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Teorema delvalor mediode Lagrange

Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy

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auto-aprendizaje para Matematicas

HEDIMA, Grupo de Innovacion Didactica

Departamento de Matematicas

Universidad de Extremadura

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Indice

Derivada en un punto

Interpretacion geometrica

Funcion derivada

Algebra de derivadas

Regla de la cadena

Tabla de derivadas

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Derivada en un punto

Dada una funcion f : D ⊆ R→ R, se dice que es derivable en a ∈ R, siexiste y es finito el siguiente lımite

lımh→0

f(a+ h)− f(a)

h

(equivalente a lım

x→a

f(x)− f(a)

x− a

)El valor de este lımite se denomina derivada de f(x) en a y se denota por

f ′(a) odf

dx(a)

De modo que:

Definicion

f ′(a) = lımh→0

f(a+ h)− f(a)

h

o bien

f ′(a) = lımx→a

f(x)− f(a)

x− a

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Derivada en un punto

Ejemplo

Calculemos la derivada de f(x) = x2 en el punto a = 1:

f ′(1) = lımh→0

f(1 + h)− f(1)

h=

= lımh→0

(1 + h)2 − 1

h=

= lımh→0

1 + h2 + 2h− 1

h=

= lımh→0

h(h+ 2)

h=

= lımh→0

h+ 2 = 2

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Interpretacion geometrica

La derivada de una funcion f(x) en un punto a es un valor numerico queindica la pendiente de la recta tangente a la grafica de f(x) en el punto deabcisa x = a.Por tanto, la ecuacion de esta recta tangente se escribe

Recta tangente a la grafica de f(x) en x = a

y − f(a) = f ′(a)(x− a)

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Interpretacion geometrica

Ejemplo

La recta tangente a la funcion f(x) = x2 en el punto a = 1 tiene la siguienteecuacion:

y − f(1) = f ′(1)(x− 1)

es decir,y − 1 = 2(x− 1)

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Funcion derivada

La funcion derivada f ′(x) de una funcion dada f(x) es la que asigna a cadavalor de x el valor de la derivada en ese punto

Funcion derivada

f ′(x) = lımh→0

f(x+ h)− f(x)

h

Si la funcion f ′(x) es derivable, podemos calcular su derivada, quellamaremos derivada segunda y denotaremos f ′′(x) o f2)(x). De formasimilar se definen la derivadas sucesivas tercera, cuarta, etc.

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Funcion derivada

Ejemplos de derivadas de funciones elementales

f(x) = K ∈ R f ′(x) = 0f(x) = Kx (K ∈ R) f ′(x) = Kf(x) = xn (n 6= −1) f ′(x) = nxn−1

Ejemplo

Veamos cuales son las derivadas de las siguientes funciones en a = 3

f(x) = 45 f ′(x) = 0 f ′(3) = 0f(x) = 34x f ′(x) = 34 f ′(3) = 34f(x) = x5 f ′(x) = 5x4 f ′(3) = 5 · 34

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Funciones derivadas elementales

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Funciones derivadas elementales

Funcion seno

y = sen(x) y′ = cos(x)

Funcion coseno

y = cos(x) y′ = −sen(x)

Funcion tangente

y = tg(x) y′ =1

cos2(x)

Funcion logaritmo

y = L(x) y′ =1

x

Funcion exponencial

y = ax y′ = ax · L(a)

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Algebra de derivadas

Suma de funciones

(f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x)

Producto de una funcion por un numero λ

(λf(x))′ = λf ′(x)

Producto de funciones

(f(x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)

Cociente de funciones(f(x)

g(x)

)′=f ′(x) · g(x)− g′(x) · f(x)

(g(x))2

Composicion de funciones (regla de la cadena)

(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x)

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Funciones derivadas elementales

Ejemplos

(x2 + sen(x))′ = 2x+ cos(x)

(3 · sen(x))′ = 3 · cos(x)

(x2 · sen(x))′ = 2xsen(x) + x2 cos(x)(x2

sen(x)

)′=

2xsen(x)− x2 cos(x)

(sen(x))2

(sen(x2))′ = cos(x2) · 2x

(cos(x3))′ = −sen(x3) · 3x2

(tg(x2))′ =1

cos2(x2)· 2x

(L(x4))′ =1

x4· 4x3

(3x2

)′ = 3x2

· L(3) · 2x

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Teorema

Si una funcion f(x) es derivable en un punto a entonces es continua en esepunto.La implicacion contraria no es cierta, es decir, una funcion puede sercontinua en un punto y no ser derivable en ese punto

Ejemplo

f(x) = |x| es continua en a=0 pero no es derivable.

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Teorema de Rolle

Si una funcion f : D ⊆ R −→ R es

continua en [a, b] ⊆ D,derivable en (a, b),

f(a) = f(b)

entonces existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0

Ejemplo

Como f(x) = 2x2 − 8x + 11es continua y derivable en [1, 3]y f(1) = f(3), entonces existec = 2 ∈ [1, 3] tal que f ′(2) = 0

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Teorema del valor medio de Lagrange

Si una funcion f : D ⊆ R −→ R es

continua en [a, b] ⊆ D,derivable en (a, b),

}entonces existe c ∈ (a, b) tal que

f ′(c) = f(b)−f(a)b−a

Ejemplo

Como f(x) = 2x2− 8x+ 11 escontinua y derivable en [1, 4],existe c = 2′5 ∈ [1, 4] tal quef(4)−f(1)

4−1= 2 = f ′(2′5)

Es decir, existe un punto c = 2′5 en donde la pendiente de la recta tangentees igual que la pendiente de la recta que pasa por (1, f(1)) y (4, f(4)).

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Teorema del valor medio generalizado de Cauchy

Dadas dos funciones f : D ⊆ R −→ R y g : D ⊆ R −→ R, si

f y g son continuas en [a, b] ⊆ D,f y g son derivables en (a, b),

entonces existe c ∈ (a, b) tal que

f ′(c)(g(b)− g(a) = g′(c)(f(b)− f(a))

Si en lo anterior g′(c) no es cero, entonces se puede expresar como

f(b)− f(a)

g(b)− g(a)=f ′(c)

g′(c)

es decir, el cociente de las diferencias en los extremos es igual al cociente delas derivadas en el algun punto intermedio.

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Teoremas Fundamentales del Calculo Diferencial

Un entorno reducido de a es un intervalo centrado en a al que se haeliminado el punto a, por ejemplo, (a− r, a) ∪ (a, a+ r), con r > 0.

Regla de L’Hopital

Dadas dos funciones f : D ⊆ R −→ R y g : D ⊆ R −→ R, si

f y g son derivables en un entorno reducido del punto a ∈ D,

O bien f(a) = g(a) = 0, o bien f(a) = g(a) = ±∞

g′(x) no se anula en el entorno reducido,

∃ lımx→a

f ′(x)

g′(x),

entonces existe lımx→a

f(x)

g(x)y

lımx→a

f(x)

g(x)= lım

x→a

f ′(x)

g′(x)

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Teoremas Fundamentales del Calculo Diferencial

La Regla de L’Hopital es una herramienta para calcular lımites quepresentan indeterminaciones del tipo 0/0 o ±∞∞ .

Ejemplo

Para calcular el siguiente lımite

lımx→0

sen(x)

x

podemos utilizar la Regla de L´Hopital:

lımx→0

sen(x)

x= lım

x→0

sen′(x)

x′= lım

x→0

cos(x)

1= 1

La regla tambien es valida para calcular lımites laterales. En este caso,sera necesario que las dos funciones f(x) y g(x) esten definidas a la derechao a izquierda del punto a, segun el lımite lateral que queramos calcular. Porejemplo:

Ejemplo

lımx→0+

L(x)

x= lım

x→0+

L′(x)

x′= lım

x→0+

1/x

1=∞