guía ets ecuaciones diferenciales 2012
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GUA PARA EL EXAMEN A TTULO DE SUFICIENCIA DE ECUACIONESDIFERENCIALES
MAYO 2010, ACADEMIA DE MATEMTICAS
IE, ICA, ISISA
I. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
VARIABLES SEPARABLES
Para esta seccin se proporciona la solucin completa de las ecuaciones para que puedas repasar las
tcnicas de integracin, ya que muchas veces el problema no son los procedimientos sino las
integrales que resultan:
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ECUACIONES HOMOGNEAS. Resolver las siguientes E.D. empleando el mtodo de sustitucin:
1. 0)( xdydxyx
cxxxy ln
2. 0)2( dyxyxdx
)(ln)( yxcxyxyx
3. dyyxydx )(2
cy
xy
2
2
4. 0)( xdydxyx
xcxy 12
1
5. 0)( 22 dyxdxyxy
cx
xy
ln
6. 0)( 22 dyxdxyxy
2)(
2cx
y
yx
7.xy
xy
dx
dy
cy
x
yx 122
tan2)ln(
8. 0)( dyxyxydx
cy
xy 2ln
ECUACIONES EXACTAS. Verifique si la E.D. es exacta y resulvala:
1. 0)73()12( dyydxx
cyyxx 72
3 22
2. 0)6()2( dyyxdxyx
No es exacta
3. 0)84()45( 3 dyyxdxyx
cyxyx 42 242
5
4. 0)cos(cos)( dyyyxxdxysenxseny
cyxyxseny 22
1cos
5. 0)42()32( 22 dyyxdxxy
cyxyx 4322
6. 0334)3cos1
2(3
2 xysenx
x
y
dx
dyx
xy
No es exacta
7. 0)12()( 22 dyxxydxyx ,
1)1( y
4333223 yxyyxx
8. 0)2()( dyyexdxye yx . 1)0( y
22 yyx eyeyxye
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ECUACIONES LINEALES. Resuelva las siguientes E.D. por el mtodo de factor integrante.
xxcexy
32
9
1
3
1 xx ceexy 2233
1 xx ceexy 1
2
1 2
xcexxxseny
2cos4
32
2
3 1
xxcexey 2
221cos
cxsenxxxxy
222 xx
ceexy
22
1
)1(
tan
x
cxy
ECUACIONES DE BERNOULLI. Resuelva las siguientes E.D. empleando la sustitucin apropiada:
1. 32 52 yxyyx
5
2
2 cx
xy
2. xxyyy 62 32
233
3x
cey
3. 3 yyy
12
2
xce
xy
4. 42 52 yxyyx
715
7
cx
xy
5. 02 33 yxyyx 0x
552
5
cx
xy
6. 34
36 xyyxy
32)(
cxxy
MISCELNEOS E.D. ORDEN 1: Resolver los siguientes problemas por el mtodo que le sea posible:
cxxy 22 2
)ln(cxy
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14
13 3 cxy
122 xy
5. )1()1( 2 yxdx
dyx
cxxy )1ln(1tan
6. )50( TKdt
dTK Constante, T(0)=200
ktetT 15050)(
II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
COEFICIENTES INDETERMINADOS. Resuelva las E.D. siguientes por el mtodo de coeficientes indeterminados.
1. 623 yyy
32
21 xx ececy
2. 3302510 xyyy
5
3
5
652
5
1 xxececy xx
3. xxyyy 24
1 2
2
74
22
2
2
1 xxxececy xx
4. xexyy 32483
xexxxsencxcy
32
21)
3
444(33cos
5. 234
1
x
eyyy
2/22/
2
2/
12
112
xxxexxececy
6. xsenyy 234
xxxsencxcy 2cos4
322cos
21
7. xeyyy x 2cos52
xsenxexsenecxecyxxx
2
4
122cos
21
8. xsenxyyy 2cos32
xxsenxxececyxx
2cos25
92
25
12cos
2
121
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VARIACIN DE PARMETROS. Resuelva las siguientes E.D. por el mtodo de variacin de parmetros.
1. xyy sec
xxxsenxsenxcxcy coslncoscos 21 ; )2/,2/(
2. xyy 2cos
xsenxcxcy 2cos6
1
2
1cos
21
3.x
eyyy
1
123
)1ln()( 2221
xxxxxeeeececy
4. xseneyyy 23
xxxxseneeececy
2
2
2
1
5.2
12
x
eyyy
x
xxexexececy xxxx 1221 tan)1ln(2
1
6. xeyyy x ln2
xexxececyxxxln
2
1 221
7. xeyyy x 3tan3063
xxxexsenecxecyxxx
3tan3secln3cos27
133cos
21
8. xyy tan
xxsenxxsenxcxccy tanseclncoslncos 321
ECUACIONES DE CAUCHY EULER. Resuelva las siguientes E.D. de Cauchy-Euler. Para las ecuaciones nohomogneas aplique variacin de parmetros.
1. 042 yxyyx
)ln2()ln2cos(21 xsencxcy
2. 0232 yxyyx
62
2
62
1
xcxcy
3. 0452 yxyyx
xxcxcy ln22
2
1
4. 0632 yxyyx
xsencxcxy ln
6
3ln
6
3cos
21
2/1
5. 063 yyx
)ln2()ln2cos( 323
1 xsencxcxcy
6. 082223 yxyyxyx
4
3
2
2
1
1 xcxcxcy
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16
7. 032 xyyx , 0)1( y , 4)1( y
222
xy
8. xyxy
4ln
2
21
xxccy
9. xxyxyyx 22 52
xxxcxcy6
1
15
1 212
2/1
1
III. TRANSFORMADA DE LAPLACE
1. Determine la Transformada de Laplace de las siguientes funciones:
a) L f t( ) para 1) f(t) =0 0 2
4 2
t
t
se
ssF
24)(
2) f(t) =2 0 5
1 5
t t
t
2
5
2
5 229)(
se
se
ssF
ss
b) L e t e e t t t t 4 2 2 3 2sen 4)1(
6
)2(
2
4
1)(
23
ssssF
c) L t e t t t4 23 4 2 cos senh 4
8
1)2(
324)(
225
ssssF
d) L e tt sen2
4)1(
1
1
1
2
1)(
2s
s
ssF
e) L t t2 sen 322
)1(
26)(
s
ssF
f) L t u t2 2( )
sssesF
s 442)(
23
2
g) L ( )t 1 sesF )(
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2. Determine la Transformada de Laplace Inversa de las siguientes funciones:
a) L-1 3 12
82
s
s
tsenttf 8
8
128cos3)(
b) L-1
1
2 5s
t
etf 25
2
1)(
c) L-1 2 1
1
s
s s
( )
tteetf
12)(
d) L-1 s
s( )
15
tt etettf 346
1
24
1)(
e) L-1
se
s s
S
2
23 2
)2(2)()2()2(2 tueetf tt
f) L-1
122
3
ss
es
)3()3()(3 tuettf t
g) L-1
s s
s s
3
4 2
16 24
20 64
tsenttsentf 22cos4
2
1)(
h) L-1 s
s s
1
6 7 22
tt
eetf)3/2()2/1(
3
1
2
1)(
i) L-1
s
s s s s
2
2
3
2 3 2 5
( )( )( ) tetseneeetf
tttt2cos
50
12
25
9
50
3
25
1)(
32
j) L-1
1 1
2
2
23 2
s s s
tsenettf t 22
2
1)(
22
k) L-1
1
2
1
1 4
3
13 2 2
( ) ( )s
s
s s
senhtteettf
tt32cos
2
1)(
22
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3. Determine la Transformada de Laplace de las siguientes funciones peridicas:
a)
s
s
es
esF
2
2
1
1)(
b)
sss
es
seesF
1
1)(
2
4. Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes mediante Transformada de Laplace
a) 0)0(',0)0(,cos''' yyteyy t
sentetetytt
2
1cos
2
1
2
1)(
b) 0)0(',0)0(,)2(5'4'' yytyyy
)2()2()()2(2
tutsenety t
c)y y y e
t' ' ' 3 2 4
y(0) = 1, y(0) = -1
ttteeety
3
2
3
4)(
2
0 1 2 3 4 t
-1
1
f(t)
0 1 2 3 t
1
f(t)
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20
c)t
t
exdt
yd
eydt
xd
4
4
2
2
2
2
t
t
etcsentccy
esentctccx
3
321
3
321
15
4cos
15
17cos
2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales lineales mediante Transformada de
Laplace
a)
xdt
dy
yxdt
dx
2
1)0(
0)0(
y
x
tt
tt
eey
eex
3
2
3
1
3
1
3
1
2
2
b)
yxdt
dy
yxdt
dx
5
2
2)0(
1)0(
y
x
tsenty
tsentx
33
7
3cos2
33
53cos
c)
233
122
yxdt
dy
dt
dx
xdt
dy
dt
dx
0)0(
0)0(
y
x
6
1
2
5
13
8
2
1
2
52
23
23
tt
tt
eey
eex
d)t
teydt
xd
ydt
dy
dt
xd
3
033
2
2
2
2
0)0(
2)0(
,0)0(
y
x
x
tt
t
teey
ettx
3
1
3
1
3
1
12
1 2
b)
txdt
dy
tydt
dx
1cos
1cos
21
21
ttcsentcy
tsentctcx
c)
t
t
exdt
yd
eydt
xd
4
4
2
2
2
2
t
t
etcsentccy
esentctccx
3
321
3
321
15
4
cos
15
17cos
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EJERCICIOS DE CONCEPTOS Y PROBLEMAS
1. (a) Diga con sus propias palabras que entiende por soluciones linealmente independientes de
una ecuacin diferencial.
(b) Enuncie el principio de la superposicin.
(c) Defina el conjunto fundamental de soluciones
(d) Demuestra quex
ey3
1
y e xey 41
es un conjunto fundamental de la ecuacin
012''' yyy
2. Una masa que pesa 20 libras alarga a un resorte 6 pulgadas. La masa se libera al inicio desde el reposo
de un punto 6 pulgadas abajo debajo de la posicin de equilibrio.
(a) encuentre la posicin de la masa en los tiempos t = /12, /8, /6, /4, Y 9/32s.(b) Cul es la velocidad de la masa cuando t = 3 /16 s? en que direccin se dirige la masa en este
instante?
(c) en que tiempo la masa pasa por la posicin de equilibrio?
3. Una masa que pesa 64 libras alarga un resorte 0.32 pies. Al inicio la masa se libera desde un punto que
esta 8 pulgadas arriba de la posicin de equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s
(a) encuentre la ecuacin de movimiento(b) Cules son amplitud y periodo del movimiento?(c) Cuntos ciclos completos habr completado la masa al final de 3 segundos?(d) en que momento la masa pasa por la posicin de equilibrio con direccin hacia abajo por
segunda vez?
(e) en que instantes la masa alcanza sus desplazamientos extremos en cualquier lado de la posicin
de equilibrio?(f) cual es la posicin de la masa en t = 3s?(g) cual es la velocidad instantnea en t = 3 s?(h) Cul es la aceleracin en t = 3s?(i) Cul es la velocidad instantnea en los instantes cuando la masa pasa por la posicin de
equilibrio?
(j) en que instante la masa esta 5 pulgadas abajo de la posicin de equilibrio apuntando endireccin hacia arriba?
4. Calcule la carga del capacitor en un circuito en un circuito LRC en serie cuando L = h, R = 20 , C =
1/300 f, E (t) = 0 V, q (0) = 4 C e i(0) = 0 A. alguna vez la carga en el capacitor es igual a cero?
5. Encuentre la corriente de estado estable en un circuito LRC cuando L = 1/2h, R = 10, C = 0.001 f y E (t)
= 100 sen 60t + 200 cos 40t V.
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6. (a) Definir la Transformada de Laplace.
(b) Explique las condiciones que debe cumplir f(t) para que exista su Transformada de
Laplace
(c) Emplee la definicin de transformada para demostrar que:
L sen5t 5/(s2
+ 25)
L e-5t
s/(s - 5 )
7. Dada
100
105
52
201
)(2
t
tt
tt
t
tf
(a) Grafique la funcin.
(b) Exprese la funcin en trminos de la funcin del escaln unitario.
(c) Calcule la transformada de f aplicando la definicin.
8. Usando convolucin, demuestre que:
tt
sssen
1
11L
22
1
9. Resuelva la ecuacin integral dada usando la transformada de Laplace.
tsenetxsolucin
sentdxttx
t
t
2
3
3
2:
cos)(
2
0
10. Usando Transformada de Laplace, determina la carga q(t) y la corriente i(t) en un circuito en serie en
el cual L = 1h, R = 20, C = .01 F, E(t) = 120 sen(10t) V, q(0) = 0,e i(0) = 0, cul es la corriente de estado
estable?.