hamiltonianos no hermíticos

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Hamiltonianos no hermıticos

Becario: Javier Garcia

Director: Francisco M. Fernandez

Grupo Quımica TeoricaInstituto de Investigaciones Fisicoquımicas Teoricas y Aplicadas

2012 - 2017

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Condicion de hermiticidad

  En mecanica cuantica, tratamos de resolver la ecuacionde Schrodinger

H  ψ  = E  ψ

  Todo sistema fısico debe tener energıa real.  Por lo tanto, se exige que  H  sea un operador  hermıtico .

 Para representar estados estacionarios,  ψ  debe sercuadraticamente integrable .

|ψ (x )|2 → 0 para x  → ±∞

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Hamiltonianos no-hermıticos con autovalores reales

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Hamiltonianos con simetrıa  PT  

  Existe una familia de hamiltonianos que no son hermıticospero tienen autovalores reales.

 Son invariantes frente a la inversion espacial seguida de

inversion temporal.

P   : (x , p ) → (−x , −p )   T    : (x , p , i ) → (x , −p , −i )

C. M. Bender y S. Boettcher,  Phys. Rev. Lett.  80, 5243

(1998).PT  H PT    = H 

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Hamiltonianos con simetrıa  PT  

  Que un hamiltoniano tenga simetrıa  PT    no implica

necesariamente que los autovalores sean reales.   La transformacion  PT    : (x , p , i ) → (−x , p , −i ) es un

ejemplo de  transformaci´ on antiunitaria

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Hamiltonianos con simetrıa  PT  

  Por ejemplo,

H  = p 2 + ix 3

P H P  = H 1  = p 2 − ix 3

T  H 1T    = p 2 + ix 3 = H 

Tiene todos sus autovalores reales.

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Perturbaciones con simetrıa  PT  

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Perturbaciones con simetrıa  PT  

  Problemas del tipo

H  = H 0 + λ H 

  H 0  es hermıtico y  H  no lo es pero sı tiene simetrıa  PT  

  Se puede estudiar la energıa como funcion del parametroλ.

E  = E  (λ)

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La parte no hermıtica como perturbacion

  Presentan  puntos excepcionales : Para ciertos valores de  λla funcion  E  (λ) presenta puntos de ramificacion(discontinuidades).

  Para valores del parametro λ > λexcepcional   , los valores dela energıa son complejos. Se dice que la simetrıa  PT    fuerota.

 Si para estados excitados el valor de  λexcepcional   tiende aun lımite, se dice que para ese valor ocurre una  transici´ on

de fase .

 Los puntos excepcionales se pueden verificarexperimentalmente para ciertos sistemas opticosGuo A. y otros,  Phys. Rev. Lett.  103 (2009)

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Poner una imagen ejemplar de un problema 1D con puntos

excepcionales.

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Otras operaciones antiunitarias

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Otras operaciones antiunitarias

 Al pasar a problemas de varias dimensiones, aparecen

nuevas operaciones antiunitarias que dejan invariante alhamiltoniano

  Por ejemplo,  p 2x  + p 2y  + x 2 + y 2 + ixy 2 es invariante frentea las siguientes transformaciones:

(x , y , i ) → (x , − y , i )

(x , y , i ) → (−x , y , −i )

(x , y , i ) → (−x , − y , −i )

 ¿Cualquiera de ellas sirve para garantizar que losautovalores sean reales?

 ¿Todos los hamiltonianos invariantes frente a cualquieroperacion antiunitaria tienen autovalores reales?

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Teorıa de Grupos Puntuales

 Considera a todas las transformaciones unitarias  S   quedejan invariante al hamiltoniano.

S H S 

†

= H 

  Permite predecir ciertas caracterısticas delcomportamiento de los sistemas sin resolver lasecuaciones.

  Permite ahorrar tiempo de calculo.

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Nuestro trabajo

  Estudiamos varios problemas con simetrıas cada vez mas

complejas  Separamos los autovalores segun la representacion

irreducible a la que correspondıan.

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Nuestro trabajo

  H 1 = p 2x  + p 2y  + x 2 + y 2 + i  λ xy 

  H 2 = p 2x  + p 2y  + 2x 2 + y 2 + i  λ xy 

  H 3 =

 p 2x  +

 p 2y  +

 x 2

+ y 2

+ i 

 λxy 2

E C 2   σv    σv    P y    ¿Simetrıa  PT  ? ¿E   = E ∗?

H 1     × × ×H 2     × × × ×  

H 3     × × ×  

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Empezando a comprender...

  Concluimos que la simetrıa  PT   es mas robusta que lasotras simetrıas antiunitarias.

  Usando teorıa de perturbaciones mostramos que si elhamiltoniano tiene simetrıa  PT    entonces existe unintervalo de valores de λ  para el cual los autovalores sontodos reales.

  Explicar un poquito teorıa de perturbaciones.

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Autovalores reales

Klaiman et al.  Phys. Rev. A,  78 062113 (2008)

  Si  H 0  no es degenerado y pertenece al grupo  G 

  H  transforma como una de las representacionesirreducibles de  G 

 Si esa representacion irreducible no es la totalmentesimetrica

  ¡H  tiene autovalores reales!

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Autovalores reales

  Si  H 0  es degenerado la cosa cambia.

 Conjeturaron que en ese caso se puede elegir  H 

demanera que transforme como una de las representacionesirreducibles de un subgrupo abeliano de  G .

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¡Momento!

  H 1  cumple con las condiciones de Klaiman. Sin embargoalgunos de sus autovalores son complejos  ∀ λ.

C h

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Cosas para hacer

  Usar teorıa de grupos para estudiar hamiltonianos con

simetrıa mas compleja.  Profundizar sobre las propiedades que debe tener la

simetrıa antiunitaria para garantizar espectro real.

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Nos entusiasmamos

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H 0   −iH  ¿Simetrıa PT  ?   G G  ¿E  = E ∗? Ref  

Caja 2D   xy    ×   C 4v    C 2v    ×   [1]Caja 2D   xy 2   C 4v    C 2     [1]x 2 + y 2 xy    ×   C ∞v    C 2v    ×   [2]

2x 2 + y 2 xy    ×   C 2   C 2     [2]x 2 + y 2 xy 2   C ∞v    C 2     [2]

x 2 + 1/2 y 2 x 2 y      C 2   C 2     [2]x 2 + y 2 xy 2 − x 3/3   ×   C ∞v    C 3v      [2]

x 4 + y 4 xy    ×   C 4v    C 2v    ×   [3]x 4 + y 4 + z 4 xz  + yz    ×   O h   C 2h   ×   [3]

Caja 3D   xz  + yz    ×   O h   C 2h   ×   [3]Caja 3D   x 2 y 2z      O h   C 4v   

x 2 + y 2 + z 2 xyz      U (3)   T d      [4]

x 4

+ y 4

+ z 4

xyz  

  O h   T d  

  [4][1] Fernandez F. M.; Garcia, J.;  J. Math. Phys.,  55, 042107 (2014)[2] Fernandez F. M.; Garcia, J.;  Ann. Phys.,  342, 195 (2014)[3] Amore; Fernandez; Garcia;  Ann. Phys.,  350, 533 (2014)[4] Amore; Fernandez; Garcia;  arXiv:1409.2672 

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Algun grafico del  T d 

Q ´ ti d ti l l i t ´ PT ?

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¿Que tiene de particular la simetrıa  PT  ?

 Sea cual fuere el grupo  G , la inversion de todas lasvariables (P ) no cambia cuando se le aplican las otrasoperaciones del grupo.

S P S −1 = P 

  Forma una clase por sı misma.

Mediante teorıa de perturbaciones mostramos que:

Cualquier simetrıa antiunitaria  ST    que deje invariante a  H   enla cual  S   forme una clase por sı misma dentro del grupo  G 

garantiza autovalores reales para  λ < λc .

¡Oj !

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¡Ojo!

 Si bien nuestra demostracion no es totalmente rigurosa esindudablemente mas completa que la usual.

 Es aplicable a todos los hamiltonianos que estudiamos ytodos los que revisamos en literatura.

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¡Gracias por su atencion!