guia ets ecuaciones diferenciales
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1
GUÍA PARA EL EXAMEN A TÍTULO DE SUFICIENCIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
MAYO 2010, ACADEMIA DE MATEMÁTICAS
I. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
VARIABLES SEPARABLES
Para esta sección se proporciona la solución completa de las ecuaciones para que puedas repasar las técnicas de integración, ya que muchas veces el problema no son los procedimientos sino las
integrales que resultan:
3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
ECUACIONES HOMOGÉNEAS. Resolver las siguientes E.D. empleando el método de sustitución:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
ECUACIONES EXACTAS. Verifique si la E.D. es exacta y resuélvala:
1.
2.
No es exacta
3.
4.
5.
6.
No es exacta
7. ,
8. .
13
ECUACIONES LINEALES. Resuelva las siguientes E.D. por el método de factor integrante.
ECUACIONES DE BERNOULLI. Resuelva las siguientes E.D. empleando la sustitución apropiada:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
MISCELÁNEOS E.D. ORDEN 1: Resolver los siguientes problemas por el método que le sea posible:
14
5.
6. K Constante, T(0)=200
II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
COEFICIENTES INDETERMINADOS. Resuelva las E.D. siguientes por el método de coeficientes indeterminados.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
15
VARIACIÓN DE PARÁMETROS. Resuelva las siguientes E.D. por el método de variación de parámetros.
1.
;
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
ECUACIONES DE CAUCHY EULER. Resuelva las siguientes E.D. de Cauchy-Euler. Para las ecuaciones no homogéneas aplique variación de parámetros.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
16
7. , ,
8.
9.
III. TRANSFORMADA DE LAPLACE 1. Determine la Transformada de Laplace de las siguientes funciones:
a) L para 1) f (t) =
2) f (t) =
b) L
c) L
d) L
e) L
f) L
g) L
17
2. Determine la Transformada de Laplace Inversa de las siguientes funciones:
a) L-‐1
b) L-‐1
c) L-‐1
d) L-‐1
e) L-‐1
f) L-‐1
g) L-‐1
h) L-‐1
i) L-‐1
j) L -‐1
k) L -‐1
18
3. Determine la Transformada de Laplace de las siguientes funciones periódicas:
a)
b)
4. Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes mediante Transformada de Laplace
a)
b)
c) y(0) = 1, y’(0) = -‐1
0 1 2 3 4 t
-‐1
1
f(t)
0 1 2 3 t
1
f(t)
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d) y(0) =2, y’(0) =6
e) y(0) =0, y’(0) =0
f) y(0) =0, y’(0) =1
g) y(0) =0, y’(0) =1
h) y(0) =0, y’(0) =0
IV. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales lineales mediante eliminación o determinantes:
a)
b)
20
c)
2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales lineales mediante Transformada de Laplace
a)
b)
c)
d)
b)
c)
21
EJERCICIOS DE CONCEPTOS Y PROBLEMAS 1. (a) Diga con sus propias palabras que entiende por soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial.
(b) Enuncie el principio de la superposición.
(c) Defina el conjunto fundamental de soluciones
(d) Demuestra que y e es un conjunto fundamental de la ecuación
2. Una masa que pesa 20 libras alarga a un resorte 6 pulgadas. La masa se libera al inicio desde el reposo de un punto 6 pulgadas abajo debajo de la posición de equilibrio.
(a) encuentre la posición de la masa en los tiempos t = π/12, π/8, π/6, π/4, Y 9π/32s. (b) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando t = 3 π/16 s? ¿en que dirección se dirige la masa en este
instante? (c) ¿en que tiempo la masa pasa por la posición de equilibrio?
3. Una masa que pesa 64 libras alarga un resorte 0.32 pies. Al inicio la masa se libera desde un punto que esta 8 pulgadas arriba de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s
(a) encuentre la ecuación de movimiento (b) ¿Cuáles son amplitud y periodo del movimiento? (c) ¿Cuántos ciclos completos habrá completado la masa al final de 3π segundos? (d) ¿en que momento la masa pasa por la posición de equilibrio con dirección hacia abajo por
segunda vez? (e) ¿en que instantes la masa alcanza sus desplazamientos extremos en cualquier lado de la posición
de equilibrio? (f) ¿cual es la posición de la masa en t = 3s? (g) ¿cual es la velocidad instantánea en t = 3 s? (h) ¿Cuál es la aceleración en t = 3s? (i) ¿Cuál es la velocidad instantánea en los instantes cuando la masa pasa por la posición de
equilibrio? (j) ¿en que instante la masa esta 5 pulgadas abajo de la posición de equilibrio apuntando en
dirección hacia arriba?
4. Calcule la carga del capacitor en un circuito en un circuito LRC en serie cuando L = ¼ h, R = 20 Ω, C = 1/300 f, E (t) = 0 V, q (0) = 4 C e i(0) = 0 A. ¿alguna vez la carga en el capacitor es igual a cero?
5. Encuentre la corriente de estado estable en un circuito LRC cuando L = 1/2h, R = 10Ω, C = 0.001 f y E (t) = 100 sen 60t + 200 cos 40t V.
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6. (a) Definir la Transformada de Laplace.
(b) Explique las condiciones que debe cumplir f(t) para que exista su Transformada de Laplace
(c) Emplee la definición de transformada para demostrar que:
L{ sen5t } = 5/(s2 + 25)
L{ e-‐5t } = s/(s -‐ 5 )
7. Dada
(a) Grafique la función.
(b) Exprese la función en términos de la función del escalón unitario.
(c) Calcule la transformada de f aplicando la definición.
8. Usando convolución, demuestre que:
9. Resuelva la ecuación integral dada usando la transformada de Laplace.
10. Usando Transformada de Laplace, determina la carga q(t) y la corriente i(t) en un circuito en serie en el cual L = 1h, R = 20 Ω, C = .01 F, E(t) = 120 sen(10t) V, q(0) = 0,e i(0) = 0, ¿cuál es la corriente de estado
estable?.
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