fundamentos matemÁticos (ii bimestre abril agosto 2011)

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ESCUELA:

NOMBRES:

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

FECHA:

Ciencias de la Computación

Ing. Ricardo Blacio

Abril- Agosto 2011

BIMESTRE: SEGUNDO

CONTENIDOS (SEGUNDO BIMESTRE)

5. Funciones exponenciales y logarítmicas.6. Sistemas de ecuaciones.7. Matrices y determinantes.8. Sucesiones y series.

5. Funciones exponenciales y logarítmicas

Funciones exponenciales

La función exponencial ƒ con base a se define como:

En donde x es cualquier número real.

xaxf =)(

a > 1

4

xexf =)(

Traza la gráfica de f ƒ es creciente si a > 1.

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Como una función exponencial es biunívoca se tiene que cumplen las siguientes condiciones:

Sí x1 y x2, son números reales:

21

21

21

21

.2

.1

xxentoncesaaSí

aaentoncesxxSíxx

xx

==−

≠≠−

Función exponencial:

xxf 7)( =

Base 7

Funciones logarítmicas

La inversa de una función exponencial de base a, se llama función logarítmica de base a y se representa por loga.

La definición de loga se puede expresar de la siguiente manera:

Como una función logarítmica de base a es biunívoca se tiene que cumplen las siguientes condiciones:

ya axsisoloySíxy == )(log

Sí x1 y x2, son números reales positivos se tiene:

Este teorema se usa con mucha frecuencia en la solución de ecuaciones logarítmicas.

2121

2121

loglog.2

loglog.1

xxentoncesxxSí

xxentoncesxxSí

aa

aa

==−≠≠−

8

y

y

x

x

xxf

4

4

)(log)(2

24

±=

=

=

Traza la gráfica de f

ƒ es creciente si a > 1.

A continuación tenemos algunas formas de logaritmos comunes y naturales para algunas propiedades generales estudiadas.

para todo trabajo

xexxa

xexxa

ea

xxx

xxxa

a

a

a ===−

===−

===−===−

lnloglog 10.4

ln10loglog.3

1ln110log1log.2

01ln01log01log.1

uCu

wuw

u

wuuw

wyu

ac

a

aaa

aaa

loglog)3(

logloglog)2(

loglog)(log)1(

:entonces positivos,

reales numerosdenotan Sí

=

−=

+=

Fórmula de cambio de base

Sí u > 0 y si a y b son números reales positivos diferentes de 1, entonces:

b

uu

a

ab log

loglog =

Leye

s de

los

logar

itm

os

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

2

14 32 =+x

Resuelva la ecuación:

1)32(2 22 −+ =x

164 −=+x

74 −=x

4

7−=x

2121 xxentoncesaaSí xx ==

12

2

11log 4 =+x

11log2 4 =+x

1)1log( 24 =+x

11log 2 =+x

12 101 =+x

2122 )10()1( =+x

1001 =+x

99=x

Resuelva la siguiente ecuación

uCu ac

a loglog =

ya axxy =⇔= log

Decimos que un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para los cuales buscamos una solución común es decir que satisfaga todas las ecuaciones que lo forman.

Guías para resolver:Método sustituciónMétodo eliminaciónMétodo gráficoMétodo Determinante

VI. Sistemas de Ecuaciones

Resuelva el sistema:

=−=+7

2522

yx

yx

7+= yx

25)7( 22 =++ yy

254914 22 =+++ yyy

024142 2 =++ yy

01272 =++ yy

0)3)(4( =++ yy

32;41 −=−= yy

741 +−=x 732 +−=x

31 =x 42 =x

Algebra de MatricesSuma.

Para sumar dos matrices, o más, en primera instancia éstas deben tener igual orden, luego se suman respectivamente los elementos de cada una de ellas, dando lugar a otra matriz de igual orden.

Producto de matrices.Para poder multiplicar dos matrices se debe verificar la siguiente condición: “Que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz”, si se cumple esto, se puede realizar la multiplicación.

Importante: no se cumple la propiedad conmutativa.

Unidad 7: Matrices y determinantes

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Exprese como una sola matriz:

Inversa de una matrizLa inversa de una matriz solo se puede determinar cuando es cuadrada y, para una de referencia A, se representa por A−1, dándose que AxA −1 =1.

DeterminantesDada una matriz cuadrada A de referencia, el determinante respectivo se representa por detA ó d(A) ó A.

Halla la inversa de la matriz: 1/2 r1= r1

1/2 r1= r1

-r1 + r2 = r2; -3r1 + r3 = r3

1/2 r2 + r1 = r1; 1/2r2 + r3 = r3

/22 r3 = r3

Simplificando1/11

Resultado

2/9 r2= r21/2 r2 + r1 = r1; 1/2r2 + r3 = r3

18/22 r3= r3

-4/9 r3 + r2 = r2; -4/18 r3 + r1 = r1

Simplificando Resultado

1/11

Encuentre el determinante:

M11=

A11= (-1)1+1 (M11) = (1) (0) = 0

Sucesiones infinitas y notación de sumatoria.

Una sucesión se representa mediante una letra cualquiera afectada de subíndices, así por ejemplo: a1,a2,a3,......an......

EJEMPLO: Los números naturales pares: 2, 4, 6, 8,… cuya forma generatriz es 2n.

La notación sumatoria nos permite simplificar al máximo la representación de una serie.

VIII. Sucesiones y Series

Sucesiones aritméticasCuando cada elemento de estas sucesiones, a partir del primero, se obtiene sumando al anterior una cantidad constante conocida como diferencia.Ej. 4, 10, 16, 22,..Para el cálculo del último término (u), se tiene:

La Suma de los términos de una sucesión aritmética se halla usando la relación

S = n/2 (2a + (n - 1) d)

u=a+(n−1)d

Sucesiones Geométricas

Cuando cada elemento de la sucesión, a partir del primero, se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad constante conocida como razón (r).Ej.

3,9,27,81,....La obtención del último término u, se logra empleando la ecuación

u = arn−1

La Suma de los términos de una progresión geométrica se halla usando la relación

S = a(rn−1/r−1)

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Ejemplos:

- Halla la suma de los primeros 10 términos de la sucesión aritmética en que el cuarto término es 9 y la diferencia común es -5.

Suponiendo solo cuatro términos

n = 4an = 9d = -5a1 = ?

an = a1 + (n - 1) d9 = a1 + (4 - 1) (-5)9 = a1 - 15-a1 = -9 - 15a1 = 24

Ahora con 8 términos

n = 10a1 = 24d = -5a10 = ?S10=?

an = a1 + (n - 1) dan = 24 + (10 - 1) (-5)an = 24 - 45a10 = -21

Sn = n/2 (a1 + an)Sn = 10/2 (24 - 21)Sn = 5 (3)S 10 = 15

- Los términos quinto y decimotercero de una sucesión aritmética son 5 y 77, respectivamente. Encuentra el término octavo.

5 término = 513 término = 77d = ?a1 = ?a8 = ?

an = a1 + (n - 1) d

5 = a1 + (5 - 1) d77 = a1 + (13 - 1) d

5 = a1 + 4d-77 = -a1 - 12d *-1-72 = - 8d d = 9

Continúe resolviéndolo usted, encontrando el primer término (a1) y luego el octavo término, que es lo que pide encontrar el problema.

Teorema del binomio

Cuando (a+b)n se extiende para un entero

positivo arbitrario n, los exponentes de a y b

siguen un patrón definido. Por ejemplo, de

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

Preguntas El método de sustitución consiste en despejar una incógnita de una de

las ecuaciones, para luego reemplazar este resultado en la otra ecuación.

Una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en reglones y columnas.

Para la multiplicación de matrices cuadradas se cumple la propiedad conmutativa.

El determinante de una matriz es otra matriz de igual tamaño.

La notación de sumatoria nos permite simplificar al máximo la representación de una serie.

Las sucesiones geométricas son aquellas donde existe una razón común entre un término y el siguiente.

Ahora resolvamos unos ejercicios en la pizarra…26

Ing. Ricardo Blacio

Docente – UTPL

Correo electrónico: rpblacio@utpl.edu.ec

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