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Bloque:AlgebraLineal
Tema:Sistema deecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matematicas
HEDIMA, Grupo de Innovacion Didactica
Departamento de Matematicas
Universidad de Extremadura
Bloque:AlgebraLineal
Tema:Sistema deecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Bloque: Algebra Lineal
Tema: Sistema de ecuaciones lineales
Bloque:AlgebraLineal
Tema:Sistema deecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Indice
Conceptos basicos
Expresion matricial
Resolucion de SEL
Clasificacion de SEL
Discusion con parametros
Interpretacion geometrica de SEL
Bloque:AlgebraLineal
Tema:Sistema deecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Conceptos basicos
Bloque:AlgebraLineal
Tema:Sistema deecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Conceptos basicos
Definicion
Se llama sistema de ecuaciones lineales (SEL) con m ecuaciones y nincognitas con coeficientes en un cuerpo K (por lo general, K = R oK = C), a una expresion de la siguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
......
......
. . ....
......
...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Resolver un SEL, es determinar los valores de x1, . . . , xn, que denominaremossolucion y tal que verifiquen todas las ecuaciones del sistema.
Ejemplo
Sistema de 3 ecuaciones con 2 incognitas con coeficientes reales
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
Solucion: x = 1, y = 21 + 2 = 31 − 2 = −1
3 · 1 + 2 = 5
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Tema:Sistema deecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Conceptos basicos
Definicion
Se llama sistema de ecuaciones lineales (SEL) con m ecuaciones y nincognitas con coeficientes en un cuerpo K (por lo general, K = R oK = C), a una expresion de la siguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
......
......
. . ....
......
...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Resolver un SEL, es determinar los valores de x1, . . . , xn, que denominaremossolucion y tal que verifiquen todas las ecuaciones del sistema.
Ejemplo
Sistema de 3 ecuaciones con 2 incognitas con coeficientes reales
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
Solucion: x = 1, y = 21 + 2 = 31 − 2 = −1
3 · 1 + 2 = 5
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lineales
HEDIMA
Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Conceptos basicos
Definicion
Se llama sistema de ecuaciones lineales (SEL) con m ecuaciones y nincognitas con coeficientes en un cuerpo K (por lo general, K = R oK = C), a una expresion de la siguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
......
......
. . ....
......
...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Resolver un SEL, es determinar los valores de x1, . . . , xn, que denominaremossolucion y tal que verifiquen todas las ecuaciones del sistema.
Ejemplo
Sistema de 3 ecuaciones con 2 incognitas con coeficientes reales
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
Solucion: x = 1, y = 21 + 2 = 31 − 2 = −1
3 · 1 + 2 = 5
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lineales
HEDIMA
Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Conceptos basicos
Definicion
Se llama sistema de ecuaciones lineales (SEL) con m ecuaciones y nincognitas con coeficientes en un cuerpo K (por lo general, K = R oK = C), a una expresion de la siguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
......
......
. . ....
......
...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Resolver un SEL, es determinar los valores de x1, . . . , xn, que denominaremossolucion y tal que verifiquen todas las ecuaciones del sistema.
Ejemplo
Sistema de 3 ecuaciones con 2 incognitas con coeficientes reales
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
Solucion: x = 1, y = 2
1 + 2 = 31 − 2 = −1
3 · 1 + 2 = 5
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lineales
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Conceptos basicos
Definicion
Se llama sistema de ecuaciones lineales (SEL) con m ecuaciones y nincognitas con coeficientes en un cuerpo K (por lo general, K = R oK = C), a una expresion de la siguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
......
......
. . ....
......
...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Resolver un SEL, es determinar los valores de x1, . . . , xn, que denominaremossolucion y tal que verifiquen todas las ecuaciones del sistema.
Ejemplo
Sistema de 3 ecuaciones con 2 incognitas con coeficientes reales
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
Solucion: x = 1, y = 21 + 2 = 31 − 2 = −1
3 · 1 + 2 = 5
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lineales
HEDIMA
Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Conceptos basicos
Definicion
Se llama SEL homogeneo con m ecuaciones y n incognitas con coeficientesen un cuerpo K (por lo general, K = R o K = C), a una expresion de lasiguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0
......
......
. . ....
......
...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0
El vector de orden n con todos sus elementos nulos, es siempre solucion delSEL homogeneo.
Ejemplo
Sistema de 2 ecuaciones con 2 incognitas con coeficientes reales
x − 2y = 03x − 6y = 0
Soluciones: x = 0, y = 0; x = 2, y = 1; entre otras
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lineales
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Conceptos basicos
Definicion
Se llama SEL homogeneo con m ecuaciones y n incognitas con coeficientesen un cuerpo K (por lo general, K = R o K = C), a una expresion de lasiguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0
......
......
. . ....
......
...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0
El vector de orden n con todos sus elementos nulos, es siempre solucion delSEL homogeneo.
Ejemplo
Sistema de 2 ecuaciones con 2 incognitas con coeficientes reales
x − 2y = 03x − 6y = 0
Soluciones: x = 0, y = 0; x = 2, y = 1; entre otras
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lineales
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Conceptos basicos
Definicion
Se llama SEL homogeneo con m ecuaciones y n incognitas con coeficientesen un cuerpo K (por lo general, K = R o K = C), a una expresion de lasiguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0
......
......
. . ....
......
...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0
El vector de orden n con todos sus elementos nulos, es siempre solucion delSEL homogeneo.
Ejemplo
Sistema de 2 ecuaciones con 2 incognitas con coeficientes reales
x − 2y = 03x − 6y = 0
Soluciones: x = 0, y = 0; x = 2, y = 1; entre otras
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lineales
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Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Conceptos basicos
Definicion
Se llama SEL homogeneo con m ecuaciones y n incognitas con coeficientesen un cuerpo K (por lo general, K = R o K = C), a una expresion de lasiguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0
......
......
. . ....
......
...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0
El vector de orden n con todos sus elementos nulos, es siempre solucion delSEL homogeneo.
Ejemplo
Sistema de 2 ecuaciones con 2 incognitas con coeficientes reales
x − 2y = 03x − 6y = 0
Soluciones: x = 0, y = 0; x = 2, y = 1; entre otras
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Expresion matricial
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Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Expresion matricial
Un SEL se puede representar en forma de productos de matrices comoa11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
. . ....
am1 am2 . . . amn
x1x2...xn
=
b1b2...bm
,
denominandose matriz de coeficientes, vector de incognita y vector determino independiente, respectivamente.
De manera mas simplificada, un SEL se puede representar a traves de lamatriz ampliada
a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2
......
. . ....
am1 am2 . . . amn bm
= (A|b), conA ∈Mm×n(k), b ∈Mm×1(k)
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
;
1 11 −13 1
( xy
)=
3−15
;
1 1 31 −1 −13 1 5
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lineales
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Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Expresion matricial
Un SEL se puede representar en forma de productos de matrices comoa11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
. . ....
am1 am2 . . . amn
x1x2...xn
=
b1b2...bm
,
denominandose matriz de coeficientes, vector de incognita y vector determino independiente, respectivamente.
De manera mas simplificada, un SEL se puede representar a traves de lamatriz ampliada
a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2
......
. . ....
am1 am2 . . . amn bm
= (A|b), conA ∈Mm×n(k), b ∈Mm×1(k)
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
;
1 11 −13 1
( xy
)=
3−15
;
1 1 31 −1 −13 1 5
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Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Expresion matricial
Un SEL se puede representar en forma de productos de matrices comoa11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
. . ....
am1 am2 . . . amn
x1x2...xn
=
b1b2...bm
,
denominandose matriz de coeficientes, vector de incognita y vector determino independiente, respectivamente.
De manera mas simplificada, un SEL se puede representar a traves de lamatriz ampliada
a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2
......
. . ....
am1 am2 . . . amn bm
= (A|b), conA ∈Mm×n(k), b ∈Mm×1(k)
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
;
1 11 −13 1
( xy
)=
3−15
;
1 1 31 −1 −13 1 5
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Expresion matricial
Un SEL se puede representar en forma de productos de matrices comoa11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
. . ....
am1 am2 . . . amn
x1x2...xn
=
b1b2...bm
,
denominandose matriz de coeficientes, vector de incognita y vector determino independiente, respectivamente.
De manera mas simplificada, un SEL se puede representar a traves de lamatriz ampliada
a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2
......
. . ....
am1 am2 . . . amn bm
= (A|b), conA ∈Mm×n(k), b ∈Mm×1(k)
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
;
1 11 −13 1
( xy
)=
3−15
;
1 1 31 −1 −13 1 5
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Expresion matricial
Un SEL se puede representar en forma de productos de matrices comoa11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
. . ....
am1 am2 . . . amn
x1x2...xn
=
b1b2...bm
,
denominandose matriz de coeficientes, vector de incognita y vector determino independiente, respectivamente.
De manera mas simplificada, un SEL se puede representar a traves de lamatriz ampliada
a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2
......
. . ....
am1 am2 . . . amn bm
= (A|b), conA ∈Mm×n(k), b ∈Mm×1(k)
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
;
1 11 −13 1
( xy
)=
3−15
;
1 1 31 −1 −13 1 5
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Clasificacionde SEL
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Resolucion de SEL
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Resolucion de SEL
La resolucion del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangularsuperior (inferior), despejando y sustituyendo sistematicamente de abajo(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x + y = 32y = 4
(1 10 2
)(xy
)=
(34
)
y = 4/2x + 2 = 3
y = 2x = 1
Ejemplo (Triangular inferior)
2y = 4y + x = 3
(2 01 1
)(yx
)=
(43
)
y = 4/22 + x = 3
y = 2x = 1
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lineales
HEDIMA
Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Resolucion de SEL
La resolucion del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangularsuperior (inferior), despejando y sustituyendo sistematicamente de abajo(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x + y = 32y = 4
(1 10 2
)(xy
)=
(34
)
y = 4/2x + 2 = 3
y = 2x = 1
Ejemplo (Triangular inferior)
2y = 4y + x = 3
(2 01 1
)(yx
)=
(43
)
y = 4/22 + x = 3
y = 2x = 1
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lineales
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Resolucion de SEL
La resolucion del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangularsuperior (inferior), despejando y sustituyendo sistematicamente de abajo(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x + y = 32y = 4
(1 10 2
)(xy
)=
(34
)
y = 4/2x + 2 = 3
y = 2x = 1
Ejemplo (Triangular inferior)
2y = 4y + x = 3
(2 01 1
)(yx
)=
(43
)
y = 4/22 + x = 3
y = 2x = 1
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Resolucion de SEL
La resolucion del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangularsuperior (inferior), despejando y sustituyendo sistematicamente de abajo(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x + y = 32y = 4
(1 10 2
)(xy
)=
(34
)
y = 4/2x + 2 = 3
y = 2x = 1
Ejemplo (Triangular inferior)
2y = 4y + x = 3
(2 01 1
)(yx
)=
(43
)
y = 4/22 + x = 3
y = 2x = 1
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lineales
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Resolucion de SEL
La resolucion del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangularsuperior (inferior), despejando y sustituyendo sistematicamente de abajo(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x + y = 32y = 4
(1 10 2
)(xy
)=
(34
)
y = 4/2x + 2 = 3
y = 2x = 1
Ejemplo (Triangular inferior)
2y = 4y + x = 3
(2 01 1
)(yx
)=
(43
)
y = 4/22 + x = 3
y = 2x = 1
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lineales
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Resolucion de SEL
La resolucion del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangularsuperior (inferior), despejando y sustituyendo sistematicamente de abajo(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x + y = 32y = 4
(1 10 2
)(xy
)=
(34
)
y = 4/2x + 2 = 3
y = 2x = 1
Ejemplo (Triangular inferior)
2y = 4y + x = 3
(2 01 1
)(yx
)=
(43
)
y = 4/22 + x = 3
y = 2x = 1
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Resolucion de SEL
La resolucion del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangularsuperior (inferior), despejando y sustituyendo sistematicamente de abajo(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x + y = 32y = 4
(1 10 2
)(xy
)=
(34
)
y = 4/2x + 2 = 3
y = 2x = 1
Ejemplo (Triangular inferior)
2y = 4y + x = 3
(2 01 1
)(yx
)=
(43
)
y = 4/22 + x = 3
y = 2x = 1
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Resolucion de SEL
La resolucion del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangularsuperior (inferior), despejando y sustituyendo sistematicamente de abajo(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x + y = 32y = 4
(1 10 2
)(xy
)=
(34
)
y = 4/2x + 2 = 3
y = 2x = 1
Ejemplo (Triangular inferior)
2y = 4y + x = 3
(2 01 1
)(yx
)=
(43
)
y = 4/22 + x = 3
y = 2x = 1
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lineales
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Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Resolucion de SEL
Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operacioneselementales con el fin de obtener una submatriz triangular de ordenmın{m,n}, es decir el menor entre el numero de filas o columnas
Definicion
Se llaman operaciones elementales (OE) por filas en la matriz ampliada (A|b)a las siguientes transformaciones:
(a) Tipo I: Intercambiar las filas i-esima y l-esima
(b) Tipo II: Multiplicar la fila i-esima por λ ∈ k \ {0}.
(c) Tipo III: Sumar a la fila i-esima su fila l-esima multiplicada por λ ∈ k.
Ası, obtenemos un nuevo SEL que es equivalente con el original, en elsentido que tienen las mismas soluciones, y es mas sencillo de resolver.
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lineales
HEDIMA
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Resolucion de SEL
Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operacioneselementales con el fin de obtener una submatriz triangular de ordenmın{m,n}, es decir el menor entre el numero de filas o columnas
Definicion
Se llaman operaciones elementales (OE) por filas en la matriz ampliada (A|b)a las siguientes transformaciones:
(a) Tipo I: Intercambiar las filas i-esima y l-esima
(b) Tipo II: Multiplicar la fila i-esima por λ ∈ k \ {0}.
(c) Tipo III: Sumar a la fila i-esima su fila l-esima multiplicada por λ ∈ k.
Ası, obtenemos un nuevo SEL que es equivalente con el original, en elsentido que tienen las mismas soluciones, y es mas sencillo de resolver.
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lineales
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Resolucion de SEL
Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operacioneselementales con el fin de obtener una submatriz triangular de ordenmın{m,n}, es decir el menor entre el numero de filas o columnas
Definicion
Se llaman operaciones elementales (OE) por filas en la matriz ampliada (A|b)a las siguientes transformaciones:
(a) Tipo I: Intercambiar las filas i-esima y l-esima
(b) Tipo II: Multiplicar la fila i-esima por λ ∈ k \ {0}.
(c) Tipo III: Sumar a la fila i-esima su fila l-esima multiplicada por λ ∈ k.
Ası, obtenemos un nuevo SEL que es equivalente con el original, en elsentido que tienen las mismas soluciones, y es mas sencillo de resolver.
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lineales
HEDIMA
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Resolucion de SEL
Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operacioneselementales con el fin de obtener una submatriz triangular de ordenmın{m,n}, es decir el menor entre el numero de filas o columnas
Definicion
Se llaman operaciones elementales (OE) por filas en la matriz ampliada (A|b)a las siguientes transformaciones:
(a) Tipo I: Intercambiar las filas i-esima y l-esima
(b) Tipo II: Multiplicar la fila i-esima por λ ∈ k \ {0}.
(c) Tipo III: Sumar a la fila i-esima su fila l-esima multiplicada por λ ∈ k.
Ası, obtenemos un nuevo SEL que es equivalente con el original, en elsentido que tienen las mismas soluciones, y es mas sencillo de resolver.
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Tema:Sistema deecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Resolucion de SEL
Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operacioneselementales con el fin de obtener una submatriz triangular de ordenmın{m,n}, es decir el menor entre el numero de filas o columnas
Definicion
Se llaman operaciones elementales (OE) por filas en la matriz ampliada (A|b)a las siguientes transformaciones:
(a) Tipo I: Intercambiar las filas i-esima y l-esima
(b) Tipo II: Multiplicar la fila i-esima por λ ∈ k \ {0}.
(c) Tipo III: Sumar a la fila i-esima su fila l-esima multiplicada por λ ∈ k.
Ası, obtenemos un nuevo SEL que es equivalente con el original, en elsentido que tienen las mismas soluciones, y es mas sencillo de resolver.
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Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operacioneselementales con el fin de obtener una submatriz triangular de ordenmın{m,n}, es decir el menor entre el numero de filas o columnas
Definicion
Se llaman operaciones elementales (OE) por filas en la matriz ampliada (A|b)a las siguientes transformaciones:
(a) Tipo I: Intercambiar las filas i-esima y l-esima
(b) Tipo II: Multiplicar la fila i-esima por λ ∈ k \ {0}.
(c) Tipo III: Sumar a la fila i-esima su fila l-esima multiplicada por λ ∈ k.
Ası, obtenemos un nuevo SEL que es equivalente con el original, en elsentido que tienen las mismas soluciones, y es mas sencillo de resolver.
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Discusion conparametros
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Resolucion de SEL
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
,
Matriz ampliada
1 1 31 −1 −13 1 5
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Primera fila menos segunda fila
1 1 30 2 43 1 5
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 1 30 2 40 2 4
SEL equivalentex + y = 3
2y = 42y = 4
Solucionx = 1y = 2
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Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
, Matriz ampliada
1 1 31 −1 −13 1 5
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Primera fila menos segunda fila
1 1 30 2 43 1 5
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 1 30 2 40 2 4
SEL equivalentex + y = 3
2y = 42y = 4
Solucionx = 1y = 2
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Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
, Matriz ampliada
1 1 31 −1 −13 1 5
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Primera fila menos segunda fila
1 1 30 2 43 1 5
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 1 30 2 40 2 4
SEL equivalentex + y = 3
2y = 42y = 4
Solucionx = 1y = 2
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Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
, Matriz ampliada
1 1 31 −1 −13 1 5
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Primera fila menos segunda fila
1 1 30 2 43 1 5
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 1 30 2 40 2 4
SEL equivalentex + y = 3
2y = 42y = 4
Solucionx = 1y = 2
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Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
, Matriz ampliada
1 1 31 −1 −13 1 5
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Primera fila menos segunda fila
1 1 30 2 43 1 5
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 1 30 2 40 2 4
SEL equivalentex + y = 3
2y = 42y = 4
Solucionx = 1y = 2
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Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
, Matriz ampliada
1 1 31 −1 −13 1 5
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Primera fila menos segunda fila
1 1 30 2 43 1 5
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1 1 30 2 40 2 4
SEL equivalentex + y = 3
2y = 42y = 4
Solucionx = 1y = 2
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Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
, Matriz ampliada
1 1 31 −1 −13 1 5
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Primera fila menos segunda fila
1 1 30 2 43 1 5
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 1 30 2 40 2 4
SEL equivalentex + y = 3
2y = 42y = 4
Solucionx = 1y = 2
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Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Clasificacion de SEL
Los SEL se clasifican de acuerdo a su solucion en compatiblesdeterminados, compatibles indeterminados e incompatibles.
Definicion
Un SEL es compatible cuando tiene solucion, en caso contrario se dice que esincompatible. Ademas, un sistema compatible es determinado si tienesolucion unica, en caso contrario es indeterminado.
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
, Solucionx = 1y = 2
SEL Compatible determinado
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Clasificacion de SEL
Los SEL se clasifican de acuerdo a su solucion en compatiblesdeterminados, compatibles indeterminados e incompatibles.
Definicion
Un SEL es compatible cuando tiene solucion, en caso contrario se dice que esincompatible. Ademas, un sistema compatible es determinado si tienesolucion unica, en caso contrario es indeterminado.
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
,
Solucionx = 1y = 2
SEL Compatible determinado
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Clasificacion de SEL
Los SEL se clasifican de acuerdo a su solucion en compatiblesdeterminados, compatibles indeterminados e incompatibles.
Definicion
Un SEL es compatible cuando tiene solucion, en caso contrario se dice que esincompatible. Ademas, un sistema compatible es determinado si tienesolucion unica, en caso contrario es indeterminado.
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
, Solucionx = 1y = 2
SEL Compatible determinado
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Los SEL se clasifican de acuerdo a su solucion en compatiblesdeterminados, compatibles indeterminados e incompatibles.
Definicion
Un SEL es compatible cuando tiene solucion, en caso contrario se dice que esincompatible. Ademas, un sistema compatible es determinado si tienesolucion unica, en caso contrario es indeterminado.
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
, Solucionx = 1y = 2
SEL Compatible determinado
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
,
Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 05 −5 15
OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 0
SEL equivalente x − y = 3 Solucionx = 3 + yy ∈ R
SEL compatible indeterminado: x = 3, y = 0; x = 4, y = 1;...
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Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 05 −5 15
OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 0
SEL equivalente x − y = 3 Solucionx = 3 + yy ∈ R
SEL compatible indeterminado: x = 3, y = 0; x = 4, y = 1;...
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Clasificacionde SEL
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 05 −5 15
OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 0
SEL equivalente x − y = 3 Solucionx = 3 + yy ∈ R
SEL compatible indeterminado: x = 3, y = 0; x = 4, y = 1;...
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Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 05 −5 15
OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 0
SEL equivalente x − y = 3 Solucionx = 3 + yy ∈ R
SEL compatible indeterminado: x = 3, y = 0; x = 4, y = 1;...
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Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 05 −5 15
OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 0
SEL equivalente x − y = 3 Solucionx = 3 + yy ∈ R
SEL compatible indeterminado: x = 3, y = 0; x = 4, y = 1;...
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Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 05 −5 15
OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 0
SEL equivalente x − y = 3
Solucionx = 3 + yy ∈ R
SEL compatible indeterminado: x = 3, y = 0; x = 4, y = 1;...
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Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 05 −5 15
OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 0
SEL equivalente x − y = 3 Solucionx = 3 + yy ∈ R
SEL compatible indeterminado: x = 3, y = 0; x = 4, y = 1;...
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 05 −5 15
OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 0
SEL equivalente x − y = 3 Solucionx = 3 + yy ∈ R
SEL compatible indeterminado: x = 3, y = 0; x = 4, y = 1;...
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Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
,
Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 03 −3 10
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 −1
SEL equivalentex − y = 3
0 = −1No exisite solucion
SEL incompatible
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lineales
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 03 −3 10
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 −1
SEL equivalentex − y = 3
0 = −1No exisite solucion
SEL incompatible
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Clasificacionde SEL
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 03 −3 10
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 −1
SEL equivalentex − y = 3
0 = −1No exisite solucion
SEL incompatible
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 03 −3 10
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 −1
SEL equivalentex − y = 3
0 = −1No exisite solucion
SEL incompatible
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lineales
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 03 −3 10
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 −1
SEL equivalentex − y = 3
0 = −1No exisite solucion
SEL incompatible
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 03 −3 10
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 −1
SEL equivalentex − y = 3
0 = −1
No exisite solucion
SEL incompatible
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 03 −3 10
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 −1
SEL equivalentex − y = 3
0 = −1No exisite solucion
SEL incompatible
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Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
1 −1 30 0 03 −3 10
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
1 −1 30 0 00 0 −1
SEL equivalentex − y = 3
0 = −1No exisite solucion
SEL incompatible
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Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Clasificacion de SEL
Formalmente, la clasificacion de SEL se basa en el rango de una matriz
Definicion
Sea A ∈Mm×n(k). Se llama rango de la matriz A y se denota rg(A), alnumero de filas (o columnas) distintas de cero de la matriz resultante final alaplicar operaciones elementales y tal que contenga una submatriz triangularde orden mın{m,n} y que no se pueda hacer mas filas (o columnas) ceros
Ejemplo
(A|b) =
1 1 31 −1 −13 1 5
aplicando OE
1 1 30 2 40 0 0
rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Clasificacion de SEL
Formalmente, la clasificacion de SEL se basa en el rango de una matriz
Definicion
Sea A ∈Mm×n(k). Se llama rango de la matriz A y se denota rg(A), alnumero de filas (o columnas) distintas de cero de la matriz resultante final alaplicar operaciones elementales y tal que contenga una submatriz triangularde orden mın{m,n} y que no se pueda hacer mas filas (o columnas) ceros
Ejemplo
(A|b) =
1 1 31 −1 −13 1 5
aplicando OE
1 1 30 2 40 0 0
rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Clasificacion de SEL
Formalmente, la clasificacion de SEL se basa en el rango de una matriz
Definicion
Sea A ∈Mm×n(k). Se llama rango de la matriz A y se denota rg(A), alnumero de filas (o columnas) distintas de cero de la matriz resultante final alaplicar operaciones elementales y tal que contenga una submatriz triangularde orden mın{m,n} y que no se pueda hacer mas filas (o columnas) ceros
Ejemplo
(A|b) =
1 1 31 −1 −13 1 5
aplicando OE
1 1 30 2 40 0 0
rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
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Clasificacion de SEL
Formalmente, la clasificacion de SEL se basa en el rango de una matriz
Definicion
Sea A ∈Mm×n(k). Se llama rango de la matriz A y se denota rg(A), alnumero de filas (o columnas) distintas de cero de la matriz resultante final alaplicar operaciones elementales y tal que contenga una submatriz triangularde orden mın{m,n} y que no se pueda hacer mas filas (o columnas) ceros
Ejemplo
(A|b) =
1 1 31 −1 −13 1 5
aplicando OE
1 1 30 2 40 0 0
rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2
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Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
(A|b) =
1 −1 32 −2 65 −5 15
aplicando OE
1 −1 30 0 00 0 0
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1
Ejemplo
(A|b) =
1 −1 32 −2 63 −3 10
aplicando OE
1 −1 30 0 00 0 −1
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2
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Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Clasificacion de SEL
Ejemplo
(A|b) =
1 −1 32 −2 65 −5 15
aplicando OE
1 −1 30 0 00 0 0
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1
Ejemplo
(A|b) =
1 −1 32 −2 63 −3 10
aplicando OE
1 −1 30 0 00 0 −1
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2
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lineales
HEDIMA
Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
(A|b) =
1 −1 32 −2 65 −5 15
aplicando OE
1 −1 30 0 00 0 0
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1
Ejemplo
(A|b) =
1 −1 32 −2 63 −3 10
aplicando OE
1 −1 30 0 00 0 −1
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2
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Ejemplo
(A|b) =
1 −1 32 −2 65 −5 15
aplicando OE
1 −1 30 0 00 0 0
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1
Ejemplo
(A|b) =
1 −1 32 −2 63 −3 10
aplicando OE
1 −1 30 0 00 0 −1
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2
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Ejemplo
(A|b) =
1 −1 32 −2 65 −5 15
aplicando OE
1 −1 30 0 00 0 0
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1
Ejemplo
(A|b) =
1 −1 32 −2 63 −3 10
aplicando OE
1 −1 30 0 00 0 −1
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2
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Ejemplo
(A|b) =
1 −1 32 −2 65 −5 15
aplicando OE
1 −1 30 0 00 0 0
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1
Ejemplo
(A|b) =
1 −1 32 −2 63 −3 10
aplicando OE
1 −1 30 0 00 0 −1
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2
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Clasificacion de SEL
Teorema de Rouche-Frobenius
Sea A ∈Mm×n(k) la matriz de coeficientes de un SEL, b ∈Mm×1(k) suvector de terminos independientes y n el numero de incognitas. Entonces elSEL es
Compatible determinado si rg(A) = rg(A|b) = n
Compatible indeterminado si rg(A) = rg(A|b) < n, con n− rg(A)incognitas indeterminadas
Incompatible si rg(A) < rg(A|b)
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
, Matriz ampliada
1 1 31 −1 −13 1 5
rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2, entonces SEL compatible determinado
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Teorema de Rouche-Frobenius
Sea A ∈Mm×n(k) la matriz de coeficientes de un SEL, b ∈Mm×1(k) suvector de terminos independientes y n el numero de incognitas. Entonces elSEL es
Compatible determinado si rg(A) = rg(A|b) = n
Compatible indeterminado si rg(A) = rg(A|b) < n, con n− rg(A)incognitas indeterminadas
Incompatible si rg(A) < rg(A|b)
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
,
Matriz ampliada
1 1 31 −1 −13 1 5
rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2, entonces SEL compatible determinado
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Resolucion deSEL
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Clasificacion de SEL
Teorema de Rouche-Frobenius
Sea A ∈Mm×n(k) la matriz de coeficientes de un SEL, b ∈Mm×1(k) suvector de terminos independientes y n el numero de incognitas. Entonces elSEL es
Compatible determinado si rg(A) = rg(A|b) = n
Compatible indeterminado si rg(A) = rg(A|b) < n, con n− rg(A)incognitas indeterminadas
Incompatible si rg(A) < rg(A|b)
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
, Matriz ampliada
1 1 31 −1 −13 1 5
rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2, entonces SEL compatible determinado
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Sea A ∈Mm×n(k) la matriz de coeficientes de un SEL, b ∈Mm×1(k) suvector de terminos independientes y n el numero de incognitas. Entonces elSEL es
Compatible determinado si rg(A) = rg(A|b) = n
Compatible indeterminado si rg(A) = rg(A|b) < n, con n− rg(A)incognitas indeterminadas
Incompatible si rg(A) < rg(A|b)
Ejemplo
x + y = 3x − y = −13x + y = 5
, Matriz ampliada
1 1 31 −1 −13 1 5
rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2, entonces SEL compatible determinado
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Clasificacionde SEL
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
,
Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1, entonces SEL compatible indeterminado con una
incognita a determinar
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2, entonces SEL incompatible
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Resolucion deSEL
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Discusion conparametros
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Clasificacion de SEL
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1, entonces SEL compatible indeterminado con unaincognita a determinar
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2, entonces SEL incompatible
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Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1, entonces SEL compatible indeterminado con una
incognita a determinar
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2, entonces SEL incompatible
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Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1, entonces SEL compatible indeterminado con una
incognita a determinar
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
,
Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2, entonces SEL incompatible
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Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1, entonces SEL compatible indeterminado con una
incognita a determinar
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2, entonces SEL incompatible
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Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 65 −5 15
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1, entonces SEL compatible indeterminado con una
incognita a determinar
Ejemplo
x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10
, Matriz ampliada
1 −1 32 −2 63 −3 10
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2, entonces SEL incompatible
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Determinar la solucion del SEL en funcion de ciertos parametros de lamatriz de coeficientes y/o del vector de terminos independientes
Ejemplo
x + y + z = 1ay + az = 2
ax + ay + z = 1, con parametro a ∈ R
Matriz ampliada
1 1 1 10 a a 2a a 1 1
OE 1: a veces primera fila menos tercera fila
1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1
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Determinar la solucion del SEL en funcion de ciertos parametros de lamatriz de coeficientes y/o del vector de terminos independientes
Ejemplo
x + y + z = 1ay + az = 2
ax + ay + z = 1, con parametro a ∈ R
Matriz ampliada
1 1 1 10 a a 2a a 1 1
OE 1: a veces primera fila menos tercera fila
1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1
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Ejemplo
x + y + z = 1ay + az = 2
ax + ay + z = 1, con parametro a ∈ R
Matriz ampliada
1 1 1 10 a a 2a a 1 1
OE 1: a veces primera fila menos tercera fila
1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1
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Determinar la solucion del SEL en funcion de ciertos parametros de lamatriz de coeficientes y/o del vector de terminos independientes
Ejemplo
x + y + z = 1ay + az = 2
ax + ay + z = 1, con parametro a ∈ R
Matriz ampliada
1 1 1 10 a a 2a a 1 1
OE 1: a veces primera fila menos tercera fila
1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1
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Determinar la solucion del SEL en funcion de ciertos parametros de lamatriz de coeficientes y/o del vector de terminos independientes
Ejemplo (Continuacion)
Si a = 0, entonces
1 1 1 10 0 0 20 0 −1 −1
, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 3
SEL incompatible
Si a = 1, entonces
1 1 1 10 1 1 20 0 0 0
, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2
SEL compatible indeterminadox = −1, y = 2− z, z ∈ R (incognita a fijar)
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Determinar la solucion del SEL en funcion de ciertos parametros de lamatriz de coeficientes y/o del vector de terminos independientes
Ejemplo (Continuacion)
Si a = 0, entonces
1 1 1 10 0 0 20 0 −1 −1
, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 3
SEL incompatible
Si a = 1, entonces
1 1 1 10 1 1 20 0 0 0
, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2
SEL compatible indeterminadox = −1, y = 2− z, z ∈ R (incognita a fijar)
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Determinar la solucion del SEL en funcion de ciertos parametros de lamatriz de coeficientes y/o del vector de terminos independientes
Ejemplo (Continuacion)
Si a = 0, entonces
1 1 1 10 0 0 20 0 −1 −1
, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 3
SEL incompatible
Si a = 1, entonces
1 1 1 10 1 1 20 0 0 0
, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2
SEL compatible indeterminadox = −1, y = 2− z, z ∈ R (incognita a fijar)
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Ejemplo (Continuacion)
Si a = 0, entonces
1 1 1 10 0 0 20 0 −1 −1
, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 3
SEL incompatible
Si a = 1, entonces
1 1 1 10 1 1 20 0 0 0
, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2
SEL compatible indeterminadox = −1, y = 2− z, z ∈ R (incognita a fijar)
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Determinar la solucion del SEL en funcion de ciertos parametros de lamatriz de coeficientes y/o del vector de terminos independientes
Ejemplo (Continuacion)
Si a 6= 0, 1, entonces
1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1
, rg(A) = 3 y rg(A|b) = 3
SEL compatible determinado para cada valor de a:
x = (a− 2)/a, y = (2− a)/a, z = 1
Si a = 2, entonces, la solucion es x = 0, y = 0, z = 1
Si a = −2, entonces, la solucion es x = 2, y = −2, z = 1
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Clasificacionde SEL
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Determinar la solucion del SEL en funcion de ciertos parametros de lamatriz de coeficientes y/o del vector de terminos independientes
Ejemplo (Continuacion)
Si a 6= 0, 1, entonces
1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1
, rg(A) = 3 y rg(A|b) = 3
SEL compatible determinado para cada valor de a:
x = (a− 2)/a, y = (2− a)/a, z = 1
Si a = 2, entonces, la solucion es x = 0, y = 0, z = 1
Si a = −2, entonces, la solucion es x = 2, y = −2, z = 1
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Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
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Discusion con parametros
Determinar la solucion del SEL en funcion de ciertos parametros de lamatriz de coeficientes y/o del vector de terminos independientes
Ejemplo (Continuacion)
Si a 6= 0, 1, entonces
1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1
, rg(A) = 3 y rg(A|b) = 3
SEL compatible determinado para cada valor de a:
x = (a− 2)/a, y = (2− a)/a, z = 1
Si a = 2, entonces, la solucion es x = 0, y = 0, z = 1
Si a = −2, entonces, la solucion es x = 2, y = −2, z = 1
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Determinar la solucion del SEL en funcion de ciertos parametros de lamatriz de coeficientes y/o del vector de terminos independientes
Ejemplo (Continuacion)
Si a 6= 0, 1, entonces
1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1
, rg(A) = 3 y rg(A|b) = 3
SEL compatible determinado para cada valor de a:
x = (a− 2)/a, y = (2− a)/a, z = 1
Si a = 2, entonces, la solucion es x = 0, y = 0, z = 1
Si a = −2, entonces, la solucion es x = 2, y = −2, z = 1
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Interpretacion geometrica de SEL
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Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Interpretacion geometrica de SEL
SEL con dos ecuaciones y dos incognitas
En este caso, cada ecuacion representa una recta que se situa en el plano(dimension 2). Entonces, la posicion relativa de las dos rectas puede ser
Las dos rectas se cortan en un punto.
El punto de corte es la solucion del SEL, por tanto compatibledeterminado
Las dos rectas son coincidentes.
Existen infinitos puntos (los que yacen en la recta) que verifican las dosecuaciones, por tanto SEL compatible indeterminado
Las dos rectas son paralelas y no coincidentes
No existen puntos comunes a las dos rectas y por tanto el SEL esincompatible
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SEL con dos ecuaciones y dos incognitas
En este caso, cada ecuacion representa una recta que se situa en el plano(dimension 2). Entonces, la posicion relativa de las dos rectas puede ser
Las dos rectas se cortan en un punto.
El punto de corte es la solucion del SEL, por tanto compatibledeterminado
Las dos rectas son coincidentes.
Existen infinitos puntos (los que yacen en la recta) que verifican las dosecuaciones, por tanto SEL compatible indeterminado
Las dos rectas son paralelas y no coincidentes
No existen puntos comunes a las dos rectas y por tanto el SEL esincompatible
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
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Interpretacion geometrica de SEL
SEL con dos ecuaciones y dos incognitas
En este caso, cada ecuacion representa una recta que se situa en el plano(dimension 2). Entonces, la posicion relativa de las dos rectas puede ser
Las dos rectas se cortan en un punto.
El punto de corte es la solucion del SEL, por tanto compatibledeterminado
Las dos rectas son coincidentes.
Existen infinitos puntos (los que yacen en la recta) que verifican las dosecuaciones, por tanto SEL compatible indeterminado
Las dos rectas son paralelas y no coincidentes
No existen puntos comunes a las dos rectas y por tanto el SEL esincompatible
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lineales
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Interpretacion geometrica de SEL
SEL con dos ecuaciones y dos incognitas
En este caso, cada ecuacion representa una recta que se situa en el plano(dimension 2). Entonces, la posicion relativa de las dos rectas puede ser
Las dos rectas se cortan en un punto.
El punto de corte es la solucion del SEL, por tanto compatibledeterminado
Las dos rectas son coincidentes.
Existen infinitos puntos (los que yacen en la recta) que verifican las dosecuaciones, por tanto SEL compatible indeterminado
Las dos rectas son paralelas y no coincidentes
No existen puntos comunes a las dos rectas y por tanto el SEL esincompatible
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Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Interpretacion geometrica de SEL
SEL con tres ecuaciones y tres incognitas
En este caso, cada ecuacion representa un plano que se situa en el espacio(dimension 2). Entonces, la posicion relativa de los tres planos puede ser
Los tres planos se cortan en un unico punto comun.
El punto comun es la solucion del SEL, por tanto compatibledeterminado
Los tres planos son coincidentes, o dos planos son coincidentes y el otrolos corta, o los tres planos se cortan en la misma recta.
Existen infinitos puntos que verifican las tres ecuaciones, por tanto SELcompatible indeterminado
Tres planos paralelos (al menos dos no coincidentes), o dos paralelos y elotro que los corte, o los planos se cortan dos a dos
No existen puntos comunes a los tres planos a la vez y por tanto el SELes incompatible.
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Clasificacionde SEL
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SEL con tres ecuaciones y tres incognitas
En este caso, cada ecuacion representa un plano que se situa en el espacio(dimension 2). Entonces, la posicion relativa de los tres planos puede ser
Los tres planos se cortan en un unico punto comun.
El punto comun es la solucion del SEL, por tanto compatibledeterminado
Los tres planos son coincidentes, o dos planos son coincidentes y el otrolos corta, o los tres planos se cortan en la misma recta.
Existen infinitos puntos que verifican las tres ecuaciones, por tanto SELcompatible indeterminado
Tres planos paralelos (al menos dos no coincidentes), o dos paralelos y elotro que los corte, o los planos se cortan dos a dos
No existen puntos comunes a los tres planos a la vez y por tanto el SELes incompatible.
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lineales
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Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Interpretacion geometrica de SEL
SEL con tres ecuaciones y tres incognitas
En este caso, cada ecuacion representa un plano que se situa en el espacio(dimension 2). Entonces, la posicion relativa de los tres planos puede ser
Los tres planos se cortan en un unico punto comun.
El punto comun es la solucion del SEL, por tanto compatibledeterminado
Los tres planos son coincidentes, o dos planos son coincidentes y el otrolos corta, o los tres planos se cortan en la misma recta.
Existen infinitos puntos que verifican las tres ecuaciones, por tanto SELcompatible indeterminado
Tres planos paralelos (al menos dos no coincidentes), o dos paralelos y elotro que los corte, o los planos se cortan dos a dos
No existen puntos comunes a los tres planos a la vez y por tanto el SELes incompatible.
Bloque:AlgebraLineal
Tema:Sistema deecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Interpretacion geometrica de SEL
SEL con tres ecuaciones y tres incognitas
En este caso, cada ecuacion representa un plano que se situa en el espacio(dimension 2). Entonces, la posicion relativa de los tres planos puede ser
Los tres planos se cortan en un unico punto comun.
El punto comun es la solucion del SEL, por tanto compatibledeterminado
Los tres planos son coincidentes, o dos planos son coincidentes y el otrolos corta, o los tres planos se cortan en la misma recta.
Existen infinitos puntos que verifican las tres ecuaciones, por tanto SELcompatible indeterminado
Tres planos paralelos (al menos dos no coincidentes), o dos paralelos y elotro que los corte, o los planos se cortan dos a dos
No existen puntos comunes a los tres planos a la vez y por tanto el SELes incompatible.
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lineales
HEDIMA
Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Interpretacion geometrica de SEL
Ejemplo
Los tres planos se cortan en un punto. SEL compatible determinado
−200
2040
−10
0
10
20−10
−5
0
5
10
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Tema:Sistema deecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Interpretacion geometrica de SEL
Ejemplo
Los planos se cortan en un misma recta. SEL compatible indeterminado
−20 0 20 40−10
0
10
−10
−5
0
5
10
Bloque:AlgebraLineal
Tema:Sistema deecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptosbasicos
Expresionmatricial
Resolucion deSEL
Clasificacionde SEL
Discusion conparametros
Interpretaciongeometrica deSEL
Interpretacion geometrica de SEL
Ejemplo
Los planos se cortan dos a dos. SEL incompatible
−30−20−100102030−10−5
05
10−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
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