funciones trigonometricas de angulos compuestos y dobles

TRIGONOMETRTRIGONOMETRÍAÍA

Karen De’ OsambelaKaren De’ Osambela Adrian FonsecaAdrian Fonseca

PROF. Julio ValenzuelaPROF. Julio Valenzuela

FUNCIONES FUNCIONES TRIGONOMTRIGONOMÉTRICAS ÉTRICAS

DE ÁNGULOS COMPUESTOSDE ÁNGULOS COMPUESTOS

Karen De’ OsambelaKaren De’ Osambela

Las identidades Trigonométricas de Las identidades Trigonométricas de ángulos compuestos son aquellos ángulos compuestos son aquellos

que se forman de la suma o resta de que se forman de la suma o resta de dos ángulos. dos ángulos.

Sen (Sen (αα±±ββ))

Sen (α+β) = Sen α · · Cos β + Sen β · · Cos α

Sen (α – β) = Sen α ·· Cos β - Sen β ·· Cos α

EjemploEjemplo

Calcular Sen 69° Calcular Sen 69°

Sen 69° = Sen (16° + 53°) = Sen 16° Cos 53° + Sen 53° Cos 16°

= (7/25) (3/5) + (4/5) (24/25)

= (21/125) + (96/ 125)

= 117 125

Cos (Cos (αα±±ββ))

Cos (α+β) = Cos α · · Cos β - Sen β ·· Sen α

Cos (α – β) = Cos α · · Cos β + Sen β · · Sen α

EjemploEjemplo

Calcular Cos 75° Calcular Cos 75°

Cos 75° = Cos (45° +30°) = Cos45° Cos30° - Sen45° Sen30°

= ( 2 /2) ( 3 /2) – ( 2 /2) (1/2)

= ( 6 /4) - (2/4)

= 6 - 2

4

Tg (Tg (αα±±ββ))

Tg (α+β) = Tg α + Tg β

1 - Tgβ · · Tg α

Tg (α – β) = Tg α - Tg β

1 + Tgβ · · Tg α

EjemploEjemplo

Calcular Tg 111° Calcular Tg 111°

Tg 111° = Tg (74°+37°) = Tg 74 – Tg37

1 – Tg74 Tg37 = (24/6)- (3/4)

1– (24/6) (3/4)

= - 39 24

Tg 111° está ubicado en el Segundo Cuadrante ( II C)

FUNCIONES FUNCIONES TRIGONOMTRIGONOMÉTRICAS DEL ÉTRICAS DEL

ÁNGULO DOBLEÁNGULO DOBLE

Adrian FonsecaAdrian Fonseca

FórmulasFórmulas

Sen 2Sen 2α α = 2·Sen α·Cos α= 2·Sen α·Cos α

Cos2Cos2αα - Sen2 - Sen2αα

Cos 2Cos 2α α = 1 - 2·Sen2= 1 - 2·Sen2αα

2·Cos22·Cos2αα - 1 - 1

Tg 2Tg 2α α = = 2·Tg 2·Tg αα

1-Tg21-Tg2αα

Ctg 2Ctg 2α α = = Ctg2Ctg2αα-1-1

2·Ctg2·Ctgαα

ObservaciónObservación

1+Tg2α

1-Tg2α

2·Tg α

• Sen 2α= 2·Tg α 1-Tg2 α

• Cos 2α= 1-Tg2α – 1 2·Ctg α

2α

EjemplosEjemplos

1. 1. Sabiendo que: Sen Sabiendo que: Sen αα= 12/13, calcular: “Sen 2α”= 12/13, calcular: “Sen 2α”

Resolución:

- A partir del dato: Sen α=12/13 → Cos α=5/13

X

1213

12² + x² = 13²

144 + x² = 169

x² = 25

X = 5

- Nos piden: Sen 2α = 2∙Sen α ∙ Cos α

Sen 2α = 2 ∙ 12/13 ∙ 5/13

Sen 2α = 120/169

2. 2. Siendo Cos Siendo Cos ββ = 15/17, calcular = 15/17, calcular ““Cos 2Cos 2ββ”.”.

Resolución:

- Aplicamos la siguiente relación:

Cos 2β = 2 Cos²β - 1

Cos 2β = 2 (15/17)² - 1

Cos 2β = 450/289 - 1 → Cos 2β = 161 289

3. 3. De la figura, hallar “xDe la figura, hallar “x”.”.

3

7

X

αα

A

C

B

- Analizando el gráfico: ▪ Tg α = 3/x

▪ Tg 2α = 10/x

- Además: Tg 2α = 2·Tg α 1 - Tg²α

- Reemplazando: 2·3 10 = x . x 1 – 3² x²

10 = 6x . x x² - 9

10x² - 90 = 6x²

4x² = 90

D

X = 3 10 2