resoldre el problema de la longitud.
Segle XVIII .
Simples i amb minuts (S. XIX)
L’hora local i els fusos horaris
• Si l’hora es determina pel Sol, a cada lloc de la
Terra serà una hora diferent (excepte si els dos
llocs estan sobre un mateix semiarc de meridià).
• Per evitar confusions es va decidir (1884):
– Establir el concepte de temps universal (U.T.)
donat per l’hora del meridià de Greenwich.
– Dividir la Terra en 24 fusos de 15 cadascun i
acordar que l’hora és la del meridià central
del fus. Cada fus difereix en una hora amb els
fusos veïns (una hora més quan més a l’est
de Greenwich, una menys quan més a l’oest).
Guanyi temps al temps (I)
- El Concorde (avui ja desaparegut) sortia de París a les 10 del matí i arribava a Nova York a les 7 del matí del mateix dia.
A la tornada, però, sortia de Nova York a les 10 del matí i arribava a París a les 7 de la tarda.
Si trigava igual a l’anada que a la tornada, quin era el temps real de vol i quina la diferència horària?
Guanyi temps al temps (II)
• Anada:
Temps de vol (T) - diferència horària (D) = - 3
• Tornada:
Temps de vol (T) + diferència horària (D) = 9
Si sumem els dos viatges tindrem:
2 · T = 6 ; T = 3 h
A més: T + D = 9; per tant: D = 6 h
• Resposta: Triga 3 hores i la diferència horària és
de 6 hores.
Algunes bromes sobre el temps (I)
• Són les 12h de la nit i està plovent molt. És pot saber
si al cap de 24 hores farà Sol o no?
• Quin rellotge marca millor l’hora: un que està parat o
un que atrassa 1 minut al dia?
• Un avió triga 1h 20 m per anar de Barcelona a Sevilla
i només 80 minuts per tornar. Per què?
• Diu en Marc: Abans d’ahir tenia 39 anys i l’any vinent
en faré 42. Com pot ser?
Algunes bromes sobre el temps (II)
• Tenim 2 rellotges de sorra, un de 4 m i l’altre de
7 m. Volem bullir un ou durant un temps de 10m.
Com mesurarem aquest temps amb els dos
rellotges?
• Un rellotge - calendari digital marcava:
15 43 26 07 98
hora minut dia mes any
Què té d’especial. A partir d’avui, quan tornarà a
passar aquesta coincidència? Pot passar que
tots els nombres siguin iguals?
Les solucions
• Girem els dos rellotges i quan es buidi el de 4m
posem l’ou a bullir. Quan es buidi el de 7m el
girem i quan torni a buidar-se l’ou estarà (10m).
• Tornarà a passar per primera vegada des d’ara,
l’any 2034: 18 59 27 06 34
hora minut dia mes any
Fa molt poc, tots els nombres van ser iguals:
L’any 2011: 11 11 11 11 11, igualtat
que només es pot donar si totes les xifres són 1,
és a dir, una vegada cada 100 anys.
Alguns llibres de divulgació matemàtica
GUEDJ, D. La mesura del món. Barcelona: Edicions 62, 1998
El imperio de la cifras y los números Edicio. B, 1998
El teorema del lloro. Barcelona: Empuries, 2000
SOBEL, D. Longitud. Madrid: Debate
DOXIADIS, A. El tio Petros y la conjetura de Goldbach. BCN:
ediciones B, 2000
PLA, J. Damunt les espatlles dels gegants. La Magrana,1998
JAY GOULD, S. Mil·leni. Barcelona: Empuries, 1998
JUNGER, E. El libro del reloj de arena. Barcelona: Argos, 1985
DEULOFEU, J. Una recreación matemática. BCN: Planeta, 2000
Gimnasia mental 2. Madrid: Martinez Roca, 2003
ALSINA, C. Estimar les matemàtiques. BCN: Columna, 2000
Centro Virtual de divulgación de las matemáticas (RSME)
http://www. Divulgamat.net