gasto, ecuación de continuidad, teorema de bernoulli

DINÁMICA DE FLUIDOS. (HIDRODINÁMICA).

ECUACION DE CONTINUIDAD Y DE BERNOULLI.

La hidrodinámica es la parte de la hidráulica que estudia el comportamiento de los líquidos en movimiento. Para ello considera entre otros parámetros a la velocidad, la presión y el flujo del líquido.

En el estudio de la hidrodinámica el Teorema de Bernoulli, trata de la ley de la conservación de la energía, es de primordial importancia, pues señala que la suma de las energías cinética, potencial y de presión de un líquido en movimiento en un punto determinado es igual a la de otro punto cualquiera. La hidrodinámica investiga fundamentalmente a los fluidos incompresibles.

Las aplicaciones de la hidrodinámica se evidencian en el diseño de canales, puertos presas, cascos de los barcos, hélices turbinas y ductos en general.

Con el objetivo de facilitar el estudio de los líquidos en movimiento, generalmente se hacen las siguientes suposiciones:

1.- Los líquidos son completamente incompresibles.

2.- Se considera despreciable la viscosidad. Es decir, se supone que los líquidos son ideales, por ello no presentan resistencia al flujo, lo cual permite despreciar las pérdidas de energía mecánica producidas por su viscosidad; pues como sabemos, durante el movimiento esta genera fuerzas tangenciales entre las diversas capas de un líquido.

3.- El flujo de los líquidos se supone estacionario o de régimen estable. Esto sucede cuando la velocidad de toda partículas del líquido es igual al pasar por el mismo punto. Por ejemplo en la figura siguiente se observa la trayectoria seguida por la partícula de un líquido, esto es, su línea de corriente al pasar por el punto A.

A

Gasto, flujo y ecuación de continuidad.Gasto.- Cuando un líquido fluye a través de una tubería, es muy común hablar de su gasto, que por definición es: la relación existente entre el volumen del líquido que fluye por un conducto y el tiempo que tarda en fluir.

G = V/tG = Gasto en m3/seg.

V= Volumen del líquido que fluye en metros cúbicos (m3)

t = tiempo que tarda en fluir el líquido en segundos (seg).

El gasto también puede calcularse si se conoce la velocidad del líquido y el área de la sección transversal del la tubería. Ver la figura siguiente:

A1 A2

vt

1 2

Para conocer el volumen de líquido que pasa del punto 1 al 2 de la tubería, basta multiplicar entre sí el área, la velocidad del líquido y el tiempo que tarda en pasar por los puntos:

V = A v t (1) Y como G = V/t (2) Sustituyendo 1 en 2: G = A v t t G = Av.

Donde G = gasto en m3/seg. A = área de la sección transversal

del tubo en metros cuadrados (m2).

v = velocidad del líquido en m/seg. En el sistema C.G.S. el gasto se mide en

cm3/seg o bien, en unidades prácticas como litros/seg.

Ejemplo

El agua fluye a través de una manguera de hule de 2 cm de diametro a una velocidad de 4 m/seg.

A) ¿Que diametro debe tener el chorro de agua si sale a una velocidad de 20 m/seg?

B) ¿Cual es el gasto en metros cúbicos?

Ejemplo

A traves de una manguera de 1 pulgada de diametro, fluye gasolina con una velocidad media de 5 ft/seg.

A) ¿Cual es el gasto en galones por minuto?

¿Cuanto tiempo tardaría en llenar un tanque de 20 galones?

FLUJO

Se define como la cantidad en masa del líquido que fluye a través de una tubería en un segundo.

F = m/t. Donde F = flujo en kg/seg. m = masa del líquido que fluye en

kilogramos (kg). t = tiempo que tarda en fluir en segundos

(seg).

Como la densidad de un cuerpo es la relación entre su masa y volumen tenemos:

ρ= m/V (1). Por lo tanto m = ρ V (2), Por lo que el flujo será: F = ρ V (3). Y como G = V/t (4) t Sustituyendo 4 en 3: F = G ρ. Donde F = flujo en kg/seg G = Gasto en m3/seg. ρ = densidad en kg/m3.

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

Para comprender el significado de esta ecuación veamos la

figura siguiente:

La ecuación de continuidad

Considere el siguiente tubo de flujo. De acuerdo a la conservación de la masa, se tiene:

r1v1 A1 =r2v2 A2

Si nos restringimos a fluidos incomprensibles, entonces r1 =r2 y se deduce que

v1 A1 = v2 A2

El producto (velocidad perpendicular a un área) x (área) es el flujo, F.

La tubería de la figura anterior reduce de manera considerable su sección transversal o área entre los puntos 1 y 2.

Sin embargo es constante la cantidad de líquido que pasa por los puntos 1 y 2, al considerar que los líquidos son incompresibles. Para ello, en el tubo de mayor sección transversal, la velocidad del lìquido es menor a la que adquiere al pasar al punto 2, donde la reducción del área se compensa con el aumento en la velocidad del líquido.

Por lo tanto el gasto en el punto 1 es igual al gasto en el punto 2.

G1 = G2 = constante. A1V1 = A2V2. A1= Area menor en m2. V1 = velocidad en el área 1 en m/seg. A2= Area mayor m2. V2 = velocidad en el área 2 en m/seg.

TEOREMA Y ECUACION DE BERNOULLI.

El físico suizo Daniel Bernoulli (1700-1782), al estudiar el comportamiento de los líquidos, descubrió que la presión de un líquido que fluye por una tubería es baja si su velocidad es alta y, por el contrario, es alta si su velocidad es baja.

Por lo tanto, la Ley de la conservación de la energía también se cumple cuando los líquidos están en movimiento. Con base en sus estudios Bernoulli, enunció el siguiente teorema que lleva su nombre.

Teorema de Bernoulli.

“En un líquido ideal cuyo flujo es estacionario, la suma de las energías cinética, potencial y de presión que tiene un líquido en un punto, es igual a la suma de estas energías en otro punto cualquiera”.

El líquido posee, tanto en el punto 1 como en el 2, tres tipos de energía:

1.- Energía cinética, debido a su velocidad y a la masa del líquido: Ec = 1/2mv2.

b) Energía potencial, debido a la altura del líquido, respecto a un punto de referencia:

Ep = m g h. c) Energía de presión, originada por la presión

que las moléculas del líquido ejercen entre sí, por lo cual el trabajo realizado para el desplazamiento de las moléculas es igual a la energía de presión. Todas estas energías se ilustran en la figura siguiente:

Ecuación de Bernoulli

Dado que Wneto = DK + DU, se puede llegar a

2222

121

212

11 ghvpghvp

En otras palabras:

constante221 ghvp

La ecuación de Bernoulli establece que la suma de la presión, (p), la energía cinética por unidad de volumen (1/2 r v2) y la energía potencial gravitacional por unidad de volumen (r gy) tiene el mismo valor en todos los puntos a lo largo de una línea de corriente.

Veamos la figura siguiente para comprender la energía de

presión del líquido.

1

A1 A2

2 l

Puesto que la energía de presión es igual al trabajo realizado,

tenemos:

E presión = T = F l (1).

Como P = F/A, por lo tanto F = PA (2)

Sustituyendo 2 en 1: E presión = P A l.

El área de la sección transversal del tubo multiplicado por la distancia l recorrida por el líquido nos da el volumen de éste que pasa del punto 1 al 2, A l = V, de donde la ecuación 1 queda:

E presión = PV (4) Como ρ = m/V por lo tanto V = m/ ρ . Sustituyendo 5 en 4 tenemos: E presión = P m/ ρ.

Donde E presión = Energía de presión en Joules.

P = Presión en N/m2 o pascal. m = masa del líquido en kilogramos (kg). ρ = Densidad del líquido en kg/m3. Así de acuerdo al Teorema de Bernoulli, la

suma de las energías cinética, potencial y de presión en el punto 1, es igual a la suma de estas energías en el punto 2.

Ec1 + Ep1 + E presión 1 = Ec2 + Ep2 + E presión 2- Al sustituir dichas expresiones por sus

respectivas expresiones, tenemos: 1/2mv1

2 + mgh1 + P1m/ρ1 = 1/2mv22 + mgh2 + P2m/ρ2.

Si dividimos la expresión anterior entre la masa se obtiene la ecuación correspondiente al Teorema de Bernoulli, para expresar la energía por unidad de masa:

v12 + gh1 + P1/ρ1 = v2

2 + gh2 + P2/ρ2.

2 2

Aunque el Teorema de Bernoulli, parte de la consideración de que el líquido es ideal (por lo cual se desprecian las pérdidas de energía causadas por la viscosidad de todo líquido en movimiento), su ecuación permite resolver con facilidad muchos problemas sin incurrir en errores graves por despreciar esas pérdidas de energía pues resultan insignificantes comparadas con las otras energías.

Ejercicios

Una sustancia en estado gaseoso fluye por un tubo de sección transversal A1 = 70x10-3 m2 La densidad del gas es ρ = 1.3 kg/m3 En el otro extremo se coloca un dispositivo Venturi. En este extremo la tuberia tiene una seccion transversal de A2 = 50 x10-3 m2 . La diferencia de presiones es = 120 Pa.

Determina la rapidez del gas

Problemas de la ecuación de continuidad y de la ecuación de

Bernoulli. 1.- Calcular el gasto de agua de una

tubería al circular 1.5 m3 en ¼ de minuto. Datos Fórmula Sustitución G = ? G = V/t G = 1.5 m3 15 seg G = 0.1 m3/seg. V = 1.5 m3 t = 15 seg

2.- Calcular el tiempo que tardará en llenarse un tanque cuya capacidad es de 10 m3 al suministrarse un gasto de 40 l/seg.

Datos Fórmula t = ? t = V/G V = 10 m3. G = 40 l/seg. Conversión de unidades; 40 l x 1 m3 = 0.03 m3/seg. seg 1000 l Sustitución y resultado: t = 10 m3. = 250 seg. 0.03 m3/seg.

3.- Calcular el gasto de agua por una tubería de diámetro igual a 5.08 cm, cuando la velocidad del líquido es de 4 m/seg.

Datos Fórmula G = ? G = v A d = 5.08 cm= 0.0508 m. A = π/4 d2. v = 4 m/seg Cálculo del área: A = 3.14/4 x (0.0508 m)2. A = 0.002 m2. Sustitución y resultado: G = 4 m/seg x 0.002 m2. = 0.008 m3/seg.

4.- Determinar el diámetro que debe tener una tubería, para que el gasto de agua sea de 0.3 m3/seg a una velocidad de 8 m/seg,

Datos Fórmulas d = ? A = G/v G = 0.3 m3/seg. A = π/4d2. v = 8 m/seg. Despejando a d: d = √4 A π A = 0.3 m3/seg. = 0.0375 m2. 8 m/seg. ____________ d = √ 4 (0.0375 m2.) = 0.218 metros. 3.14

5.- Por una tubería fluyen 1800 litros de agua en un minuto. Calcular a) el gasto. b)

El flujo. La densidad del agua es de 1000 kg/m3. Datos Fórmulas V = 1800 l = 1.8 m3. a) G = V/t t = 1 min = 60 seg. B) F = G ρ ρH20 = 1000 kg/m3. Sustitución y resultados: G = 1.8 m3./ 60 seg. = 0.03 m3/seg. F = 0.03 m3/seg x 1000 kg/m3. = 30 kg/seg.

6.- Por una tubería de 3.81 cm de diámetro circula agua a una velocidad de 3 m/seg. En una parte de la tubería hay un estrechamiento y el diámetro es de 2.54 cm, ¿qué velocidad llevará el agua en ese punto?.

Datos Fórmulas d1= 3.81 cm = 0.0381 m. G1 = G2. v = 3 m/seg o bien A1v1 = A2 v2

d2 = 2.54 cm = 0.0254 m. v2 = A1v1

A2

v2 = ? A = π/4d2.

Sustitución y resultados:

v2 = π/4 d12 v1 = d1

2 v1 π/4 d2

2 d22

v2 = (0.0381 m)2 x 3 m/seg = 6.74 m/seg. (0.0254 m)2.

Teorema de Torricelli

Cuando un líquido se encuentra confinado dentro de un recipiente permanecerá estático y sin ningún cambio físico hasta que un factor afecte tales condiciones. El factor más común es la aplicación de una fuerza externa al arreglo, ya sea un poco de viento tocando la superficie del líquido, un insecto, una bomba que se ha encendido, etc.

Teorema de Torricelli

Al existir tal fuerza, se puede ver que el líquido se deforma muy fácilmente y si una parte de este, o todo, cambia de posición continuamente se dice que está fluyendo. Otro factor interesante para que exista el flujo de un líquido es la presión ejercida entre sus moléculas sobre el recipiente que lo contiene; imagínese que se perfora un orificio en alguna parte del recipiente y por debajo del nivel del líquido, este empezará a fluir como producto del empuje de las moléculas que se encuentran por arriba.

Teorema de Torricelli

Por otro lado, ese flujo tendrá una velocidad proporcional a la presión ejercida por el líquido; es fácil darse cuenta como un líquido sale más rápidamente cuando existe más cantidad de este que cuando un recipiente está casi vacío. Evangelista Torricelli se dio cuenta de tal situación y experimentó cómo la velocidad de un fluido era cada vez mayor mientras la presión lo era por igual, a esto enunció el siguiente teorema:

Teorema de Torricelli

La velocidad del chorro que sale por un único agujero en un recipiente es directamente proporcional a la raíz cuadrada de dos veces el valor de la aceleración de la gravedad multiplicada por la altura a la que se encuentra el nivel del fluido a partir del agujero.

Matemáticamente se tiene: v = raíz cuadrada ((2 * g) * (h))

Teorema de Torricelli

Ejemplo de aplicación del teorema de Torricelli (vaciado de un recipiente):

Un depósito cilíndrico, de secciónS1 tiene un orificio muy pequeño en el fondo de sección

S2 mucho más pequeña que S1:

Aplicamos el teorema de Bernoulli suponiendo que la velocidad del fluido en la sección mayorS1 es despreciable, v1 es más o menos 0 comparada con la velocidad del fluidov2 en la sección menorS2 .