guadalajara, jalisco 18, y 19 y 20 de...

Guadalajara, Jalisco 18, y 19 y 20 de abril

Guadalajara, Jalisco, 19 de abril de 2007

Mat. Francisco Javier Huerta JuárezINEGI

Fortalecimiento Institucional

MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN PARA DATOS ESPACIALES DISCRETOS

OBJETIVO

CONTENIDO

INTRODUCCIÓNMÉTODOS DE INTERPOLACIÓNEJEMPLOSCONCLUSIONES

Los datos geográficos están asociados con una posic ión espacial lo que nos lleva a trabajar con tres dimensiones.

OBJETIVOOBJETIVO

El participante conocerá algunos de los métodos de i nterpolación utilizados para datos espaciales.

El problema de interpolación esta enfocado principa lmente a calcular valores numéricos desconocidos a partir de otros ya conocidos mediante la aplicación de algoritmos concretos.

INTRODUCCIINTRODUCCIÓÓNN

Hay diversos tipos de interpolación que producen re sultados muy diversos y bien aplicada es una herramienta de trab ajo muy útil.

Los métodos de interpolación producen funciones con tinuas, en el rango de los datos (o bien entre los valores) conocidos, que se aproximan lo más posible a los datos.

INTRODUCCIINTRODUCCIÓÓNN

0

100

200

300

400

500

600

700

800

5 7 9 11 13 15 17 19 21

0

100

200

300

400

500

600

700

800

5 7 9 11 13 15 17 19 21

Las funciones más utilizadas en la interpolación so n los polinomios, y una de las dificultades en utilizarlos son oscilaci ones que son causados cuando el grado del polinomio es alto.

0

100

200

300

400

500

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5 7 9 11 13 15 17 19 21

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5 7 9 11 13 15 17 19 21

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5 7 9 11 13 15 17 19 21-100

0

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5 7 9 11 13 15 17 19 210

100

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300

400

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900

1000

5 7 9 11 13 15 17 19 21

Polinomio de gradodos

Polinomio de gradotres

Polinomio de gradocuatro

Polinomio de gradocinco

Polinomio de gradoseis

INTRODUCCIINTRODUCCIÓÓNN

011

1)( axaxaxaxP nn

nnn ++++= −

− Λ

Polinomio de gradouno

Una solución a este problema es dividir al conjunto de datos y construir en cada subconjunto un polinomio de grado bajo, a e sta técnica se le conoce como interpolación de pedazos.

INTRODUCCIINTRODUCCIÓÓNN

0

100

200

300

400

500

600

700

800

5 7 9 11 13 15 17 19 21

)(xPm

)(xPn

MMÉÉTODOS DE INTERPOLACITODOS DE INTERPOLACI ÓÓNN

Mostraremos los tres métodos de interpolación más i mportantes en la interpolación de datos espaciales.

SPLINE

VECINOS NATURALES

KRIGING

El método de Spline, es una variedad de interpolac ión de pedazos y se distingue del resto por tener una cantidad determin ada de derivadas continuas.

Una función Spline está formada por varios polinomios , cada uno definido sobre un subintervalo, que se unen entre s í obedeciendo a ciertas condiciones de continuidad.

t1 t2 t3 t4 t5

t1 t2 t3 t4 t5

t1 t2 t3 t4 t5

SPLINESPLINE

SPLINESPLINE

Al utilizar datos espaciales este algoritmo ajusta una curva suave a un conjunto de puntos conocidos, obligando a que pase por cada uno de los puntos y cuya formulación es:

∑∑= =

=i jn

i

n

jtjtiji vNuNPvuP

0 0

)()(),( ,,,

donde:Ni,t(u) y Nj,t(v) son los B-spline básicos de grado p y q respectivamente, Pi,json puntos de control, u y vson vectores de dirección.

SPLINESPLINE

vu

MMÉÉTODOS DE INTERPOLACITODOS DE INTERPOLACI ÓÓNN

SPLINE

VECINOS NATURALES

KRIGING

Vecinos naturales son un conjunto de técnicas para interpolar un punto contenido en una región. La región es generada a pa rtir de los datos conocidos conformando una vecindad natural al punto .

El problema es definir las regiones individuales de influencia alrededor de cada uno de los puntos sobre todo el conjunto de datos, los modelos más usados para la generación de estás son:

VECINOS NATURALESVECINOS NATURALES

• Triangulación de Delaunay.• Diagrama o celda de Voronoi.

Este método se basa en el criterio de Delaunay, el cual garantiza que ningún vértice está en el interior de los círculos c ircunscritos de los triángulos de la red.

TriangulaciTriangulaci óón de n de DelaunayDelaunay

VECINOS NATURALESVECINOS NATURALES

Se construye una función lineal a partir de los vér tice del triángulo, para derivar cualquier punto de la región.

TriangulaciTriangulaci óón de n de DelaunayDelaunay

),,( 111 zyx

),,( 222 zyx

),,( 333 zyx

),,( zyx

),,( zyx

Formalmente, cualquier punto en el plano se define por la función z(x,y)=a+bx+cy donde a, b y c se determinan a partir de la siguiente relación.

=

3

2

1

33

22

11

1

1

1

z

z

z

c

b

a

yx

yx

yx

VECINOS NATURALESVECINOS NATURALES

Diagrama o celda de Diagrama o celda de VoronoiVoronoi

El método de Voronoi, asigna a cada dato la región del espacio cuyos puntos no son más cercanos a ningún otro dato. Cada región es cerrada, incluye su frontera y un punto en la frontera equid ista de dos o más datos.

VoroniDelaunay

VECINOS NATURALESVECINOS NATURALES

Diagrama o celda de Diagrama o celda de VoronoiVoronoi

La interpolación de un punto X sigue los siguientes pasos:

• Regeneración del diagrama considerando el punto X a interpolar.• Calculo de pesos. Se basa en el área que el polígon o correspondiente a X tomó de cada uno de los datos, normalizado entre el área total del polígono correspondiente a X.

• Posteriormente se calcula la interpolación con la f ormula:

X

∑=N

ii mfwXf )()(

w1

w2

w3

w4

a

b

cd

ef

abcd

adf

A

Aw =1

VECINOS NATURALESVECINOS NATURALES

MMÉÉTODOS DE INTERPOLACITODOS DE INTERPOLACI ÓÓNN

SPLINE

VECINOS NATURALES

KRIGING

KRIGINGKRIGING

Kriging es una técnica de estimación local la cual p roporciona el mejor estimador lineal insesgado de una características de sconocida que se estudia. Esta limitación a la clase de estimadores lineales es absolutamente natural, esto significa que solamente el momento de segundo orden de la función aleatoria (es decir, la covarianza o variograma) es requerido, y que en general, en la p ractica esto es posiblede inferir a partir de una realización de la misma.

Journel y Huijbregts,1978

KRIGINGKRIGING

Problema.Se dispone de un conjunto de valores de la variabl e aleatoria Z(xi) en Npuntos xi dentro de un área R. Se desea calcular el valor estimado de la variable Z en un punto xo no muestreado.

Los métodos de interpolación lineal consideran esti madores de la forma :

Z*(x0) = ΣΣΣΣ wn Z(xn)

donde wn son los pesos correspondientes de cada valor muestr eado.

Para estimar el valor real pero desconocido Z=Z(xo) se dispone de los valores de Z(xi) en N puntos xi y se considera

Z*(x0) = ΣΣΣΣ λλλλi ( x0 ) Z( xi )

La determinación de los pesos λλλλ se hace de tal manera que:

i. el estimador no sea sesgado, es decir, E[ Z*- Z]=0

el valor esperado del error de la estimación es ce ro.

ii. Su varianza sea mínima:Var [ Z*- Z]

KRIGINGKRIGING

Método de kriging

Las dos condiciones de Kriging,( estimador no sesga do y varianza mínima) para variables estacionarias con el valor de la med ia conocido conducen al sistema de N ecuaciones para los pesos λλλλ´s

i=1,2,…,N

Los valores se pueden determinar a partir del vari ograma.

Ecuaciones

KRIGINGKRIGING

),(),( 01

xxCovxxCov ijij

N

j

=∑=

λ

KRIGINGKRIGING

Variograma experimental y variograma teórico

( )4

)(

2

1

)()(494.0)(457.0

1)(2

−+

≡ ∑hN

ji xZxZhN

hγ

El variograma teórico γγγγ(h) que se requiere en las ecuaciones de kriging, se estima a partir de un variogramaexperimental el cual se calcula a partir de los datos obtenidos en las mediciones.

Existen diferentes estimaciones:

Journel y Huijbregts,1978

∑ −≡)(

2)()(

)(1

)(2hN

ji xZxZhN

hγ

Cressie y Hawkins, 1991

[ ]

≥∀

∈∀−=ah

aha

h

a

hh

1

,021

23

)( 3

3

γ

aheh /1)( −−=γ

22 /1)( aheh −−=γ

Esférica

Exponencial

Gaussiana

Existe diferentes variogramasteóricos γγγγ(h), los más conocidos son:

r/a321 332

γ(r)

1.00.95

0

Gaussiana

EsféricaExponencial

EJEMPLOSEJEMPLOS

MDE MDE G13D72G13D72

AleatorioAleatorio30 seg.30 seg.

EJEMPLOSEJEMPLOS

SPLINESPLINE

EJEMPLOSEJEMPLOS

SPLINESPLINE

EJEMPLOSEJEMPLOS

VECINOS NATURALESVECINOS NATURALES

EJEMPLOSEJEMPLOS

VECINOS NATURALESVECINOS NATURALES

SIMPLE DESVIACIÓN ESTÁNDAR

30 seg.30 seg.

EJEMPLOSEJEMPLOS

VECINOS NATURALESVECINOS NATURALES

SIMPLE DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Datos AleatoriosDatos Aleatorios

EJEMPLOSEJEMPLOS

KRIGINGKRIGING

EJEMPLOSEJEMPLOS

KRIGINGKRIGING

EJEMPLOSEJEMPLOS

KRIGINGKRIGING

CONCLUSIONESCONCLUSIONES

- Análisis exploratorio de los datos.- Análisis estructural.- La estimación o simulación.

Para obtener el mejor método de interpolación es ne cesario tener en cuenta los siguientes puntos:

Siendo los dos primeros puntos los más importantes.

¡Gracias!

javier.huerta@inegi.gob.mx